栓接結(jié)合部遲滯非線性等效線性化方法

李 玲，蔡安江，阮曉光，王戰(zhàn)勝

(1.西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西西安710055；2.洛陽電光設(shè)備研究所，河南洛陽471009)

栓接結(jié)合部遲滯非線性等效線性化方法

李 玲1，蔡安江1，阮曉光1，王戰(zhàn)勝2

(1.西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西西安710055；2.洛陽電光設(shè)備研究所，河南洛陽471009)

由于栓接結(jié)合部強(qiáng)的非線性特性，要建立和求解這類非線性模型以及實(shí)現(xiàn)與其他模型的耦合極為困難。為體現(xiàn)栓接結(jié)合部等效非線性特性和便于工程應(yīng)用，首先將結(jié)合面簡化為光滑剛性平面與粗糙表面的接觸問題，建立單個(gè)微凸體力-位移本構(gòu)關(guān)系；然后根據(jù) Masing準(zhǔn)則和切向力模型，建立栓接結(jié)合部在單個(gè)循環(huán)周期下的恢復(fù)力模型，并假設(shè)在穩(wěn)態(tài)激勵(lì)和振動(dòng)幅值很小的情況下，利用平均法建立栓接結(jié)合部等效線性化的剛度與阻尼模型。為驗(yàn)證所建栓接結(jié)合部恢復(fù)力模型和等效線性化模型的正確性，分別搭建恢復(fù)力實(shí)驗(yàn)平臺(tái)和模態(tài)測試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并利用有限元法將栓接結(jié)合部等效線性化模型與有限元模型耦合，建立考慮栓接結(jié)合部特性的整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，最終通過兩組實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證兩類模型的正確性。

栓接結(jié)合部；遲滯非線性特性；恢復(fù)力模型；等效線性化模型

引 言

在振動(dòng)環(huán)境中，由于機(jī)械系統(tǒng)受到外界力、邊界條件和結(jié)合面等因素的影響，使得栓接結(jié)合部具有強(qiáng)的非線性特性［1］。其主要特征為：在切向可能發(fā)生相對滑移；在法向可能發(fā)生間隙分離和沖擊碰撞。滑移形式既包括只發(fā)生在結(jié)合部局部區(qū)域上的微觀尺度上的滑移，又有結(jié)合部整體相對運(yùn)動(dòng)的宏觀尺度上的滑動(dòng)；間隙和碰撞形式也既包括微觀尺度上的拍擊，還有宏觀尺度上的分離碰撞［2］。

為研究這種復(fù)雜的非線性行為，2000年美國Sandia國家實(shí)驗(yàn)室在征求知名工程研究人員、學(xué)者和項(xiàng)目管理者的建議下發(fā)布白皮書［3］，提出采用標(biāo)準(zhǔn)試件開展栓接結(jié)合部動(dòng)力學(xué)行為建模和預(yù)測方法的研究。之后分別于2006年、2009年和2012年，該研究團(tuán)隊(duì)三次召開國際栓接結(jié)合部工作總結(jié)和未來研究規(guī)劃大會(huì)。在會(huì)上針對栓接結(jié)合部多尺度下的研究路徑圖［4］，各研究小組提出了各自的研究方案和思路，為進(jìn)一步研究栓接結(jié)合部非線性特性開拓了道路。其中，Ahmadian提出建立一種通用連接單元來表示栓接結(jié)合部的非線性［5］，并將這種單元引入到結(jié)構(gòu)控制方程中。Segalman［6］發(fā)展了一種含有4個(gè)參數(shù)的Iwan模型以描述栓接結(jié)合部的動(dòng)態(tài)特性。Song等［2］提出一種改進(jìn)的Iwan模型用于模擬栓接結(jié)合部隨外載荷非線性變化的粘滑行為。Xue［7］在Bouc-Wen模型的基礎(chǔ)上開發(fā)了一種非線性連接部件單元。Oldfield［8］把Iwan模型和Bouc-Wen模型與有限元單元法相結(jié)合，對栓接結(jié)合部在周期載荷作用下的響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算。Miller和Quinn［9］提出了一個(gè)雙邊的接觸面摩擦能量損耗模型，該模型用兩個(gè)Jenkins單元鏈來表示兩個(gè)接觸界面。Jalali等［10］利用力狀態(tài)映射法將栓接結(jié)合部的非線性方程轉(zhuǎn)化在模態(tài)坐標(biāo)下求解，解決了試驗(yàn)時(shí)難以獲得結(jié)合面處的相對位移和力向量。在中國較早開展結(jié)合部特性研究的黃玉美團(tuán)隊(duì)，提出了一套系統(tǒng)研究栓接結(jié)合部特性參數(shù)的試驗(yàn)裝置及影響因素的處理方法［11-12］。另外，作者近年針對栓接結(jié)合部的非線性特性也進(jìn)行了相關(guān)研究［13-14］。

1 恢復(fù)力模型

為獲得栓接結(jié)合部遲滯非線性特性，設(shè)計(jì)如圖1(a)所示的連接件。其中，結(jié)構(gòu)件(1)和結(jié)構(gòu)件(2)是通過兩塊壓板(3)與兩個(gè)規(guī)格相同的螺栓連接在一起。連接件同時(shí)受到螺栓預(yù)緊力(法向力)和切向力F的作用，其遲滯非線性特性是通過一組線性彈簧和阻尼器進(jìn)行等效，如圖1(b)所示。

圖1 栓接結(jié)合部和等效的線性模型Fig.1 The bolted joints and its mathematical idealization

圖2 為栓接結(jié)合部的遲滯曲線。該曲線是在力拉伸試驗(yàn)機(jī)(MTS，INSTRON8801)中，通過設(shè)置波形、相位角、激勵(lì)頻率、激勵(lì)幅值等參數(shù)后，進(jìn)行力拉伸實(shí)驗(yàn)獲得。圖中Fd和Fl分別表示加載和卸載時(shí)的恢復(fù)力，xmax表示在外加載荷下的極限位移，位移x和恢復(fù)力F所圍成的滯回曲線面積恰好是栓接結(jié)合部位移變化一周時(shí)恢復(fù)力所耗能量［15］。

圖2 加載和卸載過程栓接結(jié)合部遲滯曲線Fig.2 The hysteresis curves of bolted joints

1.1 單個(gè)微凸體受力分析

由于栓接結(jié)合部這種遲滯非線性特性來源于微觀接觸表面上無數(shù)個(gè)微凸體間的相互影響、相互制約和相互依賴［16］。為便于研究，將結(jié)合面簡化為光滑剛性平面與粗糙表面的接觸問題［17-18］，如圖3所示。圖中R表示微凸體的半徑；λn表示結(jié)合面的法向位移量，λn=αPmn，Pn為平均表面壓，α和m是由結(jié)合面加工方法和材料等決定的常數(shù)［19］；z表示兩接觸表面間的平均距離；y表示法向變形量，y=λn-z。

圖3 結(jié)合面的接觸變形示意圖Fig.3 The schematic diagram of two contact surfaces with deformation

當(dāng)微凸體的變形未超出彈性范圍時(shí)，根據(jù)Hertz接觸理論，可得單個(gè)微凸體的法向接觸載荷為

式中 E*為兩接觸材料的復(fù)合彈性模量。

其中 E1，E2為兩接觸材料的彈性模量；υ1，υ2為兩接觸材料的泊松比。

而根據(jù)文獻(xiàn)［20］，可得單個(gè)微凸體的切向接觸載荷為

式中 μ為摩擦系數(shù)；x為切向位移；G*為兩接觸材料的復(fù)合剪切模量。

其中 G1，G2為兩材料的剪切模量。

實(shí)際上，式(1)和(2)分別表示在彈性范圍內(nèi)，單個(gè)微凸體所受法向力、切向力與相應(yīng)位移變形的關(guān)系表達(dá)式。

1.2 恢復(fù)力模型

根據(jù)式(2)單個(gè)微凸體的切向力-位移關(guān)系可知，當(dāng)切向變形量

則單個(gè)微凸體在彈性范圍內(nèi)最大受力為Fi=μPi。所以在彈性范圍內(nèi)兩接觸表面間的最大距離為

根據(jù)文獻(xiàn)［21］可得，栓接結(jié)合部的切向力F可表示為。

式中 Fsp為微凸體沒有超過最大切向變形極限的切向力；Fsl為微凸體已超出最大切向變形極限的切向力；C為表面參數(shù)，與單位面積微凸體的接觸數(shù)量有關(guān)，取C=1×1010［21］；A0為真實(shí)接觸面積。

根據(jù)式(2)和(5)，可得切向力Fsp與Fsl的表達(dá)式分別為

將式(6)和(7)代入式(5)中，可得栓接結(jié)合部的切向力為

將式(8)簡化為

式中 Δ為最大切向變形量。

其中 p為螺栓傳遞扭矩的法向力。

根據(jù)Masing準(zhǔn)則［22］，整個(gè)過程的力-位移變形關(guān)系如圖2所示，卸載過程中的恢復(fù)力曲線可以通過(x0，F(xiàn)0)表示為

式中 F0為遲滯曲線中位移x0處所受到的力。

聯(lián)合式(9)和(12)可得卸載過程恢復(fù)力為

Masing準(zhǔn)則表明，在加載和卸載過程中，恢復(fù)力函數(shù)F(x)滿足如下關(guān)系

式中 Fd(x)為加載時(shí)的恢復(fù)力函數(shù)。

所以，式(13)和(14)即為栓接結(jié)合部加載和卸載過程的恢復(fù)力模型。若已知微凸體的真實(shí)接觸面積A0、半徑R以及結(jié)合面的法向位移量λn，即可獲得栓接結(jié)合部的遲滯曲線。

2 線性化方法

為便于工程分析，假設(shè)整個(gè)過程為穩(wěn)態(tài)激勵(lì)，即x=b cosθ=b cosωt，在很小的幅值b和頻率ω下發(fā)生切向變形，根據(jù)平均法，利用等效線性化剛度和阻尼替代栓接結(jié)合部在一個(gè)周期中的遲滯非線性關(guān)系，即F*(x)=keqx+deqx'。等效剛度keq與等效阻尼deq可通過式(15)和(16)獲得

根據(jù)式(14)～(16)之間的關(guān)系，可得

將式(13)代入式(17)可得等效線性化剛度

當(dāng)振動(dòng)幅值很小(b/Δ?1)時(shí)，式(19)可近似表示為

將式(13)代入式(18)可得等效線性化阻尼

同理，當(dāng)振動(dòng)幅值很小時(shí)，式(21)可近似表示為

式(21)和(22)即為栓接結(jié)合部等效線性化剛度和線性化阻尼模型。利用該模型可以將栓接結(jié)合部的等效線性化參數(shù)與各子結(jié)構(gòu)模型耦合，從而獲得整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。

3 算 例

3.1 搭建恢復(fù)力實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

本實(shí)驗(yàn)臺(tái)主要由INSTRON8801力學(xué)拉伸實(shí)驗(yàn)機(jī)、動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀BZ2688、LMS模態(tài)測試系統(tǒng)、高強(qiáng)度螺栓M16、計(jì)算機(jī)以及試件(1)與試件(3)等組成。試件(1)與試件(2)結(jié)構(gòu)尺寸相同，間隙為2 mm，試件材料均為Q235，結(jié)合面處經(jīng)過磨削處理。高強(qiáng)度螺栓沿軸向植有應(yīng)變片，其輸出端連一電橋，通過動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀BZ2688接入LMS信號采集系統(tǒng)，調(diào)節(jié)螺栓預(yù)緊力的大小，可以獲得結(jié)合面所受的面壓。INSTRON8801力學(xué)拉伸實(shí)驗(yàn)機(jī)用于拉壓連接件時(shí)，獲取栓接結(jié)合部在不同預(yù)緊力下的力與位移實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)原理如圖4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)原理Fig.4 Experimental principle

采用位移控制模式，設(shè)置波形為正弦波，波形初始相位為0，相位角增量為0，頻率為0.02 Hz。設(shè)置螺栓預(yù)緊力為20 k N，振幅分別為A1=30μN(yùn)，A2=50μN(yùn)，A3=80μN(yùn)，A4=100μN(yùn)，穩(wěn)態(tài)激勵(lì)方式如圖5所示。在一個(gè)循環(huán)周期下獲得栓接結(jié)合部滯遲曲線如圖6所示。

圖5 正弦波激勵(lì)Fig.5 Exciting mode of sinusoidal wave

由圖6可知，在預(yù)緊力為20 k N時(shí)，遲滯環(huán)的面積隨著穩(wěn)態(tài)激勵(lì)幅值A(chǔ)的增加而增加，且遲滯環(huán)趨于雙線性模型。基于上述實(shí)驗(yàn)條件，獲得不同預(yù)緊力下的試驗(yàn)結(jié)果與上述結(jié)論類似。故針對栓接結(jié)合部的非線性特性，在振動(dòng)幅值很小時(shí)，可以采用線性化的方法將其等效為線性彈簧和阻尼器。從解決實(shí)際工程問題出發(fā)，將非線性問題線性化后不僅便于工程應(yīng)用，同時(shí)也提高了模型的運(yùn)算速度。

圖6 不同激振幅值下的力-位移遲滯曲線Fig.6 The force-displacement hysteresis cycles in different vibration amplitudes were tested

根據(jù)栓接結(jié)合部恢復(fù)力實(shí)驗(yàn)結(jié)果，以A1=30μN(yùn)和A3=80μN(yùn)為例，運(yùn)用所建立的恢復(fù)力模型，對栓接結(jié)合部在一個(gè)循環(huán)周期中的力-位移變形過程進(jìn)行數(shù)值仿真，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，結(jié)果如圖7所示。圖中實(shí)驗(yàn)與仿真2條曲線基本重合，從而表明所建恢復(fù)力模型的正確性，和利用該模型能夠模擬在振動(dòng)幅值很小時(shí)的栓接結(jié)合部遲滯非線性特性。

圖7 實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果比較Fig.7 The force-displacement hysteresis cycles were tested and simulated

3.2 等效剛度與等效阻尼的計(jì)算

由于試件材料均為Q235，所以取彈性模量E=173 GPa，剪切模量G=44.3 GPa，泊松比υ=0.3，根據(jù)復(fù)合彈性模量和復(fù)合剪切模量公式可得E*和G*；根據(jù)文獻(xiàn)［19］附表中的參數(shù)，結(jié)合面磨削后取α=0.65，m=0.5，所以由λn=αPmn可求取結(jié)合面的法向位移變形量λn；根據(jù)文獻(xiàn)［21］取C=1×1010，R=100μm，由式(11)可求得結(jié)合面的真實(shí)接觸面積A0。

當(dāng)上述參數(shù)均已獲取后，根據(jù)式(20)和(22)可分別求得栓接結(jié)合部等效線性剛度和阻尼值為7.3×107N/m和21.8 N·s/m。則該等效數(shù)值可通過有限元軟件將其與試件(1)、試件(2)以及壓板(3)的有限元模型耦合，最終求得整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，具體方法下小節(jié)所述。

3.3 栓接結(jié)合部特性與子結(jié)構(gòu)模型的耦合

為將上述獲得的等效線性剛度和阻尼特性與各試件的有限元模型耦合，建立考慮栓接結(jié)合部特性的整體結(jié)構(gòu)有限元模型。首先忽略結(jié)構(gòu)(1)、結(jié)構(gòu)(2)和壓板(3)的螺栓孔，將填充的實(shí)體部分等效為螺栓、螺帽和螺栓頭的質(zhì)量，利用Hypermesh軟件對試件進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并限制結(jié)合面處的節(jié)點(diǎn)。然后利用ANSYS的APDL語言自行編制程序，采用節(jié)點(diǎn)間路徑最短的原則，將結(jié)合面上各節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，并利用Matrix27單元定義栓接結(jié)合部的等效剛度和等效阻尼參數(shù)，從而建立考慮栓接結(jié)合部的整體有限元模型，如圖8所示。由于栓接結(jié)合部法向與切向等效剛度與阻尼之間的耦合特性對最終結(jié)果影響可以忽略不計(jì)［23］，所以在對Matrix27單元進(jìn)行定義時(shí)，將除主對角線以外的參數(shù)定義為0。

圖8 整體有限元模型Fig.8 Finite model of whole structure

根據(jù)栓接結(jié)合部在不同預(yù)緊力下的等效參數(shù)值，利用圖8所建立的整體結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行諧響應(yīng)分析，最終獲得不同預(yù)緊力下整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，通過下小節(jié)的實(shí)驗(yàn)可驗(yàn)證所建模型的正確性。

3.4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

搭建整體結(jié)構(gòu)模態(tài)測試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，獲取整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，實(shí)驗(yàn)原理如圖9所示。以錘擊法作為激振方式，以加速度傳感器在指定的位置上獲取加速度信號作為輸出信號。實(shí)驗(yàn)以先粗掃頻后細(xì)掃頻的方式進(jìn)行，在搜索結(jié)構(gòu)固有頻率時(shí)采用粗掃頻方式，大致確定結(jié)構(gòu)固有頻率的大小后，再通過細(xì)掃頻方式確定固有頻率的精確值，根據(jù)上述方法選取的頻率范圍為0～1 800 Hz，頻率采樣為2 Hz。

模態(tài)實(shí)驗(yàn)時(shí)所采用的激振點(diǎn)與拾取點(diǎn)如圖10所示。在z方向上，點(diǎn)1和點(diǎn)2互為激振與拾取點(diǎn)，通過力錘的激振和加速度傳感器的獲取，可得原點(diǎn)頻響函數(shù)H(1，1)，H(2，2)和跨點(diǎn)頻響函數(shù)H(1，2)，H(2，1)。由于模型的對稱性，可根據(jù)Maxwell互易性原理，通過跨點(diǎn)頻響函數(shù)H(1，2)和H(2，1)驗(yàn)證試驗(yàn)方法的正確性。

圖9 模態(tài)實(shí)驗(yàn)原理Fig.9 Experimental principle of modal characteristics

圖10 模態(tài)實(shí)驗(yàn)時(shí)激振點(diǎn)的設(shè)置Fig.10 Modal test using electrodynamic shaker in three directions of z

根據(jù)3.3節(jié)所建立的考慮栓接結(jié)合部特性的整體結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行諧響應(yīng)分析，和本節(jié)對整體結(jié)構(gòu)的模態(tài)試驗(yàn)，比較兩種不同方法獲得的頻響函數(shù)，驗(yàn)證所建立的線性化模型正確性。實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果如圖11和12所示。

圖11 z方向上模態(tài)實(shí)驗(yàn)與有限元方法結(jié)果比較(頻響函數(shù)(H(1，1))Fig.11 Compare experimental and paper's method for FRFH(1，1)of whole structure in directions of z

圖12 z方向上模態(tài)實(shí)驗(yàn)與有限元方法結(jié)果比較(頻響函數(shù)(H(1，2))Fig.12 Compare experimental and paper's method for FRFs H(1，2)of whole structure in directions of z

圖11 和12是z方向上頻響函數(shù)H(1，1)和H(1，2)的模態(tài)實(shí)驗(yàn)值與有限元仿真結(jié)果比較。兩圖表明，將栓接結(jié)合部等效線性化的剛度與阻尼值利用Matrix27單元嵌入整體結(jié)構(gòu)中所獲得的頻響函數(shù)與模態(tài)實(shí)驗(yàn)所得的頻響函數(shù)基本一致。通過模態(tài)實(shí)驗(yàn)獲得的前兩階固有頻率分別為598和1344 Hz；有限元仿真出來的結(jié)果為610.2和1 365 Hz，以模態(tài)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為準(zhǔn)確值，則前兩階誤差分別為0.37%和1.56%，均未超過5%，從而表明，在小振幅下栓接結(jié)合部非線性特性完全可以進(jìn)行線性化處理。

4 結(jié) 論

(1)將結(jié)合面的非線性問題轉(zhuǎn)化為光滑剛性平面與粗糙表面的接觸問題，建立單個(gè)微凸體力-位移本構(gòu)關(guān)系，根據(jù)Masing準(zhǔn)則和切向力模型，建立栓接結(jié)合部在一個(gè)循環(huán)周期下的加載和卸載恢復(fù)力模型，并通過搭建恢復(fù)力實(shí)驗(yàn)平臺(tái)驗(yàn)證所建恢復(fù)力模型的正確性。

(2)假設(shè)結(jié)構(gòu)在穩(wěn)態(tài)激勵(lì)和振動(dòng)幅值較小的情況下工作，利用平均法建立栓接結(jié)合部等效線性化的剛度與阻尼模型，并利用有限元法將該線性化參數(shù)與各子結(jié)構(gòu)有限元模型耦合，建立考慮栓接結(jié)合部特性的整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，通過模態(tài)實(shí)驗(yàn)研究前兩階的固有頻率，最大誤差為1.56%，從而表明所用方法和所建模型的正確性。

(3)由于栓接結(jié)合部非線性動(dòng)力學(xué)行為極其復(fù)雜，沒有專門的分析工具，也沒有通用性很強(qiáng)的有限元軟件對整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析。將此類非線性問題線性化，并嵌入現(xiàn)有商業(yè)有限元軟件中進(jìn)行整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析，是解決工程問題的一種高效可行的研究方法。

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Equivalent linear method for hysteresis nonlinear of bolted joints

LI Ling1，CAI An-jiang1，RUAN Xiao-guang1，WANG Zhan-sheng2
(1.School of Mechanical and Electrical Engineering，Xi'an University of Architecture Technology，Xi'an 710055，China；2.Luoyang Institute of Electro-optical Devices，Luoyang 471009，China)

Within engineering application，the modeling and the solution of the bolted joint are very difficult for its strongly nonlinear characteristics and its coupling with other models.In order to facility engineering application，the contact of two rough surfaces of bolted joints can be modeled by a flat，smooth surface in contact with a rough surface in the first place.Secondly，the restoring force model of bolted joints is demonstrated through Masing hypothesis and the force-displacement relationship of bolted joints.Then，suppose that the bolted joints under the condition of the stability excitation and the small vibration amplitude，we obtain the equivalent linearization stiffness and damping model of bolted joints applying the method of averaging.Finally，the laboratorial platform of modal testing and restoring force are established，and the whole structure model is obtained by the equivalent linearization model of bolted joints coupled with finite element model with finite element method.During a cyclic displacement the theoretical model shows good agreement with experimental results.

bolted joints；hysteresis nonlinear characteristics；restoring force model；equivalent linearization models

TH113.1；O322

A

1004-4523(2015)04-560-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.008

李玲(1981—)，男，博士，副教授。電話：13468655809；E-mail：lee_liling@163.com

2014-04-01；

2015-03-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305327，51475352)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20136120120020)和陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目資助(2013JK1033)