試析泰勒公式及泰勒級數(shù)之妙用

陳旭東

（泉州醫(yī)學(xué)高等專科學(xué)校泉州市362000）

泰勒公式及泰勒級數(shù)在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中極為廣泛，例如泰勒公式在求和以及判斷級數(shù)的懶散性方面的應(yīng)用、在函數(shù)的斜漸近線方面的應(yīng)用、在數(shù)值積分方面的應(yīng)用以及在最優(yōu)理論中的應(yīng)用，它能夠有效的解決數(shù)學(xué)中遇到的一系列難題，從而可以提高教學(xué)水平以及教學(xué)質(zhì)量，開發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生更好的處理在數(shù)學(xué)中遇到的一系列難題，從而提高解決問題的能力。

一、泰勒公式和泰勒級數(shù)

1.泰勒公式

泰勒公式指的是在高等數(shù)學(xué)中，用于函數(shù)的分析和計(jì)算，在函數(shù)中，為了求其函數(shù)值，可以將一些初等的函數(shù)將其轉(zhuǎn)化成一些冪級數(shù)進(jìn)行換算，從而高效并準(zhǔn)確的對數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行公式的運(yùn)算和求解，泰勒公式有利于函數(shù)進(jìn)行精細(xì)的分析和計(jì)算，打破無理和超越函數(shù)的極限對其結(jié)果進(jìn)行換算，有效的簡化了計(jì)算步驟和計(jì)算程序，從而廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)計(jì)算方面。泰勒公式的使用有其一定的條件：在泰勒公式的使用中，要滿足一定的條件才能進(jìn)行使用，那就是必須保證f(x)n階可導(dǎo)。

在已知函數(shù)中，若該函數(shù)足夠光滑，那么在該函數(shù)一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況下，可利用泰勒公式與該導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)，從而建立一個(gè)多項(xiàng)式近似函數(shù)，在這一鄰域點(diǎn)的值。同時(shí)泰勒公式還可以計(jì)算出該多項(xiàng)式與實(shí)際函數(shù)值之間的偏差。

2.泰勒級數(shù)

定義：在一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)f（x）中，該函數(shù)在點(diǎn)的鄰域中具有直到（n+1）階導(dǎo)數(shù)。泰勒級數(shù)就是指像此類函數(shù)一樣的它在計(jì)算以及轉(zhuǎn)化中的方式，泰勒級數(shù)在數(shù)學(xué)的計(jì)算中是必不可少的，在數(shù)學(xué)計(jì)算中占據(jù)著重要的作用。

3.泰勒公式和泰勒級數(shù)在數(shù)學(xué)計(jì)算應(yīng)用的重要作用

在函數(shù)的求和過程中，可以對冪函數(shù)的求導(dǎo)以及積分非開進(jìn)行，這樣就可以使函數(shù)的求和變得相對簡單容易一些。泰勒級數(shù)對函數(shù)的數(shù)值進(jìn)行大概的計(jì)算，泰勒級數(shù)可以對一個(gè)區(qū)域進(jìn)行解析并得到一個(gè)函數(shù)，它可以被稱為解析函數(shù)使復(fù)分析這種方式得到有效的應(yīng)用。

4.兩者之間的差異性

從泰勒公式以及泰勒級數(shù)的定義我們不難看出，泰勒公式對函數(shù)的連續(xù)導(dǎo)數(shù)要求不高，只要求其在0點(diǎn)上可以直接到n+1的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而泰勒級數(shù)要求函數(shù)具有任意階的導(dǎo)數(shù)，還要求具有余項(xiàng)，所以，我們可以將泰勒級數(shù)作為泰勒公式的延伸來對其進(jìn)行定義與應(yīng)用。

5.求函數(shù)在0點(diǎn)出的泰勒級數(shù)的方法

一種是可以直接計(jì)算出它的泰勒級數(shù)，主要就是先計(jì)算出函數(shù)在0點(diǎn)的各階的導(dǎo)數(shù)，將其泰勒級數(shù)寫出來，并根據(jù)余項(xiàng)的收斂來確定其收斂的區(qū)域范圍，但是運(yùn)用此方法有一個(gè)不可避免的難度就是計(jì)算及驗(yàn)證余項(xiàng)，所以一般除了簡單的求函數(shù)級數(shù)的題外，一般都不建議采用此方法進(jìn)行運(yùn)算。還有一種辦法就是間接的來求該函數(shù)級數(shù)，一般可以借一些簡單的最基本的函數(shù)形式進(jìn)行交換運(yùn)算，逐項(xiàng)的進(jìn)行求積，最后可以導(dǎo)出函數(shù)的泰勒級數(shù)，這是最簡單的也是在數(shù)學(xué)應(yīng)用中使用最廣泛的方法，所以這就要求學(xué)生必須掌握基本的函數(shù)展開式的方法，以及泰勒公式的使用方法，更好的對其進(jìn)行運(yùn)算。

二、泰勒公式和泰勒級數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.泰勒公式在求和以及判斷級數(shù)的懶散性方面的應(yīng)用

在函數(shù)中，不同的函數(shù)有不同的結(jié)構(gòu)，所以用泰勒公式的收斂性可以將不同結(jié)構(gòu)的函數(shù)都統(tǒng)一為同一結(jié)構(gòu)的冪函數(shù)進(jìn)行求和，它是研究數(shù)學(xué)領(lǐng)域函數(shù)的重要手段主要運(yùn)用高階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，所以用泰勒公式或者是泰勒級數(shù)都可以對級數(shù)進(jìn)行求和并判斷級數(shù)的懶散性，以下實(shí)例就證明了它的這一特性。

例1運(yùn)用泰勒公式對函數(shù)進(jìn)行求和計(jì)算時(shí)，首先應(yīng)該根據(jù)該級數(shù)的特性，得出該公式的冪級數(shù)，之后再根據(jù)其冪級數(shù)，得出該冪級數(shù)的收斂公式，將冪級數(shù)換成想要的形式，我們可以設(shè)該函數(shù)設(shè)為另一計(jì)算函數(shù)，之后得出原級項(xiàng)數(shù)級數(shù)的和，根據(jù)以上步驟，就可以解出該函數(shù)的級數(shù)。

級數(shù)的斂散性的判斷在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中來說是比較困難且復(fù)雜的，所以在解題的過程中應(yīng)該注意對函數(shù)的放縮以及早級數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，把這些要求應(yīng)該合理的結(jié)合加以應(yīng)用，才能高效率的解出相應(yīng)函數(shù)[4]。

同時(shí)在證明數(shù)列的收斂性時(shí)，根據(jù)數(shù)列自身的特性，以及已知條件得出數(shù)列n達(dá)到相應(yīng)程度之后，呈現(xiàn)正數(shù)且與數(shù)列中的某一相關(guān)聯(lián)量同階無窮小，最后得出數(shù)列的收斂性。

2.求函數(shù)的斜漸近線

函數(shù)的斜漸近線是指在一個(gè)函數(shù)中，當(dāng)x的大小屬于無窮盡時(shí)，函數(shù)沒有界限的接近一條固定的直線，但是在這一概念中，直線與該函數(shù)的垂直距離屬于無限小的階段。所以就可以將這一條固定直線稱之為該函數(shù)的斜漸近線。

在具體求解曲線方程式的斜漸近線的方程式時(shí)，可以根據(jù)各個(gè)曲線方程式，的已知條件與位置條件并對其進(jìn)行分析，從而利用泰勒公式，對曲線方程式進(jìn)行計(jì)算分解，之后就可以解出該曲線的斜漸近線方程。

3.泰勒公式在數(shù)值積分方面的應(yīng)用

我們可以將f(x)設(shè)為F(x)的原函數(shù)，我們?nèi)绻胍绤^(qū)間（a，b）的定積分，可以使用牛頓—萊布尼茲公式得出。但是，有的原函數(shù)并不能使用初等函數(shù)來代替并表達(dá)，還有的函數(shù)非常復(fù)雜，很難求出或者計(jì)算出該函數(shù)的積分值，如被積函數(shù)的數(shù)據(jù)特別分散的時(shí)候，就不能對這種積分進(jìn)行合理的計(jì)算，所以，在函數(shù)數(shù)值的積分方面，并不是所有在區(qū)間上的可積函數(shù)的積分?jǐn)?shù)值都可以用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算得出的，定積分是一個(gè)確定的數(shù)值，但是我們并不知道解決定積分的計(jì)算方法，所以，這就必須要求我們必須找出定積分的計(jì)算方法，這樣我們才能利用泰勒公式建立該函數(shù)的定積分的相似的計(jì)算公式，這樣就可以對定積分進(jìn)行相近的計(jì)算，所以，我們可以根據(jù)被積函數(shù)的特性，看其是否可以在積分區(qū)間上展開形成冪級數(shù)，再然后把這個(gè)冪級數(shù)進(jìn)行逐項(xiàng)的積分分析，最后用積分以后的級數(shù)算出該函數(shù)定積分的近似值。

4.泰勒公式在最優(yōu)理論中的應(yīng)用

泰勒公式的應(yīng)用在解答原函數(shù)時(shí)，是指將原目標(biāo)函數(shù)的點(diǎn)在其附近展開成泰勒多項(xiàng)式，函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，與目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和其梯度相關(guān)，在計(jì)算與研究某一特定方向的變化率和其最大的變化率，就要用到該函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度，函數(shù)的極大值和極小值的相關(guān)問題，主要包括無約束目標(biāo)函數(shù)的極值條件以及無約束優(yōu)化等問題，為了確定該函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，一般都先求出若干個(gè)極值點(diǎn)并將其進(jìn)行比較，在設(shè)計(jì)問題的優(yōu)化過程中，函數(shù)只有在具備了某種特定的性質(zhì)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的局部極小點(diǎn)才能代表全局的極小點(diǎn)，否則一般都無法將其相提并論，在目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)點(diǎn)上，它與目標(biāo)函數(shù)自身的屬性特質(zhì)以及約束函數(shù)的特質(zhì)相關(guān)，所以有時(shí)候?yàn)榱艘獫M足約束條件的限制因素，目標(biāo)函數(shù)的自然極點(diǎn)值也并不一定會(huì)是該函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)。它的應(yīng)用主要包括在數(shù)值最優(yōu)理論證明時(shí)的應(yīng)用以及在數(shù)值最優(yōu)化算法設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[5]。

三、結(jié)束語

本文首先介紹了泰勒公式和泰勒級數(shù)的一些相關(guān)理論知識，進(jìn)而又通過具體的舉例如泰勒公式在求和以及判斷級數(shù)的懶散性方面的應(yīng)用、在函數(shù)的斜漸近線方面的應(yīng)用、在數(shù)值積分方面的應(yīng)用以及在最優(yōu)理論中的應(yīng)用，具體的討論了泰勒公式在與泰勒級數(shù)高等數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用與其重要性，是非常重要的、必不可少的在數(shù)學(xué)中計(jì)算數(shù)值的工具，它可以有效的解決高等數(shù)學(xué)中的復(fù)雜難題，對學(xué)術(shù)以及科研都有很大的意義。泰勒公式和泰勒級數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，遠(yuǎn)不止文章中的這些，它在其他方面也有很廣泛的應(yīng)用，所以，我們應(yīng)該對其進(jìn)行更多更深方面的探討和研究。

[1]石國學(xué).泰勒公式及泰勒級數(shù)應(yīng)用問題舉例[J].考試周刊，2014，56:69-70.

[2]齊永波.關(guān)于泰勒公式及其應(yīng)用的思考與討論[J].學(xué)園，2014，33:63.

[3]于祥芬，李瑩.泰勒公式的幾點(diǎn)應(yīng)用[J].科教文匯(上旬刊)，2011，02:88+107.

[4]杜曉梅.將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)探微[J].黑龍江生態(tài)工程職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，01:101-102.

[5]莫慶美.泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的使用技巧[J].河南科技，2014，04:198-199.