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    生成樹(shù)的計(jì)數(shù)

    2015-08-17 07:43:43鄭藝容
    關(guān)鍵詞:歸納法個(gè)數(shù)廈門(mén)

    鄭藝容,周 雪

    (1.廈門(mén)理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 廈門(mén) 361024;2.福州大學(xué)離散數(shù)學(xué)中心,福建 福州 350003 )

    生成樹(shù)的計(jì)數(shù)

    鄭藝容1,2,周雪2

    (1.廈門(mén)理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 廈門(mén) 361024;2.福州大學(xué)離散數(shù)學(xué)中心,福建 福州 350003 )

    從組合數(shù)學(xué)的角度研究生成樹(shù)的計(jì)數(shù).先利用容斥原理,得到3個(gè)組合恒等式,再?gòu)慕M合數(shù)學(xué)的角度出發(fā),并利用數(shù)學(xué)歸納法給出了Cayley’s公式的又一簡(jiǎn)便證明.該計(jì)數(shù)方法將圖的計(jì)數(shù)問(wèn)題與組合數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問(wèn)題聯(lián)系起來(lái),更好地揭示了生成樹(shù)計(jì)數(shù)的本質(zhì).

    Cayley’s公式;生成樹(shù);容斥原理;數(shù)學(xué)歸納法

    計(jì)算圖的不同生成樹(shù)的個(gè)數(shù)是圖的計(jì)數(shù)問(wèn)題中的一個(gè)重要研究課題.1857年,Cayley[1]在研究給定碳原子數(shù)n的飽和碳?xì)浠衔?CnH2n+2)的同分異構(gòu)體的數(shù)目時(shí),提出“樹(shù)”的概念, 即不含圈的連通圖.如果連通圖G的一個(gè)子圖T是一棵樹(shù),且包含G的所有頂點(diǎn),則該子圖T稱(chēng)為G的生成樹(shù)(SpanningTree).設(shè)G是一個(gè)圖,t(G)表示G中不同生成樹(shù)的個(gè)數(shù).Cayley于1889年給出計(jì)算n階完全圖的不同生成樹(shù)個(gè)數(shù)的公式,即著名的Cayley’s公式.

    定理1[2](Cayley’s公式)n階完全圖的不同生成樹(shù)的個(gè)數(shù)

    Cayley’s公式有很多不同的證明方法,參見(jiàn)文獻(xiàn)[2-5].本文又給出Cayley’s公式的又一簡(jiǎn)單證明.

    1 預(yù)備知識(shí)

    首先介紹一些基本概念和結(jié)論.容斥原理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的定理,其內(nèi)容如下:

    定理2[6 ](容斥原理)設(shè)A是有限集,Ai?A(i=1,2,…,n,n≥2),則

    設(shè)N={1,2,…,n},M={1,2,…,m},A表示N上所有p維數(shù)組構(gòu)成的集合, 其中p

    定理3設(shè)n,m,p∈N+,p

    又A=A1∪A2∪…∪Am,根據(jù)容斥原理、對(duì)稱(chēng)性及引理1可得:

    特別地,當(dāng)p=n-2時(shí)可得以下推論:

    2 生成樹(shù)計(jì)數(shù)公式的再證明

    證明由上述定義可知:T1∩T2∩…∩Tk那么表示頂點(diǎn)1,2,…,k(1≤k≤n)均為樹(shù)葉的n階生成樹(shù)構(gòu)成的集合,這樣的任意一棵樹(shù)可經(jīng)過(guò)下述兩個(gè)步驟得到.

    (i)由頂點(diǎn)k+1,k+2,…,n導(dǎo)出的子圖T是一棵樹(shù),易知恰好有tn-k個(gè)這樣的T;

    證明T表示所有n階生成樹(shù)構(gòu)成的集合,Ti(i=1,2,…n)表示所有n階生成樹(shù)中頂點(diǎn)i為樹(shù)葉的生成樹(shù)構(gòu)成的集合,由于每棵非平凡樹(shù)至少有兩片樹(shù)葉,故T=T1∪T2∪…∪Tn,由容斥原理、對(duì)稱(chēng)性及引理2可知:

    以下給出Cayley’s 公式的另一證明.

    定理4所有不同n階生成樹(shù)的個(gè)數(shù)tn=nn-2( Cayley’s 公式)

    證明用數(shù)學(xué)歸納法

    (i)易知t1=t2=1,t3=3 結(jié)論顯然成立.

    (ⅱ)假設(shè)定理對(duì)小于n的正整數(shù)都成立.

    (ⅲ)以下證明對(duì)n結(jié)論成立.根據(jù)引理3

    注3第1,第2,第3個(gè)等號(hào)成立分別根據(jù) 引理3,歸納假設(shè)第2步, 推論1.

    3 小結(jié)

    Cayley’s 公式是圖計(jì)數(shù)中的經(jīng)典公式,已有很多不同的證明方法,本文利用由容斥原理得到的組合恒等式并借助數(shù)學(xué)歸納法給出Cayley’s 公式的又一簡(jiǎn)單證明.接下來(lái)可進(jìn)一步研究Cayley’s 公式的不同證明方法,特別是能將圖的其它經(jīng)典問(wèn)題與圖的計(jì)數(shù)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)證明Cayley’s 公式,更好地揭示圖論中的一些本質(zhì)聯(lián)系.

    [1]CAYLEY A.On the theory of the analytical forms called trees[J].Philophical Magazine,1857,13(4):172-176.

    [2]CAYLEY A.A theorem on trees[J].Quart J Math,1989,23:376-378.

    [3]SHOR P W.A new proof of Cayley’s formula for counting labeled trees[J].J Combin Theory:Series A,1995,71:154-158.

    [4]ARIANNEJAD M,EMAMI M.A new proof of Cayley’s formula for counting labeled spanning trees[J].Electronic Notes in Discr Math,2014,45:99-102.

    [5]GODSIL C,ROYLE G.Algebraic graph theory[M].New York:Springer-Verlag,2001.

    [6]曹汝成.組合數(shù)學(xué)[M].廣州:華南理工大學(xué)出版社,2000.

    2

    (1.SchoolofAppliedMathematics,XiamenUniversityofTechnology,Xiamen361024,China;2.CenterforDiscreteMathematics,FuzhouUniversity,Fuzhou350003,China)

    (責(zé)任編輯曉軍)

    Counting Spanning Trees

    ZHENG Yi-rong1,2, ZHOU Xue

    Inthispaper,weexploredthepossibilityofcountingspanningtreeinacombinatorialapproach.Wegotthreecombinatorialidentifiesapplyingtheinclusion-exclusionprinciple.Basedontheseidentifiesandmathematicsinduction,wegaveaneasyprooffortheCayley’sformulausingacombinatorialargument.Theapproachcombinestheproblemofgraphicalenumerationwithclassicalproblemsincombinatorialmathematicsandrevealstheessenceoftheproblemofcountingspanningtreeswithbettereffect.

    Cayley’sformula;spanningtrees;inclusion-exclusion;induction

    2014-09-24

    2015-02-02

    國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(NSFC11301440 );福建省教育廳科技項(xiàng)目(JB13155);廈門(mén)理工學(xué)院科研基金項(xiàng)目(XKJJ201106)

    鄭藝容 (1979- ),男,講師,碩士,研究方向?yàn)榻M合圖論.E-mail:yrzheng@xmut.edu.cn

    O157A

    1673-4432(2015)01-0095-03

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