基于經(jīng)驗積累 凸顯數(shù)學思考

高巍

【關(guān)鍵詞】活動經(jīng)驗 分數(shù)的意義 教學實踐 教學思考

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）07A-

0038-04

數(shù)學的基本活動經(jīng)驗是指在學生參與數(shù)學學習的活動中積累起來的。相對于數(shù)學基礎(chǔ)知識和叢本技能等顯性學習而言，基本活動經(jīng)驗的積累具有隱性的特征。數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累，有利于學生理解知識的來龍去脈，掌握數(shù)學思維方法，體驗并領(lǐng)會數(shù)學思想，從而形成比較完整的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，有效提升數(shù)學素養(yǎng)，對后續(xù)學習和發(fā)展產(chǎn)生積極影響。本文中筆者將結(jié)合《分數(shù)的意義》的教學實踐與思考，具體闡述讓學生積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗的操作方法。

一、聚焦學生，發(fā)現(xiàn)問題

分數(shù)在拉丁文里來源于FRANGERE，是打破、斷裂的意思，曾被人叫做是“破碎數(shù)”。在歐洲，分數(shù)被認為是最難的數(shù)學內(nèi)容。現(xiàn)在，德國人形容某個人陷入困境時，常引用一句古老的諺語，說他“掉進分數(shù)里了”。教學數(shù)學多年的教師一定也會有這樣的感覺，學習分數(shù)對于孩子們來說的確很困難，特別是后面學到分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題時，更是錯誤連連。對于分數(shù)，我們有著太多的疑問——

問題一：分數(shù)是一個數(shù)嗎？它來自哪里？人類歷史上最早產(chǎn)生的數(shù)是自然數(shù)，但度量或均分不能用整數(shù)表示時，便產(chǎn)生了分數(shù)。分數(shù)首先是一個能計量具體大小的數(shù)。但我們不難發(fā)現(xiàn)：孩子們在解應(yīng)用題時，如果最后答案是分數(shù)的話，他們常常習慣于將分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)來表示。筆者曾讓學生做過這樣一組題目：3個的是（ ）個；6個的是（ ）個；1個的是（ ）個。最后一題孩子往往不會用來表示，而是不厭其煩地算出0.333333……為什么孩子會覺得分數(shù)不是一個“數(shù)”呢？生活中不常用，或者說學生的學習缺乏情景的支撐和生活的經(jīng)驗是主要原因之一，還有其他的原因么？

問題二：分數(shù)的意義是什么？它有哪些內(nèi)涵呢？把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。各種版本的教材，都對分數(shù)的意義做了如此明確的闡述，理解和記憶這樣的一個概念本身對于學生沒有任何問題。但是學生真正理解和掌握了分數(shù)的意義是什么了嗎？這里所說的“表示這樣一份或幾份的數(shù)”到底是一個具體的量，還是部分與總體的一種關(guān)系呢？

問題三：單位“1”是什么？如何確定單位“1”？孩子們在三年級初步認識分數(shù)時，單位“1”表示的都是一個物體，而在五年級再次認識分數(shù)時，發(fā)現(xiàn)單位“1”除了可以表示一個物體，還可以表示一個整體（一些物體）。為什么同樣大小或者同樣長度的物體可以是，還可以是？分數(shù)應(yīng)用題是學生學習的一個難點，而正確找出單位“1”是解題的關(guān)鍵。我們應(yīng)該怎樣引導(dǎo)學生形成尋找單位“1”的意識，從而讓學生將分數(shù)與單位“1”緊緊地聯(lián)系起來呢？是否在學生理解分數(shù)的意義時就應(yīng)該落實呢？

二、聚焦問題，探究原因

（一）學習材料的合理選擇與適時抽象

人教版教材中，兩次的認識分數(shù)都呈現(xiàn)了圓片、線段、香蕉等直觀的教學材料。這些直觀圖示的呈現(xiàn)，為教師與學生提供了豐富的學習資源，激發(fā)了孩子們的形象思維、喚起了孩子們的生活體驗，為進一步發(fā)展孩子們的抽象思維奠定了基礎(chǔ)。但是，教師的教、學生的學往往也僅停留在這一直觀層面上，具體表現(xiàn)為學生對分數(shù)意義的表述需要借助于具體物的表述，而無法抽象到數(shù)的表述。究其原因，教師過于注重直觀教學，而忽視了抽象教學。由于這種抽象沒有建立在直觀基礎(chǔ)上，因而學生無法建構(gòu)數(shù)的概念。

另外，教師在教學中提供給學生的學習資源和學生用來操作的素材往往是指向于幫助學生理解分數(shù)的“部分與整體”這一關(guān)系的情景與材料，即引導(dǎo)學生參與分的過程，從而體會分子與分母的“部總”關(guān)系，往往忽視了分數(shù)作為一個數(shù)的意義來理解。孩子們?nèi)鄙龠@方面的活動經(jīng)驗與直觀感受，當然無法建立分數(shù)意義的完整概念。

（二）分數(shù)來源的處理方式與適時呈現(xiàn)

在教學分數(shù)時，分數(shù)產(chǎn)生的來源往往被教師忽略。而縱觀各種版本教材，蘇教版、北師大版教材中都沒有分數(shù)產(chǎn)生這一內(nèi)容，只有人教版教材在分數(shù)的再認識時加入了分數(shù)產(chǎn)生的素材（分數(shù)產(chǎn)生的真正根源在于測量）。那么，分數(shù)的產(chǎn)生是否可有可無呢？筆者認為，分數(shù)的產(chǎn)生是學生學習分數(shù)意義的前提，忽視了分數(shù)產(chǎn)生的來源，學生就缺少了學習分數(shù)的興趣與動力，也不利于學生深入地理解分數(shù)，最終導(dǎo)致學生缺失了對于分數(shù)本是一個數(shù)的初步感知。

（三）單位“1”的概念內(nèi)涵與來歷體驗

分數(shù)的意義中的單位“1”是個抽象難懂的概念，也是引導(dǎo)學生對分數(shù)意義理解的關(guān)鍵所在。在現(xiàn)有的教學中，教師們只關(guān)注到什么是單位“1”，并將其作為這節(jié)課的教學重、難點不厭其煩地舉例示范，反復(fù)強調(diào)什么是“一個整體”，力求在操作中讓學生掌握單位“1”的概念。但是，這樣就可以了嗎？正如前面提到的“不讓孩子了解分數(shù)的產(chǎn)生，那么孩子對于分數(shù)意義的理解一定也是片面且淺顯的”，教師們總是幫助學生設(shè)定好單位“1”，只需要學生考慮平均分成幾份取幾份就可以了，而恰恰忽略了對學生設(shè)定單位“1”能力的培養(yǎng)，即忽略了單位“1”的來歷。能否順利地找出單位“1”是學生后續(xù)學習分數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵，教師對單位“1”來歷的簡單處理或置之不理為孩子的后續(xù)學習埋下了隱患。

三、關(guān)注過程，研究策略

（一）找準學習起點，為深入探究尋找原有經(jīng)驗

數(shù)學課程標準指出：數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。“以生為本”是新課程改革的核心理念。因此，教學必須建立在學生已有的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，找準孩子們的學習起點和已有的活動經(jīng)驗。

學生通過三年級分數(shù)的初步認識，已經(jīng)具有了以下學習基礎(chǔ)：一是已經(jīng)初步了解分數(shù)產(chǎn)生的根源——一個物體的一部分用整數(shù)表示不了時用分數(shù)表示。其實分數(shù)產(chǎn)生的真正根源在于測量。在本節(jié)課中筆者設(shè)計了“了解分數(shù)的產(chǎn)生及發(fā)展”的教學環(huán)節(jié)。通過視頻講解，孩子們再次感受分數(shù)產(chǎn)生的真正原因及發(fā)展演變過程，從而完善對分數(shù)意義的理解——分數(shù)首先是一個與整數(shù)、小數(shù)一樣的數(shù)；它還可以表示部分與整體間的關(guān)系。二是已經(jīng)歷了把一個物體或圖形平均分后產(chǎn)生分數(shù)的過程。在學生已有的認知中，分數(shù)表示的是“一個物體或整體”的幾分之幾，所以單位“1”在學生初步認識分數(shù)時是隱性的。面對一個分數(shù)，學生更關(guān)注“平均分成幾份”而很少關(guān)注這個分數(shù)表示“誰的幾分之幾”。對此，筆者讓孩子們結(jié)合“”說說已經(jīng)知道的有關(guān)分數(shù)的知識，目的是激活學生的原有認知，從而了解學生對于分數(shù)的理解情況。對學生進行了初步了解之后，筆者設(shè)計了“在9個圓中任意選取幾個圓表示分數(shù)”的教學環(huán)節(jié)，意在引導(dǎo)學生利用原有知識經(jīng)驗解決問題，進而關(guān)注“把誰看作一個整體”，突出本節(jié)課的教學重點——確定單位“1”。只有基于學生原有知識基礎(chǔ)與活動經(jīng)驗上的教學才是真正為學生所需要的，才會體現(xiàn)出探究的價值。

（二）巧用學習材料，為意義理解提供探究經(jīng)驗

蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。而在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈?！币胱尯⒆赢a(chǎn)生探究的欲望，在課堂上提供給孩子研究的學習材料尤為重要。

學生對于分數(shù)的學習并不是一張白紙，借助學生已有的學習經(jīng)驗，我們完全可以引導(dǎo)孩子們自主探究分數(shù)的意義。例如，給出9個圓，讓學生按要求圈一圈，涂一涂。在學生圈出若干個圓后，再讓學生將所圈圓的涂上顏色?；顒咏Y(jié)果表明：不同層次的學生對于分數(shù)意義的理解深度也不盡相同。有的孩子只能在一個圓中找到分數(shù)，有的孩子能在4的倍數(shù)個圓中找到，有的孩子真正理解了分數(shù)平均分的本質(zhì)，只要能分成相等的四份，就一定能找到1份作為整體的，從而找出6個圓、9個圓的。這一素材對于研究分數(shù)的意義十分重要。通過對這一有選擇的、開放性的學習材料的使用，課堂上生成了許多有意義的教學素材；通過對比，學生充分體會到整體對應(yīng)的量（單位“1”）變化了，部分對應(yīng)的量也變了。把誰看作單位“1”是確定分數(shù)的關(guān)鍵，從而加深了學生對于單位“1”的理解。隨著圓圈數(shù)量的不斷增加，“一個整體”的概念內(nèi)涵越發(fā)寬泛了。在這一操作活動中，學生通過探究與合作，感受到了數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，切實提高了自主探究的學習能力，為理解分數(shù)的意義這一抽象概念提供了直觀模型，積累了操作探究經(jīng)驗。

（三）凸顯數(shù)學思考，為后續(xù)學習積累思維經(jīng)驗

數(shù)學教學與思維的關(guān)系十分密切，我們在教會學生如何學習的同時還要培養(yǎng)他們的思維能力，久而久之，才能讓他們形成比數(shù)學思維更高一級的數(shù)學思想，從而領(lǐng)悟?qū)W習數(shù)學的真諦。因此，在教學中，我們要時時刻刻關(guān)注數(shù)學思維的滲透。正如前面提到的學生學習分數(shù)時存在的普遍困惑：同樣的表示的可以是不同的量，而比較與的大小時，又必須默認為單位“1”是相同的，拋去“分率”的意義，而用分數(shù)“量”的意義去比較。這樣反復(fù)的轉(zhuǎn)換無疑給孩子的分數(shù)學習帶來了困擾。筆者認為，為了更好地凸顯分數(shù)的測量概念，理解在任意兩個分數(shù)中間是存在無限多個分數(shù)的，這就需要學生具備在數(shù)軸上標定分數(shù)的能力。本節(jié)課中筆者設(shè)計了“拓展提升，在數(shù)軸上完善分數(shù)意義的理解”環(huán)節(jié)，通過在數(shù)軸上找尋對應(yīng)的分數(shù)，同樣一個點嘗試用不同的分數(shù)表示這樣的教學環(huán)節(jié)，滲透對應(yīng)和極限的數(shù)學思想，從而拓展學生視野，也為后續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)。最后，筆者不斷地延長數(shù)軸上數(shù)字“1”后面的數(shù)，讓學生充分感受無限的思想。數(shù)形結(jié)合，在直觀演繹的基礎(chǔ)上發(fā)展學生的抽象能力、觀察能力，以及培養(yǎng)良好的數(shù)感，能為后續(xù)學習積累豐富的思維經(jīng)驗。

四、聚焦課堂，實踐跟進

（一）復(fù)習引入，在一個圖形中表示分數(shù)

結(jié)合“”這個分數(shù)，請你說一說，對于分數(shù)你已經(jīng)知道了哪些知識。

（課件出示）

這些圖，哪些能用“”表示，哪些不能？請說明理由。

設(shè)計意圖：開門見山，直接以學生學過的分數(shù)導(dǎo)入新課，探尋學生的學習起點，復(fù)習舊知，為新課的學習做好鋪墊。

（二）教學新知，在一些圖形中表示分數(shù)

1.在操作中初步體驗“單位1”的含義

（1）呈現(xiàn)學習任務(wù)

①圈出若干個圓。

②將你所圈的若干圓涂上顏色。

（2）獨立實踐研究

（學生活動：每名學生的桌上有四張學習紙，告之學生一張紙上可畫一種方法，若畫完不夠的可繼續(xù)向教師要學習紙；時間為3分鐘）

設(shè)計意圖：在三年級時學生已經(jīng)學習過分數(shù)，有了初步的認識。面對一個分數(shù)時，學生更關(guān)注“平均分成幾份”而很少關(guān)注這個分數(shù)表示“誰的幾分之幾”，即單位“1”的來歷。因此，筆者設(shè)計了以上環(huán)節(jié)，不僅僅是讓孩子充分感受單位“1”的變化，而且引導(dǎo)學生理解“在表示分數(shù)之前必須考慮把幾個圓看作一個整體”，進而關(guān)注“把誰看作一個整體”，也就是確定好單位“1”。

2.在對比中深入感悟單位“1”的含義

（1）選取典型，促進學生對概念本質(zhì)的理解

（出示學生作品）

（引導(dǎo)學生說清楚：把4個圓平均分成4份，表示其中的1份，就是這4個圓的）

師（追問）：涂色部分是這4個圓的（），那空白部分是這4個圓的（），+=1，這個“1”指的是1個圓嗎？

生：不是，是4個圓了，把4個圓看成了一個整體。

（2）類比材料，加深學生對概念本質(zhì)的理解

圈8個，涂上兩個圓的顏色

師：比較觀察，1號圖和2號圖有什么不同點？有什么相同點？

師（總結(jié)）：雖然他們研究的整體不一樣，1份所代表的結(jié)果也不一樣，但是他們都平均分成了4份。

（3）變式材料，鞏固學生對概念本質(zhì)的理解

生1：把2個圓作為一個整體，平均分成4份，表示其中的一份，就是這2個圓的。

生2：把6個圓平均分成4份，表示其中的一份，就是這6個圓的。

師：這幅圖一份是可以清晰地看出來了，那么其他的三份在哪里？誰能將它分出來讓大家看明白。（生演示將6個圓平均分成4份）

出示圈5個，表示出其中

設(shè)計意圖：對于讓學生尋找的“”，筆者分三步進行反饋：從圓的數(shù)量等于均分數(shù)（原有認知）——圓的數(shù)量大于均分數(shù)（擴展單位“1”的概念）——圓的數(shù)量不是均分數(shù)的倍數(shù)（對于單位“1”本質(zhì)意義的理解），幫助學生逐步建立“一個整體”的概念，使學生對于單位“1”數(shù)學模型的抽象提煉和數(shù)學定義的歸納概括更加順理成章。

3.概括提升，在對比中加深對單位“1”的理解

（1）概括延伸，強化學生對概念的應(yīng)用

師：1號圖的表示的是（1）個圓，2號圖的表示的是（2）個圓，怎么回事呢？

生：整體不一樣，1份是1個圓的整體是4個圓，1份是2個圓的整體是8個圓。

師（追問）：如果表示的是3個圓，那么這個整體可能是（ ）。若表示的是7個圓，那么整體又可能是（ ）。

師：如此思考，那你們覺得這個整體還可能是？

生：32、36、64、240、400……

師：是啊！這個整體可以表示很多很多的數(shù)。數(shù)學上把這樣的整體叫做單位“1”。

師：數(shù)學上這些不同數(shù)量的圓可以表示單位“1”，生活當中還可以把什么表示單位“1”呢？

設(shè)計意圖：作為數(shù)學學習的促進者，教師應(yīng)針對學生的回答適時追問：“同樣是，為什么前面是1個圓，而這里卻是2個圓呢？”“也可以是3個圓，你覺得行嗎？”這些適時追問，不斷將學生的數(shù)學思維引向深入，突出教學的重點：單位“1”的不同導(dǎo)致分數(shù)所表示的量的不同，為孩子們后續(xù)學習分數(shù)應(yīng)用題做好鋪墊。

（2）總結(jié)比較，整理回顧“單位1”的研究過程

出示三年級時表示的“”和本節(jié)課表示的“”。

師：這些是三年級時學過的“”的表示方法，而這些是五年級學的“”的表示方法，有什么不一樣？

（三）鞏固練習，在練習中突破“分數(shù)單位的意義”

1.基礎(chǔ)練習，理解分數(shù)單位的意義

出示：

獨立完成——集體口答匯報

比較三幅圖的異同。

小結(jié)：三個分數(shù)的分數(shù)大小是一樣的（灰色部分），但是他們的分數(shù)單位是不一樣的（課件中用藍色強調(diào)）。

2.綜合練習，深化分數(shù)單位的應(yīng)用

出示：

想一想：涂色部分可以用哪個分數(shù)來表示？

師：同樣一幅圖，怎么可以表示出這么多的分數(shù)？他們不同點在哪里？

（四）拓展提升，在數(shù)軸上完善“分數(shù)意義”的理解

1.借助數(shù)軸，表示分數(shù)

師：這是一條數(shù)軸，我們把“0”到“1”看作單位“1”，那“”在哪？“”“”呢？

2.觀察分數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

在這條數(shù)軸上可以表示多少個分數(shù)？你發(fā)現(xiàn)了什么？

如果把“0”到“”這一段看作“A”段，“”到“1”這段看作“B”段，那么黑板上的分數(shù)分別在哪一段？為什么？

師：如果這個點在“1～2”之間，那應(yīng)該用什么分數(shù)表示呢？看來有關(guān)分數(shù)的知識還有很多，有待于我們進一步學習和探索。

設(shè)計意圖：通過練習將分數(shù)回歸到數(shù)軸上來，將分數(shù)的認識“去情境化”，引領(lǐng)學生把分數(shù)看成真正的“數(shù)”來認識，為后續(xù)學習積累豐厚的經(jīng)驗。學生通過對數(shù)軸上分數(shù)的觀察發(fā)現(xiàn)，為“分數(shù)大小比較”“分數(shù)的基本性質(zhì)”學習積累了經(jīng)驗，同時發(fā)展了數(shù)感，滲透了極限等數(shù)學思想方法，為今后的學習埋下伏筆。

（五）追根溯源——感受分數(shù)產(chǎn)生與發(fā)展的淵源

視頻播放分數(shù)產(chǎn)生的來源及分數(shù)表示的演變過程（內(nèi)容為書第60頁、62頁“你知道嗎？”）。

設(shè)計意圖：在三年級下冊學習“分數(shù)的初步認識”時，孩子們對分數(shù)的產(chǎn)生有了一定的了解，這里通過視頻這種喜聞樂見的方式再來回憶、感受分數(shù)產(chǎn)生的來源，可以讓學生更全面地了解分數(shù)的意義：“分數(shù)”首先是一個具體的數(shù)，分數(shù)還可以表示部分與整體的關(guān)系，分數(shù)還是兩個數(shù)的商或者兩個數(shù)的比……從而完善孩子們的知識結(jié)構(gòu)。另外，通過對分數(shù)的產(chǎn)生、演變過程的了解，學生也豐富了對分數(shù)歷史的了解，擴大了知識面。

（責編 黎雪娟）