關(guān)于Green算子的Orlicz范數(shù)估計(jì)

李華燦，　李群芳，　李師煜（．江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西 贛州34000；.贛州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系，江西 贛州34000）

關(guān)于Green算子的Orlicz范數(shù)估計(jì)

李華燦1，李群芳2，李師煜1
（1．江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西 贛州341000；2.贛州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系，江西 贛州341000）

滿足特定調(diào)和方程的微分形式的經(jīng)典范數(shù)不等式在偏微分方程、位勢分析以及工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.基于滿足A-調(diào)和方程的微分形式的Ls-范數(shù)不等式，文中首先證明了有界域上作用于微分形式的Green算子的局部Orlicz范數(shù)估計(jì)，然后把上述結(jié)果推廣到Lφ-平均域上，進(jìn)而得到對應(yīng)的全局的Orlicz范數(shù)估計(jì).

Orlicz范數(shù)；Green算子；微分形式；平均域

0　引言與預(yù)備知識

目前，關(guān)于微分形式的研究已取得了豐碩的成果，并廣泛應(yīng)用于理論物理、廣義相對論、位勢理論和電磁學(xué)等自然科學(xué)和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域.例如，微分形式可用來描述各種形式的微分方程和流形上的幾何結(jié)構(gòu)，其有關(guān)結(jié)果也經(jīng)常用來研究彈性物體的變形以及相關(guān)極值的積分和幾何不變性，函數(shù)和微分形式的范數(shù)估計(jì)同樣對研究偏微分方程解的性質(zhì)起著至關(guān)重要的作用.近年來，滿足各種形式調(diào)和方程的微分形式的Lp范數(shù)估計(jì)已經(jīng)取得了比較完善的結(jié)果，見文獻(xiàn) ［1-11］.然而，關(guān)于微分形式的Orlicz范數(shù)估計(jì)的研究還不夠完善.2004年，美國華盛頓大學(xué)丁樹森博士在文獻(xiàn)［8］中首次把Ls-平均域推廣到Lφ-平均域，從而Ls-平均域可作為Lφ-平均域的一種特殊形式.本文的目的在于將Green算子Ls-的范數(shù)不等式‖G （u）-G （u）B‖p，B≤Cdiam（B）‖u‖p，B推廣到Lφ-平均域上，得到全局的Green算子的Orlicz范數(shù)不等式.

本文假定Ω為Rn中的一個連通開子集，M為Rn中有界凸域，B為一球體，ρB表示與B同心且diam（ρB）=ρdiam（B）的球體.用∧l=∧l（Rn）表示由外積eI=ei1∧ei2∧…∧eil所生成的l-維線性向量空間，其下標(biāo)所對應(yīng)的有序l-叢I=（i1，i2，…，il），1≤i1＜i2＜…＜il≤n，l=1，2，…，n.記D′（Ω，Λl）為Ω上所有的可微l-形式構(gòu)成的空間，定義外導(dǎo)數(shù)d:D′（Ω，Λl）→D′（Ω，Λl+1）為

且它的形式共軛算子d*:D′（Ω，Λl+1）→D′（Ω，Λl）為d*=（-1）nl+1*d*，進(jìn)一步定義Laplace-Beltrami算子△=dd*+d*d，其中

若φ：［0，+∞）→［0，+∞）是連續(xù)凸增函數(shù)且φ（0）=0，則稱φ為 Young函數(shù).本文通篇用φ表示Young函數(shù).對Ω上任一可測函數(shù)f，如果存在一依賴于f的常數(shù)λ=λ（f）＞0，使得∞，則記f∈Lφ（Ω）.定義Orlicz空間Lφ（Ω）中的下列范數(shù)

為Orlicz范數(shù).記K（Λk，Ω）=｛u∈W （Λk，Ω）：d u= d*u=0，u∈Lp，其中1＜p＜∞｝為一個調(diào)和k-場，K⊥=｛u∈L1:＜u，k＞=0，k∈K｝為K中L1中的正交補(bǔ)，其中W（Λk，Ω）=｛u∈L1loc（Λl，Ω）:u有一個廣義梯度｝，＜u，k＞表示微分形式u，k的內(nèi)積.定義Green算子G：C∞（Λk，Ω）→K⊥∩C∞（Λk，Ω）是 K⊥∩C∞（Λk，Ω）中唯一滿足方程△G（u）=u-H（u）的元素.本文通篇用G表示Green算子.

1　定義及引理

定義 1［12］如果算子 A：Ω×Λl（Rn）→Λl（Rn），B：Ω×Λl（Rn）→Λl-1（Rn）對幾乎所有的x∈Ω以及所有的 ξ∈Λl（Rn），滿足①②則稱下面的非線性微分方程

為非齊次A-調(diào)和方程，其中a，b＞0，1＜p＜∞.

定義2［13］設(shè)g（t），h（t）分別是定義在［0，+∞）上的凸增函數(shù)和凹增函數(shù)，如果對任一t＞0，均存在一組常數(shù)（p1，p2，C）滿足①1/C≤φ（t1/p1）/g（t）≤C；②1/C≤φ（t1/p2）/h（t）≤C，則稱φ∈G（p1，p2，C）.其中1≤p1，p2＜+∞，C≥1，φ是一個定義在［0，+∞）的Young函數(shù).

如果g（t），h（t），φ（t）滿足定義2，文獻(xiàn)［13］可以找到關(guān)于函數(shù)g（t），h（t），φ（t）的下面結(jié)果：

定義3［8］設(shè)φ：［0，+∞）→［0，+∞）是凸增函數(shù)且φ（0）=0，如果E是Rn中的一子域滿足條件：①＜∞；②如果存在常數(shù)C及E中的一固定球體B0，使得則稱E是Lφ-平均域.其中常數(shù)0＜τ，σ＜∞，φ）∈L1loc（E）.

引理4［14］設(shè)u∈Lp（M，Λk）是一光滑形式，G為Green算子，則對M中的任一球體B，存在一不依賴于u的常數(shù)C，使得

其中k=1，2，…，n，1＜p＜∞.

引理5［15］設(shè)u是M上非齊次A-調(diào)和方程的解，則對任一滿足σB?M的球體B，存在一不依賴于u的常數(shù)C，使得

其中σ＞1.

2　主要結(jié)論

定理1（有界凸域上關(guān)于Green算子的局部Orlicz范數(shù)估計(jì)）設(shè)Young函數(shù)φ∈G（p1，p2，C），M為Rn的有界凸域，u∈C∞（ΛkM）（k=1，2，…，n）是非齊次A-調(diào)和方程的解且φ（）∈L1loc（M），則對任一滿足σB?M的球體B，存在一不依賴于u的常數(shù)C，使得

‖G（u）-（G（u）B）‖Lφ（B）≤C‖u‖Lφ（σB），

其中σ＞1，1≤p1，p2＜+∞.

證明：因?yàn)閔（t）是一個凹增函數(shù)，故 h-1（t）也是一個凹增函數(shù)，從而由h-1（t）的Jensen不等式及公式（4）可知

由定義2的條件②及引理4、5可得

其中σ＞1.由定義2的條件①及g是凸增函數(shù)可得

因?yàn)閜1≥1，故又B?M且M為有界域，從而有≤C7.由凸函數(shù)φ的加倍性質(zhì)可知

綜合公式（3）～式（6），可得

由公式（7）及凸函數(shù)φ的加倍性質(zhì)知：對任一正數(shù)λ＞0，有

由范數(shù)‖·‖Lφ的定義（即公式（1））及公式（8）可得

定理2（Lφ-平均域上關(guān)于Green算子的全局Orlicz范數(shù)估計(jì)）設(shè)Young函數(shù)φ∈G（p1，p2，C），M為Lφ平均域，u∈C∞（Λk，M）（k=1，2，…，n）是非齊次A調(diào)和方程的解且φ）∈L1（M），則存在一不依賴于u的常數(shù)C，使得

其中B0?M是如定義3所述的一固定球體，σ＞1，1≤p1，p2＜+∞.

證明：綜合定義3、凸函數(shù)φ的加倍性質(zhì)及公式（7），可得

結(jié)合范數(shù)‖·‖Lφ的定義、公式（9）及凸函數(shù)的加倍性質(zhì)，可得

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Orlicz norm estimation for Green’s operator

LIHuacan1，LIQunfang2，LIShiyu1

（1.Faculty of Science，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou 341000，China；2.Department of Mathematics，Ganzhou Teachers College，Ganzhou 341000，China）

Traditional norm inequalities of differential forms，which satisfy some certain kinds of harmonic equations，have been widely used in partial differential equations，potential analysis and engineering technology field.Based onLs-norm inequality applying to differential forms which satisfy A-harmonic equation，it is proved that local Orlicz norm estimation for Green′s operator can apply to differential forms on a convex bounded domain.Then the result is generalized to Lφ-averaging domains and the corresponding global Orlicz norm estimation is obtained.

Orlicz norm；Green′s operator；differential forms；averaging domain

O175.2

A

2095-3046（2015）05-0110-03

10.13265/j.cnki.jxlgdxxb.2015.05.019

2015-03-29

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助（11461032，11401267）；江西省教育廳基金項(xiàng)目資助（GJJ13376）；江西理工大學(xué)校級基金項(xiàng)目（NSFJ2015-G25）

李華燦（1985-），男，講師，主要從事調(diào)和分析等方面的研究，E-mail:hua03010217@126.com.