層層類比 由此及彼

邰紅娟

【摘 要】在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，許多知識采用了類比方法的教學(xué)，對比不同知識點間的聯(lián)系與區(qū)別，使知識內(nèi)容系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化。這種教學(xué)鍛煉了學(xué)生的邏輯分析能力，提高了綜合應(yīng)用水平。本文以圓和橢圓的類比教學(xué)為例，淺談類比的一些應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】代換；類比；性質(zhì)

1.類比法是高中數(shù)學(xué)中的一個重要方法

類比法是一種橫向思維，是根據(jù)兩個或兩類事物在某些屬性上相同或相似，從而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理方法。數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過：“沒有這些思路（普遍化、特殊化和類比的通用的基本思想），特別是類比，在初等或高等數(shù)學(xué)中也許就不會有發(fā)現(xiàn)”。華東師范大學(xué)許承厚就通過類比法發(fā)現(xiàn)并證明了多面體的面角和定理。由此可見，類比法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中起著非常重要的作用，必須引起重視，高中數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)充分重視類比法。

下面以橢圓性質(zhì)的探究為例，作一些分析

2.變量代換，由圓及橢

問題：

將圓O：x2+y2=4上的點橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄笏们€的方程，并說明它是什么曲線？（蘇教版《選修2-1》P31 例2）

證明：設(shè)點P（x，y）為所求曲線上的任一點，則點P′（x，2y）為圓O上的對應(yīng)點

則x2+（2y）2=4

該曲線為橢圓。

既然通過圓的伸縮就可以變成橢圓，那么圓中的對應(yīng)性質(zhì)在橢圓內(nèi)有類似的性質(zhì)嗎？

3.性質(zhì)對比，由圓類橢

3.1類比1 弦斜率之積

性質(zhì)1：已知圓O：x2+y2=r2，MN為圓O的一條直徑，P為圓O上的任意一點，則kMP·kNP=-1。

證明：設(shè)M（x1，y1），（x2，y2），則N（-x1，-y1）

那么，類比到橢圓中是否也有類似的性質(zhì)呢？

3.2類比2 弦與某直線斜率之積

性質(zhì)2：已知圓O：x2+y2=r2，MN為圓O上的一條弦（不是直徑），P是線段MN的中點，若直線MN和直線OP的斜率都存在，則 總之，類比法是一個重要的數(shù)學(xué)方法，這里只是其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用中的一個小實例。在教學(xué)實際中，廣泛合理地應(yīng)用類比法對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心價值非常重要。

（作者單位：昆山震川高級中學(xué)）