有限維線性空間中線性變換值域與核的關(guān)系*

鐘振華

（楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 楚雄 675000）

有限維線性空間中線性變換值域與核的關(guān)系*

鐘振華

（楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 楚雄 675000）

摘要：本文給出了線性變換的值域與核的內(nèi)在關(guān)系，討論了線性空間分解為線性變換值域與核的直和的充要條件以及線性變換值域與核的包含關(guān)系。

關(guān)鍵詞：線性變換；值域；核；直和分解

線性變換的值域與核能很好地反映線性變換的內(nèi)在特征，對其做深入研究是很有必要的。文［1］給出了線性變換值域與核的維數(shù)關(guān)系，但未討論它們的和是直和的條件；而文［2］給出了線性變換的值域與核的和是整個(gè)空間的充要條件，并討論了特殊線性變換的性質(zhì)，但仍未給出值域與核的內(nèi)在本質(zhì)關(guān)系。本文擬從值域與核的交集特征，探討值域與核的本質(zhì)關(guān)系，進(jìn)一步深化相關(guān)結(jié)果。

1.　主要結(jié)果

下文中假設(shè)V是數(shù)域P上的有限維線性空間，A是V上的線性變換，以dim（V）表示V的維數(shù)，rank（A）表示A的秩，ker（A）表示A的核，lm（A）表示A的值域，則有

定理1［1］對于n維線性空間V上的線性變換A，有

定理2設(shè)A是有限維線性空間V上的線性變換，則

證明取Im（A）∩ker（A）的一組基為α1，α2，…，αm，把它擴(kuò)充為ker（A）的一組基

若ξ∈ker（A2），有Aξ∈ker（A）∩Im（A），則

即有

由定理2，可得以下推論：

關(guān)于線性變換的冪，我們有

定理3設(shè)A是n維線性空間V上的線性變換，則存在1≤k≤n，使得對任意的0＜t∈Z，都有

顯然t=1結(jié)論成立的。假設(shè)結(jié)論對一切小于t的正整數(shù)成立，則

由推論4不難得到

推論5對于n維線性空間V上的線性變換A，存在1≤k≤n，使得對任意的正整數(shù)t≥k，都有

2.　應(yīng)用

下面給出以上結(jié)論的簡單應(yīng)用。

例1在線性空間P［x］n中的微分變換

例2在線性空間P2中，線性變換

參考文獻(xiàn)：

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2013：302—305.

［2］馬淑云，王驍力，張菲菲，等.從V=AV＋A-1（0）的一個(gè)條件談起［J］.南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，12（06）：10—13.

（責(zé)任編輯李艷梅）

中圖分類號：O151.2

文章標(biāo)識碼：A

文章編號：1671-7406（2015）03-0006-03

*收稿日期：2015-01-16

作者簡介：鐘振華 （1969—），男，副教授，研究方向：代數(shù)學(xué)。

The Relationship between Range and Kernel of Linear Transformations of Finite Dimensional Linear Space

ZHONG Zhenhua
（School of Mathematics and Statistics，Chuxiong Normal University，Chuxiong，675000，Yunnan Province）

Abstract：This paper presents the intrinsic relationship of range and kernel of linear transformations，discusses the necessary and sufficient conditions for the direct sum decomposition of range and kernel of linear transformation in linear space and the inclusion relation of range and kernel of linear transformation.

Key words：linear transform；range；kernel；direct sum decomposition