三維等熵歐拉方程組解的爆破

朱旭生，艾利娜，湯傳揚(yáng)

(華東交通大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330013)

0 引言

考慮三維空間中帶阻尼項(xiàng)等熵歐拉方程組：

(1)

的Cauchy問題，對(duì)應(yīng)的初始數(shù)據(jù)為

(2)

對(duì)歐拉方程組的Cauchy問題解的研究已有很多，主要集中在經(jīng)典解的整體存在性以及經(jīng)典解爆破的研究.在文獻(xiàn)[1]中，王維克和楊彤研究了帶阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組的初值問題，當(dāng)初始數(shù)據(jù)是在一個(gè)常狀態(tài)附件的小擾動(dòng)時(shí)，得到了經(jīng)典解的整體存在性.文獻(xiàn)[2]研究了三維可壓縮歐拉方程組的經(jīng)典解，并用能量估計(jì)的方法證明了解的整體存在性.而文獻(xiàn)[3]報(bào)道了有界區(qū)域內(nèi)帶阻尼項(xiàng)的可壓縮歐拉方程組的初邊值問題的經(jīng)典解的整體存在.文獻(xiàn)[4-5]報(bào)道了帶阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組，在假設(shè)某些初始數(shù)據(jù)較大時(shí)，構(gòu)造泛函，得出經(jīng)典解的爆破.文獻(xiàn)[6-8]報(bào)道了真空狀態(tài)下的歐拉方程組正規(guī)解的爆破.文獻(xiàn)[9]考慮帶有溫度項(xiàng)的歐拉方程，引入特殊速度函數(shù)，進(jìn)而研究歐拉方程的爆破現(xiàn)象.文獻(xiàn)[10]充分利用了軸對(duì)稱和理想氣體狀態(tài)方程的特點(diǎn)，當(dāng)關(guān)于初始速度的泛函足夠大時(shí)，經(jīng)典解會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破的結(jié)論.本文繼續(xù)研究三維空間中帶阻尼項(xiàng)的等熵Euler方程組的Cauchy問題，結(jié)合文獻(xiàn)[4-6]中的方法，在M(0)<0條件下，當(dāng)初始數(shù)據(jù)較大時(shí)，通過構(gòu)造泛函，證明其經(jīng)典解在有限時(shí)間內(nèi)必定發(fā)生爆破的結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

定義：

根據(jù)經(jīng)典解的局部能量估計(jì)知道方程組的經(jīng)典解具有有限傳播速度的性質(zhì)，即

2 主要結(jié)論

在M(0)<0條件下得到以下結(jié)論：

(3)

則τ

證明假設(shè)(ρ,u)是方程在時(shí)間區(qū)間[0,τ)的C1解，且T<τ，則由方程組(1)可得

則

M(t)=M(0).

(4)

對(duì)F′(t)分部積分，由方程組(1)可得到

根據(jù)狀態(tài)方程P=Aργ且γ>1，可得

所以

(5)

根據(jù)引理1和Cauchy-Schwartz不等式可得：

(6)

又由式(4)可得

(7)

而A′(t)>0，即A(t)遞增，從A(t)的定義可知A(0)>0，所以A(t)>0恒成立，從而綜合式(5)、(6)和(7)可得以下微分不等式：

(8)

可設(shè)G(t)=eαtF(t),則G′(t)=eαt(F′(t)+αF(t))，所以

(9)

而當(dāng)0≤t≤T時(shí)，則

那么

(10)

而由F(0)=G(0)，T<τ及式(3)得出：

即G′(t)>0.那么G(t)一定時(shí)間內(nèi)是增加的，所以

那么得到：

(11)

對(duì)式(11)在[0,t]上積分，可得到

而F(0)=G(0)，所以

(12)

則τ

證明假設(shè)(ρ,u)是方程在時(shí)間區(qū)間[0,τ)的C1解，且T<τ，同樣對(duì)F′(t)進(jìn)行分部積分，得：

|x|2x·▽P+ρ|x|2|u|2dx,

所以

F′(t)+αF(t)≥

(13)

根據(jù)引理1和Cauchy-Schwartz不等式可得到：

(14)

又由式(7)可得

(15)

結(jié)合式(13)、(14)和(15)可得以下微分不等式

而由定理1可知A(t)>0且遞增，所以

我們?nèi)栽O(shè)G(t)=eαtF(t)，則G′(t)=eαt(F′(t)+αF(t))，所以

(16)

而當(dāng)0≤t≤T時(shí)，則

那么

(17)

同理，由F(0)=G(0)，T<τ及式(12)，得G′(0)>0,那么G(t)一定時(shí)間內(nèi)是增加的，所以

那么

(18)

對(duì)式(18)在[0,t]上積分，可得到

由F(0)=G(0)及式(12)可得

對(duì)任意t∈[0,T]成立.

同理，再由定理1可得τ

3 結(jié)語

本文在滿足了一些條件的基礎(chǔ)上，研究了三維等熵歐拉方程組的柯西問題，獲得的主要結(jié)論是：在Sideris T.C.研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，當(dāng)初始數(shù)據(jù)足夠大時(shí)，運(yùn)用泛函分析的方法，得到兩種條件下，歐拉方程組經(jīng)典解爆破的結(jié)論，分析過程清晰簡單.本文雖然研究了等熵歐拉方程組在三維空間中經(jīng)典解的爆破問題，而對(duì)于在一維、二維空間的研究沒有涉及，所以今后有待于研究的是運(yùn)用本文中的方法，解決一維、二維空間中，等熵歐拉方程組經(jīng)典解的爆破問題.