離散Boltzmann-BGK方程解的長(zhǎng)時(shí)間特性研究

徐思齊

(信陽師范學(xué)院 土木工程學(xué)院, 河南 信陽 464000)

0 引言

為了避免流體力學(xué)中對(duì)于Navier-Stokes方程的求解，格子Boltzmann方法中利用BGK近似來代替碰撞過程，并通過求解離散速度的Boltzmann-BGK方程來模擬牛頓流體.Cabannes[1-2]研究了離散Boltzmann方程在零解附近的整體解的存在性，在此基礎(chǔ)上，Beale[3]研究了離散Boltzmann方程解在時(shí)間t→∞時(shí)的漸近性質(zhì).之后，Kawashima[4]研究了在初值靠近絕對(duì)Maxwell量時(shí)，離散Boltzmann方程整體解的存在唯一性，并給出了該方程在時(shí)間t→∞時(shí)解的漸近形式.關(guān)于連續(xù)情形Boltzmann方程解的漸近行為可參閱文獻(xiàn)[5-9].

本文對(duì)于離散速度Boltzmann-BGK方程的研究可以通過類似文獻(xiàn)[4]中的方法，對(duì)其進(jìn)行Chapman-Enskog展開[2]，得到一階近似的Euler方程，并對(duì)Euler方程的特征域進(jìn)行分析，得出當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)方程解的漸近形式.本文主要以D1Q3模型[10-11]為例，考察當(dāng)t→∞，碰撞頻率取ρ時(shí)，離散速度Boltzmann-BGK方程解的漸近性質(zhì).首先，通過平衡態(tài)分布函數(shù)的展開，整理D1Q3模型對(duì)應(yīng)的方程，求得其對(duì)應(yīng)的Euler方程，分析特征域的性質(zhì)；然后，分析線性化方程組對(duì)應(yīng)的特征值，并驗(yàn)證原方程組解的存在唯一性；最后，給出方程解的漸近形式.

1 Euler方程及其特征域分析

1.1 離散速度Boltzmann-BGK方程及求和不變量

D1Q3模型的離散速度Boltzmann-BGK方程的一般形式為:

(1)

且滿足質(zhì)量守恒與動(dòng)量守恒:

ρ=∑fi,ρu=∑fiei,i=0,1,2.

對(duì)于D1Q3模型,

則方程組(1)可化為:

(2)

考慮其初值問題

(3)

1.2 Euler方程的推導(dǎo)

(4)

可得相應(yīng)的Euler方程(σj)t+〈VF,ψj〉x=0,j=1,2,即:

(5)

1.3 特征域分析

證明條件(C1)的驗(yàn)證：若存在ψ∈M使得λψ=Vψ,?λ∈R,則ψ可表示為ψ=c1ψ(1)+c2ψ(2),c1,c2∈R,其中ψ(1)=(1,1,1)T,ψ(2)=(0,1,-1)T為上述求和不變量集合M的一組基,代入λψ=Vψ，則有：

c1(λI-V)ψ(1)+c2(λI-V)ψ(2)=0.

由于

(λI-V)ψ(1)=(λ,λ-1,λ+1)T,

(λI-V)ψ(2)=(0,λ-1,-λ-1)T，

且這兩個(gè)向量對(duì)于任意的λ∈R線性無關(guān)，故c1=c2=0,因此ψ=0.

條件(C2)的驗(yàn)證：Euler方程(5)式可改寫為:

σt+A(σ)σx=0,

其中,

σ=(σ1,σ2)T=(ρ,m)T為F的矩，則A(σ)的特征值和相應(yīng)的特征向量分別為:

因而,

則〈▽?duì)姚薺(σ),rj(σ)〉≠0.即方程(5)的特征域在該區(qū)域中是完全非線性的.證畢.

2 解的整體存在及唯一性的驗(yàn)證

2.1 D1Q3方程的線性化

影響方程(1)中碰撞頻率ω的因素為溫度、密度以及介質(zhì)的大小,本文考慮ω=ρ的情況，此時(shí)D1Q3方程(2)即為：

(6)

(7)

2.2 解的整體存在及唯一性定理

定理1(解的整體存在及唯一性定理) D1Q3模型滿足條件(C1):對(duì)任意λ∈R,若存在ψ∈M滿足λψ=Vψ,則ψ=0.令M是一個(gè)分量均為正的絕對(duì)Maxwell量.

(i)若F0-M∈Hs,s≥1且‖F(xiàn)0-M‖s值很小,則初值問題(2)和(3)具有唯一的整體解F(t,x),且F(t,x)滿足F-M∈C0([0,∞);Hs)∩C1([0,∞);Hs-1).而且,當(dāng)t→∞時(shí),F(t,x)在Bs-1范數(shù)下收斂到M.

(ii)若F0-M∈Hs∩L1,s≥1且

Es=‖F(xiàn)0-M‖s+‖F(xiàn)0-M‖L1

很小，則對(duì)于t∈[0,∞)，(i)中所描述的解F(t,x)滿足

其中，0≤l≤s且C為一個(gè)常數(shù).

注本定理的證明可參照文獻(xiàn)[4].

3 解的漸近形式

3.1 線性方程特征值的譜表示

線性化方程(7)對(duì)應(yīng)的特征矩陣為:

其特征值μ對(duì)應(yīng)的特征方程為:

μ3+6μ2+ξ2μ+2ξ2=0,

(8)

作變換令μ=y-2,可得:

y3+(ξ2-12)y+16=0.

于是，方程(8)的解為μi=yi-2,i=1,2,3.易知,當(dāng)iξ→0時(shí),μ2→0,μ3→0,μ1不趨于0.

比較η,η2的系數(shù)，可得:

記:

(9)

3.2 解的漸近形式

在上述討論的基礎(chǔ)上，我們可以得到如下核心定理：

證明令zj(ρ,m)對(duì)于任意的(ρ,m)T都滿足〈▽zj,rj〉=0,則可得到:

首先確定參數(shù)δj,j=1,2:

(10)

則所求的漸近解可由下面式(11)確定:

(11)

其中φ(1),φ(2)是ΛMM的基,可取φ(1)=(4,1,1)T,φ(2)=(0,1,-1)T.證畢.

4 結(jié)語

本文基于格子Boltzmann方法中的D1Q3模型，研究了一維離散速度的Boltzmann-BGK方程在絕對(duì)Maxwell量附近的整體解在長(zhǎng)時(shí)間時(shí)具有的漸近形式，并且通過算子半群及雙曲拋物系統(tǒng)中的理論，證明了此漸近解可由Burgers方程的自相似解疊加得到.