氣囊-浮筏耦合船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)研究

李 明，趙 文，何 琳

(1.西安科技大學(xué)力學(xué)系，陜西西安710054；2.海軍工程大學(xué)振動(dòng)與噪聲研究所，湖北武漢430033)

氣囊-浮筏耦合船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)研究

李 明1，趙 文1，何 琳2

(1.西安科技大學(xué)力學(xué)系，陜西西安710054；2.海軍工程大學(xué)振動(dòng)與噪聲研究所，湖北武漢430033)

討論了氣囊-浮筏耦合的船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模以及其非線性動(dòng)力學(xué)特性。首先，基于短軸承理論，建立了氣囊-浮筏的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。采用數(shù)值分析的方法，分析了系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為，如穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、軸心軌跡、Poincaré映射、分岔圖以及最大Lyapunov指數(shù)等。研究結(jié)果表明，在較低轉(zhuǎn)速下，系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)單周期運(yùn)動(dòng)，隨著轉(zhuǎn)速的不斷增大，系統(tǒng)出現(xiàn)單周期、倍周期、擬周期和混沌等復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為，這些動(dòng)力學(xué)特性可以為氣囊-浮筏耦合船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的振動(dòng)控制及其參數(shù)優(yōu)化提供理論依據(jù)。

氣囊-浮筏；船用轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；短軸承；非線性振動(dòng)；動(dòng)力學(xué)特性

引 言

近年來(lái)，船用機(jī)械系統(tǒng)的隔振減噪問(wèn)題備受關(guān)注［1］。為了降低艦船動(dòng)力設(shè)備與船體之間能量的傳遞，通常在動(dòng)力裝置(設(shè)備)和基座(基礎(chǔ))之間安裝各類隔振系統(tǒng)，其中浮筏隔振裝置由于其結(jié)構(gòu)緊湊，同時(shí)又能有效地降低振動(dòng)能量的傳遞，因此被廣泛應(yīng)用于艦艇機(jī)械系統(tǒng)的減振降噪之中［2-3］。

在有關(guān)浮筏隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究中，文獻(xiàn)［4］利用大型浮筏隔振系統(tǒng)中的筏架作為中間質(zhì)量塊以實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)振動(dòng)能量傳遞，重點(diǎn)分析了大型筏架隔振系統(tǒng)上下層支撐邊界特性對(duì)其振型及頻率的影響；文獻(xiàn)［5］基于有限元法建立了具有柔性基礎(chǔ)的隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，主要討論了系統(tǒng)主動(dòng)控制的時(shí)滯及穩(wěn)定性問(wèn)題；文獻(xiàn)［6］則將氣囊隔振器應(yīng)用于船舶主機(jī)的隔振中，結(jié)果顯示氣囊隔振系統(tǒng)能較大幅度地減小主機(jī)激振力向船體基座能量的傳遞。文獻(xiàn)［7］推導(dǎo)了筏架和基礎(chǔ)均為彈性體的浮筏動(dòng)力學(xué)方程，分析了隔振器的非線性剛度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，并且比較了線性和非線性柔性浮筏隔振系統(tǒng)其動(dòng)力學(xué)特性的差異。本文作者建立了具有氣囊-浮筏隔振裝置的非線性動(dòng)力學(xué)模型，并討論系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)［8］。另一方面，在有關(guān)柔性支承的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域，文獻(xiàn)［9］基于有限元方法，分析了航空發(fā)電機(jī)柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)平衡問(wèn)題，利用模態(tài)分析以及計(jì)算出的臨界轉(zhuǎn)速，探討了不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)特性，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證；文獻(xiàn)［10］研究了滑動(dòng)軸承支撐的雙柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔行為，并且著重分析了不同物理參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響；文獻(xiàn)［11］探討了長(zhǎng)軸承支承下多跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，重點(diǎn)分析了不同類型軸承在水平和垂直方向的動(dòng)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)；文獻(xiàn)［12］討論了非線性油膜力作用下的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，而文獻(xiàn)［13］則建立了彈性支撐滑動(dòng)軸承的Jeffcott轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型，研究了具有彈性支撐滑動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力穩(wěn)定性問(wèn)題；文獻(xiàn)［14］考慮了氣膜壓力與彈性支承對(duì)高速氣體潤(rùn)滑軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。

上述研究主要討論了浮筏隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性、動(dòng)力學(xué)控制問(wèn)題和具有彈性支承的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為，而目前關(guān)于具有氣囊-浮筏耦合的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的相關(guān)問(wèn)題研究較少。本文的主要目的是討論氣囊-浮筏耦合船用轉(zhuǎn)子-軸子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模，重點(diǎn)分析系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為，從而為船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的振動(dòng)控制及參數(shù)優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 氣囊-浮筏耦合轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 運(yùn)動(dòng)方程

圖1所示為氣囊-浮筏耦合的船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意圖。其中軸承支座和浮筏可以看作是一個(gè)具有完整單元的質(zhì)量塊，即視為“筏架”，氣囊則簡(jiǎn)化為具有一定剛度和阻尼的彈簧，圓盤(pán)、軸承支座以及浮筏可視為剛體。

圖1 氣囊-浮筏耦合的船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意圖Fig.1 The schematic diagram of rotor-bearing system coupled by air bag-floating

基于短軸承理論，考慮系統(tǒng)的切向和垂向的運(yùn)動(dòng)，這樣轉(zhuǎn)子和浮筏的運(yùn)動(dòng)可以用4個(gè)自由度來(lái)描述。根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為

式中 m1為圓盤(pán)質(zhì)量，m2為浮筏及支座質(zhì)量，e為偏心距，Ω為轉(zhuǎn)速，k為彈簧剛度，d為切向和垂向阻尼，F(xiàn)x和Fy分別為軸承的非線性油膜力。

1.2 非線性油膜力

船用柴油機(jī)主要采用滑動(dòng)軸承支承，因此涉及到軸承油膜力的計(jì)算問(wèn)題，軸承結(jié)構(gòu)及受力如圖2所示，其中xoy為定系。然而關(guān)于非線性油膜力作用下轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析是一個(gè)十分復(fù)雜的流固耦合 問(wèn) 題。國(guó) 內(nèi) 外學(xué) 者［15-18］針 對(duì) 不 同 結(jié) 構(gòu)形式滑動(dòng)軸承的非線性油膜力進(jìn)行了大量的研究，大部分油膜力模型都是在一定的假設(shè)條件下對(duì)雷諾方程求解得到。本文基于短軸承理論，即當(dāng)軸承的長(zhǎng)度與其直徑的比值小得多時(shí)，油膜壓力沿周向的變化率比沿軸線的變化率要小得多，即，也就是忽略其油膜壓力梯度，因此油膜壓力p所滿足的Reynolds方程可表示為

圖2 滑動(dòng)軸承結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of journal bearing

式中 h=c+e cosθ，將油膜壓力p沿軸承表面進(jìn)行積分，即對(duì)式(2)積分兩次，并認(rèn)為在軸承的軸向泄油端油膜壓力為0，即有邊界條件p｜z=B/2=p｜z=-B/2=0，同時(shí)考慮到半Sommerfeld條件，可以得到非線性油膜力沿徑向和切向兩個(gè)方向的解析表達(dá)式，它們的無(wú)量綱形式分別為

將式(3)進(jìn)行坐標(biāo)變換，即投影到oxy平面內(nèi)，可得出下式

式中 φ表示圓周方位角z軸承的軸向位置，p為油膜壓力，h為軸承油膜厚度，c為油膜間隙，μ為潤(rùn)滑油膜黏度，B為軸承長(zhǎng)度，λ為長(zhǎng)頸比，e為偏心距，ε為軸頸偏心率，θ為軸頸的平衡位置。

1.3 無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)方程

為了所研究問(wèn)題具有普遍性和廣泛的適用性，利用滑動(dòng)軸承的特征長(zhǎng)度，即軸承油膜間隙c，以及圓盤(pán)質(zhì)量m1，對(duì)方程(1)進(jìn)行無(wú)量綱化處理，相關(guān)的無(wú)量綱參數(shù)見(jiàn)表1所示，其中，R為軸承半徑，σ為Sommerfeld數(shù)。

表1 無(wú)量綱參數(shù)表達(dá)式Tab.1 The expression of dimensionless parameter

式中 D為無(wú)量綱阻尼，K為無(wú)量綱剛度，ω為無(wú)量綱轉(zhuǎn)速，α為無(wú)量綱偏心率，n為質(zhì)量比，fx和fy分別為無(wú)量綱油膜力在x和y軸上的分量。

2 非線性動(dòng)力學(xué)特性

式(5)是一個(gè)具有較強(qiáng)非線性特征的多自由度非自治系統(tǒng)，因此從理論上想得到方程的解析解或者近似解析表達(dá)式是十分困難。本文采用4-5階龍格-庫(kù)塔數(shù)值方法，通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、頻譜響應(yīng)、軸心軌跡、Poincaré映射以及最大Lyapunov指數(shù)等，分析系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性。

圖3為系統(tǒng)參數(shù)σ=3，α=0.1，n=10，K=12，D=0.1，λ=0.2時(shí)，采用數(shù)值積分得到的位移隨轉(zhuǎn)速變化情況，即轉(zhuǎn)速為ω=1.60→3.32時(shí)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)x1隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖以及最大Lyapunov指數(shù)曲線。其中在低速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表現(xiàn)與不平衡響應(yīng)類似，例如，ω=1.60→2.12時(shí)，轉(zhuǎn)子的振幅較小，此時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)表現(xiàn)為單周期同步運(yùn)動(dòng)；隨著轉(zhuǎn)速的逐漸遞增，當(dāng)ω=2.12→2.81時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)倍周期分叉過(guò)渡到周期2運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速ω=2.81→3.00時(shí)，系統(tǒng)又回復(fù)到周期1運(yùn)動(dòng)；此后隨著轉(zhuǎn)速的進(jìn)一步增加，在ω=3.02→3.10時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)擬周期分岔；在高轉(zhuǎn)速下，系統(tǒng)從擬周期進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，其振幅也急劇增大，直至轉(zhuǎn)子碰到軸瓦內(nèi)壁。從中可以看出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出十分豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為周期1→周期2→周期1→擬周期→混沌。

圖4為系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速ω=1.80時(shí)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及其頻譜圖、軸心軌跡及其Poincaré映射圖。從頻譜圖中可以看出，在低轉(zhuǎn)速下，工頻分量十分明顯，此時(shí)系統(tǒng)的不平衡力對(duì)系統(tǒng)起主導(dǎo)作用，而系統(tǒng)的非線性因素的影響較??；從圖4(c)可知，軸心軌跡為比較規(guī)則的“橢圓形”且運(yùn)行軌跡是周期的；圖4(d)表明在Poincaré截面上呈現(xiàn)出一個(gè)孤立的吸引子，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為周期1，在該參數(shù)下所對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為-0.003 29。

圖3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)(LLE)Fig.3 The steady state responses of the rotor system and its largest Lyapunove exponents

圖5為轉(zhuǎn)速ω=2.20時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。從頻譜圖中可以發(fā)現(xiàn)響應(yīng)成分約以0.5倍頻為主，此時(shí)以轉(zhuǎn)子的半頻渦動(dòng)比較明顯。從圖5(c)可以看出軸心軌跡是一個(gè)褶曲閉合的軌跡“香蕉”形狀，且其運(yùn)動(dòng)軌跡是周期的。另外，Poincaré截面上呈現(xiàn)出2個(gè)明顯的孤立吸引子，其系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為周期2的動(dòng)力學(xué)特性，其對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為-0.000 61。

圖6為轉(zhuǎn)速ω=2.80時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及其頻譜圖、軸心軌跡及其Poincaré映射圖。從圖中可以看出頻域表現(xiàn)為工頻，此外在f/2，f，3f/2處有離散的譜峰；軸承軌跡表現(xiàn)為不規(guī)則封閉的“內(nèi)8字”形，且其運(yùn)動(dòng)軌跡在某些位置處的曲率變化較大，運(yùn)動(dòng)軌跡仍是周期的；Poincaré映射為2個(gè)離散孤立的點(diǎn)集，表明系統(tǒng)為周期2運(yùn)動(dòng)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為-0.002 40。

圖7為在轉(zhuǎn)速ω=3.02時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。從圖中可以看出，與半倍頻相比1倍頻成分凸顯；軸心軌跡被明顯限制在一個(gè)橢球域內(nèi)，此時(shí)Poincaré截面圖上表現(xiàn)為一條閉合的曲線，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為-0.000 68，可以判斷系統(tǒng)在該轉(zhuǎn)速下作擬周期運(yùn)動(dòng)。

圖4 ω=1.80時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.4 The steady state response of rotor system whenω=1.80

圖5 ω=2.20時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.5 The steady state response of rotor system whenω=2.20

圖6 ω=2.80時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.6 The steady state response of rotor system whenω=2.80

圖8為轉(zhuǎn)速ω=3.085時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及其頻譜圖、軸心軌跡及其Poincaré映射圖。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，1倍頻十分明顯，并且存在著半頻的諧波分量，此時(shí)軸心軌跡被限制在一個(gè)較為混亂的橢球形域內(nèi)作周期性振蕩，Poincaré截面上映射點(diǎn)構(gòu)成了一條封閉的曲線，其對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為-0.000 41，此時(shí)系統(tǒng)在該轉(zhuǎn)速下作擬周期運(yùn)動(dòng)。

圖9為轉(zhuǎn)速ω=3.20時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。從圖中可以發(fā)現(xiàn)頻譜圖中存在著半倍頻和1倍頻的諧波分量，軸心軌跡被限制在一個(gè)較為混亂且近似橢球形域，其運(yùn)動(dòng)軌跡在某些位置處的曲率變化比較大，并且作復(fù)雜的非周期振蕩；Poincaré截面上映射點(diǎn)構(gòu)成了間隔離散的點(diǎn)集，此時(shí)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)Lyapunov指數(shù)為0.000 94，由此可以判定系統(tǒng)在該轉(zhuǎn)速下處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖7 ω=3.02時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.7 The steady state response of rotor system whenω=3.02

圖8 ω=3.085時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.8 The steady state response of rotor system whenω=3.085

圖9 ω=3.20時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.9 The steady state response of rotor system whenω=3.20

3 結(jié) 論

主要研究了氣囊-浮筏耦合的船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性，基于短軸承理論，建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，探討了系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性。結(jié)果表明：在較低轉(zhuǎn)速下，不平衡力對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)占據(jù)主導(dǎo)作用；隨著轉(zhuǎn)速的不斷提高，非線性油膜力對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響逐漸增大。在較低轉(zhuǎn)速下，轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅值較小，且以單周期同步運(yùn)動(dòng)為主；隨著轉(zhuǎn)速的遞增，系統(tǒng)振動(dòng)幅值逐漸增大并且伴有半頻渦動(dòng)，系統(tǒng)開(kāi)始進(jìn)入倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。隨著轉(zhuǎn)速的進(jìn)一步繼續(xù)增加，系統(tǒng)逐漸進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)；在高轉(zhuǎn)速下，系統(tǒng)逐漸進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，同時(shí)振幅迅速增大，直至最后碰到軸承內(nèi)圈。對(duì)于氣囊-浮筏耦合的船用轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，在一定的轉(zhuǎn)速范圍之內(nèi)表現(xiàn)出十分豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為周期1→周期2→周期1→擬周期→混沌。這些特性為氣囊-浮筏耦合船用轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)控制及參數(shù)設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

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Nonlinear dynamic behavior of marine rotor-rearing system coupled by air bag-floating

LI Ming1，ZHAO Wen1，HE Lin2
(1.Department of Mechanics，Xi'an University of Science and Technology，Xi'an 710054，China；2.Institute of Noise&Vibration，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

Adynamic model of marine rotor-bearing system coupled by the air bag and floating is developed and its nonlinear dynamic characteristics are mainly discussed in this paper.First，on the basic assumption theory of short bearing，the dynamic model of rotor-bearing system coupled with air-floating is developed and its nonlinear dynamic behaviors are mainly analyzed by numerical method，such as the steady-state response，rotor orbit，Poincarémap，bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent(LLE)，etc.The results indicate that the steady state responses are the synchronous motion at the lower speeds，with increasing the speed it reveals the complex nonlinear dynamic phenomena，such as period two，quasi-period and chaotic motions.Above all the dynamic characteristics can provide the theoretic supporting for the vibration control and its optimizing parametric optimization of the marine rotor-bearing system coupled by air bag-floating.

air bag-floating；marine rotor system；short bearing；nonlinear vibration；dynamic characteristics

O322

A

1004-4523(2015)04-0618-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.015

李明(1963—)男，博士生導(dǎo)師，教授。電話：13572980962；E-mail：limingnuaa@hotmail.com

趙文(1989—)男，碩士研究生。電話：15102981751；E-mail：zhaowenwinner@163.com

2014-09-19；

2015-01-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372245)；陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014JM1015)