函數(shù)的單調(diào)性單元教學(xué)設(shè)計(jì)

李建邦

摘要：?jiǎn)卧虒W(xué)設(shè)計(jì)是指對(duì)某一單元的教學(xué)內(nèi)容作具體的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)。這里的單元可以是一章，也可是以某個(gè)知識(shí)內(nèi)容為主的知識(shí)模塊。本文以人教A版高中數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性為例，從單元教學(xué)目標(biāo)、要素分析、教學(xué)流程設(shè)計(jì)等幾方面進(jìn)行了整體設(shè)計(jì)，以便更好地實(shí)現(xiàn)教與學(xué)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) ?函數(shù)教學(xué) ?單調(diào)性 單元教學(xué)設(shè)計(jì)

單元教學(xué)設(shè)計(jì)是指對(duì)某一單元的教學(xué)內(nèi)容作具體的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，這里的單元可以是一章，也可是以某個(gè)知識(shí)內(nèi)容為主的知識(shí)模塊。單元教學(xué)設(shè)計(jì)要有整體性、相關(guān)性、階梯性、綜合性。下面我就以人教A版高中數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性為例進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)內(nèi)容包括單元教學(xué)目標(biāo)、要素分析、教學(xué)流程設(shè)計(jì)、典型案例設(shè)計(jì)、反思與改進(jìn)等。

一、單元教學(xué)目標(biāo)

一是理解函數(shù)的單調(diào)性概念;二是會(huì)利用代數(shù)法和導(dǎo)數(shù)，“定性”“定量”多角度研究函數(shù)的單調(diào)性;三是理解函數(shù)的單調(diào)性在認(rèn)識(shí)函數(shù)性質(zhì)中的作用和地位。

二、要素分析

（一）數(shù)學(xué)分析

一是函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的地位。首先，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一條主線。克萊因說(shuō)：“函數(shù)概念，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材集中在他周?chē)?，進(jìn)行充分的綜合。”函數(shù)是客觀世界的一個(gè)基本數(shù)學(xué)模型，用于刻畫(huà)“變化”，體現(xiàn)兩個(gè)變量的依存關(guān)系。其次，函數(shù)有很多性質(zhì)，高中階段單調(diào)性最重要。第三函數(shù)單調(diào)性貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)，初中以具體函數(shù)為載體，“感性”認(rèn)識(shí)函數(shù)值隨自變量的變化如何變化。高中利用代數(shù)法和導(dǎo)數(shù)，“定性”“定量”多角度研究函數(shù)的單調(diào)性。二是函數(shù)的單調(diào)性刻畫(huà)“變化”，而變化無(wú)處不在。

（二）標(biāo)準(zhǔn)分析

在必修階段，學(xué)生要經(jīng)歷從“具體到抽象”，“圖形語(yǔ)言到自然語(yǔ)言，再到符號(hào)語(yǔ)言”的思維過(guò)程。這一過(guò)程不但有利于學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的理解，而且還有利于培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力。首先，歸納總結(jié)能力的培養(yǎng)。學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)已非常熟悉，如何將學(xué)生對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的原有認(rèn)知，轉(zhuǎn)化為以導(dǎo)數(shù)為依據(jù)的認(rèn)知是不可忽視的問(wèn)題。其次，邏輯思維的培養(yǎng)，教材只給出了函數(shù)單調(diào)性的充分條件，但在研究具體函數(shù)的單調(diào)性時(shí)并不夠，如何處理這部分教材是教師要重點(diǎn)思考的問(wèn)題，而這一問(wèn)題也正是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的優(yōu)良載體。

（三）學(xué)習(xí)者特征分析

學(xué)生對(duì)一次、二次、反比例函數(shù)等已有較好的認(rèn)識(shí)，印象應(yīng)該是深刻的;學(xué)生的直覺(jué)思維優(yōu)于邏輯思維，感性認(rèn)識(shí)勝于理性思考;學(xué)生的演算、恒等變形的能力有待加強(qiáng)，此處也正是培養(yǎng)學(xué)生這方面能力的載體。

（四）重點(diǎn)難點(diǎn)分析

函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)問(wèn)題的基石，對(duì)函數(shù)的定性和定量分析是研究函數(shù)的兩個(gè)不同角度，但同等重要。在必修中，函數(shù)的單調(diào)性的定義的形成過(guò)程是重點(diǎn)，將學(xué)生對(duì)已熟知函數(shù)的單調(diào)性從感性認(rèn)識(shí)上升至理性認(rèn)識(shí)是核心;在選修中，理解導(dǎo)數(shù)為何可以“定量”刻畫(huà)函數(shù)的變化是基礎(chǔ)，理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是重點(diǎn)，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是目的。

（五）教材對(duì)比分析

現(xiàn)行教材有六個(gè)版本，分別為人教A版、人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版和鄂教版，以前四個(gè)版本使用較多。教材的多樣性為教師的教學(xué)提供了充足的材料，教師可以根據(jù)自己學(xué)生的特點(diǎn)、認(rèn)知水平，選擇合適的教學(xué)手段和方法。下面以前四種教材為例，談?wù)勗诤瘮?shù)單調(diào)性定義方面，各教材在處理上的不同之處。一是定義引入的方式不同。人教A版和人教B版以具體的函數(shù)引出函數(shù)單調(diào)性的描述，而北師大版和蘇教版則以實(shí)踐中的具體實(shí)例引出函數(shù)單調(diào)性的概念。引入方式的不同，無(wú)所謂“優(yōu)”與“劣”，教師可以結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用不同的處理方法。定義的方式不同：人教A版、北師大版和蘇教版采用了傳統(tǒng)教材對(duì)單調(diào)性的定義方式，即在通過(guò)自變量的增大過(guò)程中函數(shù)值的增大或減小來(lái)定義;人教B版的教材則采用自變量具有正增量時(shí)函數(shù)值增量的符號(hào)加以定義。人教B版在其后安排了“探索與研究”，定義了平均變化率，希望學(xué)生能探究函數(shù)的單調(diào)性與增長(zhǎng)快慢之間的聯(lián)系，為選修系列導(dǎo)數(shù)做了鋪墊。

（六）教學(xué)方式分析

這一過(guò)程可以靈活采用各種教學(xué)方法，我們學(xué)校主要采用五環(huán)節(jié)教學(xué)法，即：師生共同探究、學(xué)生獨(dú)立思考、小組合作交流、學(xué)生精彩展示、老師精彩點(diǎn)評(píng)。

三、教學(xué)流程設(shè)計(jì)

基于函數(shù)的單調(diào)性在中學(xué)數(shù)學(xué)中的特殊地位，對(duì)函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)可以分為以下幾個(gè)階段。第一課時(shí)：以理解函數(shù)的單調(diào)性概念為主要教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)能依據(jù)函數(shù)圖象指出其單調(diào)區(qū)間;初步理解用代數(shù)法證明（確定）單調(diào)區(qū)間的理論依據(jù)。第二課時(shí)：在理解函數(shù)的單調(diào)性定義的基礎(chǔ)上，能熟悉、鞏固證明函數(shù)單調(diào)性的方法，從“判定”和“性質(zhì)”兩個(gè)方面進(jìn)一步理解函數(shù)的單調(diào)性。基本初等函數(shù)和數(shù)列學(xué)完之后（1課時(shí)），這個(gè)階段以梳理基本初等函數(shù)和數(shù)列的單調(diào)性為主，讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)的單調(diào)性及其在認(rèn)識(shí)函數(shù)性質(zhì)中的作用和地位。不等量關(guān)系后的梳理（1課時(shí)）。選修階段（2課時(shí)）。第一課時(shí)：以基本函數(shù)為載體，結(jié)合曲線切線的幾何意義，學(xué)生能借助直觀初步理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系;第二課時(shí)：在認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)符號(hào)之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，學(xué)生能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。高考備考階段（1課時(shí)）學(xué)生對(duì)用代數(shù)法和導(dǎo)數(shù)兩種方法研究函數(shù)的單調(diào)性有了比較全面和系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。

四、典型案例設(shè)計(jì)

必修時(shí)期：必修一，函數(shù)的單調(diào)性（概念課）;選修時(shí)期：選修2-2，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用;高三復(fù)習(xí)時(shí)期，專(zhuān)題復(fù)習(xí)，函數(shù)的單調(diào)性。（略）

五、反思與改進(jìn)

首先，重視函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的指導(dǎo)性地位，要不失時(shí)機(jī)地滲透和鞏固，以加深學(xué)生對(duì)其重要性的認(rèn)識(shí);其次，把握教學(xué)中的“度”，最好不要在細(xì)枝末節(jié)處“折騰”;再次，進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)可大可小，要用整體把握的觀點(diǎn)指導(dǎo)教學(xué);最后，教學(xué)中要認(rèn)識(shí)到“代數(shù)法”和“導(dǎo)數(shù)法”處理函數(shù)單調(diào)性的側(cè)重點(diǎn)和對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)的側(cè)重點(diǎn)，切不可“厚此薄彼”。