用柯西收斂原理證明實(shí)數(shù)完備性的其它定理*

張學(xué)茂，劉來(lái)山，陳 玲，梁 妮，劉 晶，徐 芳

（泰州學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 泰州 225300）

用柯西收斂原理證明實(shí)數(shù)完備性的其它定理*

張學(xué)茂，劉來(lái)山，陳 玲，梁 妮，劉 晶，徐 芳

（泰州學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 泰州 225300）

遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的知識(shí)順序，從證明柯西收斂原理出發(fā)，對(duì)實(shí)數(shù)完備性其它定理進(jìn)行一一證明，驗(yàn)證與推廣了有關(guān)學(xué)者的論證。

完備性；收斂；極限；確界

引言

實(shí)數(shù)完備性基本定理是實(shí)數(shù)理論中的重要內(nèi)容之一。實(shí)數(shù)完備性的基本定理有：數(shù)列的柯西收斂原理、實(shí)數(shù)集的確界定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、數(shù)列的單調(diào)有界定理、聚點(diǎn)定理、致密性。這七個(gè)定理是彼此等價(jià)的，它們以不同的方式刻畫(huà)了實(shí)數(shù)集R的一種特征—完備性。大多數(shù)教材[1，2]都是把確界定理作為公理，但確界定理的證明冗長(zhǎng)，不易被學(xué)生所理解和接受。諸多學(xué)者以某一定理當(dāng)為公理，對(duì)實(shí)數(shù)完備性的幾大定理進(jìn)行循環(huán)論證[3-6]，也有學(xué)者利用戴得金提出的完全覆蓋法對(duì)實(shí)數(shù)完備性基本定理進(jìn)行了統(tǒng)一處理[7]。這些論述堪稱(chēng)為經(jīng)典之作。本課題組研究發(fā)現(xiàn)，用實(shí)數(shù)完備性彼此等價(jià)的七個(gè)定理中的一個(gè)定理去證明其它定理，在諸多文獻(xiàn)資料中鮮有發(fā)現(xiàn)。而柯西收斂原理是數(shù)學(xué)分析中的重要定理之一，它為研究數(shù)列和函數(shù)極限提供了有效的思路與方法，并在判別廣義積分、級(jí)數(shù)是否收斂、函數(shù)的一致連續(xù)等方面都有較廣泛的應(yīng)用。本文試遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的知識(shí)順序，從證明柯西收斂原理出發(fā)，去一一證明實(shí)數(shù)完備性的其它定理。

1 預(yù)備知識(shí)

定義4[2]設(shè)S為數(shù)軸上的點(diǎn)集，。若S中任何一點(diǎn)都含在H中至少一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，則稱(chēng)H為S的一個(gè)開(kāi)覆蓋，或稱(chēng)H覆蓋S。若H中開(kāi)區(qū)間的個(gè)數(shù)是無(wú)限（有限）的，則稱(chēng)H為S的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋（有限開(kāi)覆蓋）。

2 主要結(jié)論

2.1 利用柯西收斂原理證明確界定理

確界定理[2]設(shè)S為非空數(shù)集。若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。

同理可證數(shù)集S有上界必有上確界。

2.2 利用柯西收斂原理證明閉區(qū)間套定理

2.3 利用柯西收斂原理證明有限覆蓋定理

有限覆蓋定理[2]設(shè)H為閉區(qū)間的一個(gè)（無(wú)限）開(kāi)覆蓋，則從H中可選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋。

2.4 利用柯西收斂原理證明單調(diào)有界定理

單調(diào)有界定理[2]在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。

2.5 利用柯西收斂原理證明聚點(diǎn)定理

聚點(diǎn)定理[2]實(shí)數(shù)軸上的任意有界無(wú)限點(diǎn)集必有聚點(diǎn)。

證明：假設(shè)有界無(wú)限點(diǎn)集E中沒(méi)有聚點(diǎn)。不妨令m,M分別是E的下界和上界，則在[m,M]中每一點(diǎn)都不是E的聚點(diǎn)。取[m,M]的中點(diǎn)x1，在[m，x1][x1,M]中至少有一個(gè)區(qū)間有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。不妨令[m，x1]中有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，再取[m，x1]的中點(diǎn)x2，同樣[m，x2][x1，x2]中至少有一個(gè)區(qū)間有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。以此方法一直取下去，到[xn，xn+1]時(shí)，[xn，xn+1]中仍有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。任取其中屬于E中的兩點(diǎn)則。由柯西收斂原理可知數(shù)列收斂。由定義1″知無(wú)限有界點(diǎn)集中至少有一個(gè)聚點(diǎn)。

2.6 利用柯西收斂原理證明致密性

致密性定理[2]有界數(shù)列必有收斂子列。

實(shí)數(shù)的基本完備性定理中，柯西收斂原理、聚點(diǎn)定理、確界定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理都是刻畫(huà)實(shí)數(shù)系統(tǒng)的局部性質(zhì)；致密性定理、有限覆蓋定理是刻畫(huà)實(shí)數(shù)系的整體性質(zhì)。這些定理通過(guò)整體性質(zhì)歸結(jié)到某點(diǎn)鄰域的“局部性質(zhì)”，或由某局部性質(zhì)推廣到整體性質(zhì)，形成了對(duì)實(shí)數(shù)系的全方位刻畫(huà)?？挛魇諗吭碛绕渲匾?，它既可證明極限點(diǎn)的存在性，又可找到相應(yīng)的點(diǎn)。只有理清了這些定理的內(nèi)涵，才能加深學(xué)生對(duì)定理的理解，拓寬證明思路，提高學(xué)生的邏輯思維能力與數(shù)學(xué)分析能力。

注釋及參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉鏈、傅沛仁等.數(shù)學(xué)分析講義（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008(1)：89-95.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第三版[M].北京：高等教育出版社，2013(4)：7-15、161-167.

[3]田菊蓉.實(shí)數(shù)系完備性定理的等價(jià)性[J].西安聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，1999(4)：49-53.

[4]莊陵等.實(shí)數(shù)系完備性基本定理的循環(huán)證明[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)（自科版），2006(6)：219-223.

[5]李湘云.有關(guān)實(shí)數(shù)完備性基本定理的循環(huán)證明[J].湖北財(cái)經(jīng)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002(8)：57-60.

[6]徐新榮.利用實(shí)數(shù)空間基本定理證明問(wèn)題的幾點(diǎn)注釋[J].西昌學(xué)院學(xué)報(bào)（自科版），2012(3)：60-62.

[7]蓋盈.關(guān)于實(shí)數(shù)完備性基本定理的統(tǒng)一處理方法[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自科版），1999(12)：23-28.

Prove Other Real Number Completeness Theorem UseCauchy Convergence Principle

ZHANG Xue-mao，LIU Lai-Shan，CHEN Ling，LIANG Ni，LIU Jing，XU Fang
(Institute of Mathematics，Taizhou University，Taizhou,Jiangsu 225300)

According to the knowledgeorder of mathematical analysis learning and starting from the proof of the Cauchy Convergence Principle,we prove the other theorems on completeness of the set of real numbers,which generalizes some related results given by some other scholars.

completeness；convergence；limit；world indeed

O171

A

1673-1891（2015）02-0023-03

2015-03-15

江蘇省大學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目研究成果之一（項(xiàng)目編號(hào)：201412917003Y）。

張學(xué)茂（1970-），男，江蘇姜堰人，副教授，碩士，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。