基于改進(jìn)Kriging代理模型的自適應(yīng)序列優(yōu)化算法在離心壓縮機(jī)蝸殼設(shè)計中的應(yīng)用

曹安國，吳亞東，劉鵬寅，杜朝輝

（1.上海交通大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，上海200240；2.上海交通大學(xué)航空航天學(xué)院，上海200240）

蝸殼是離心壓縮機(jī)的重要部件，其主要作用是把擴(kuò)壓器或葉輪后的氣體輸送到排氣管道，并盡可能降低流體流動損失.蝸殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)劣對葉輪工作有很大影響，在非設(shè)計工況下，蝸殼損失可直接導(dǎo)致離心壓縮機(jī)效率降低和穩(wěn)定工作范圍變窄［1］，因此蝸殼的優(yōu)化設(shè)計對提高離心壓縮機(jī)性能有著重要意義.

筆者基于改進(jìn)Kriging模型發(fā)展了一種適用性更強(qiáng)的自適應(yīng)序列優(yōu)化算法，使用該算法在Matlab平臺上開發(fā)了相應(yīng)的應(yīng)用程序，結(jié)合UG 和Ansys構(gòu)建了一套橢圓截面離心壓縮機(jī)蝸殼的氣動優(yōu)化系統(tǒng).基于該優(yōu)化系統(tǒng)，針對某特定流量工況，以質(zhì)量流量平均總壓損失系數(shù)為目標(biāo)參數(shù)對離心壓縮機(jī)蝸殼系統(tǒng)模型進(jìn)行了氣動優(yōu)化設(shè)計.

1 基于改進(jìn)Kriging代理模型的自適應(yīng)序列優(yōu)化算法

1.1 自適應(yīng)序列優(yōu)化算法

代理模型是工程優(yōu)化中的關(guān)鍵技術(shù)，其使用方式大致可分為2種：單步優(yōu)化算法和序列優(yōu)化算法.單步優(yōu)化算法的基本流程如圖1左圖所示，這種優(yōu)化算法適應(yīng)性較差，需要選擇不同大小的樣本點集進(jìn)行反復(fù)嘗試.序列優(yōu)化算法的基本流程如圖1右圖所示，這是一個不斷提高代理模型預(yù)測精度的過程，由于所選代理模型有無偏估計的特性，隨著設(shè)計空間中樣本點數(shù)的增加，顯然代理模型對真實響應(yīng)預(yù)測的精度不斷提高.由于這種算法不需要對代理模型進(jìn)行精度測試，所以對初始樣本的依賴性不高，適用性更強(qiáng).

圖1 單步優(yōu)化流程和序列優(yōu)化流程Fig.1 Flow chart of the single step and sequential optimization

1.2 改進(jìn)Kriging代理模型

Kriging模型［2］是基于隨機(jī)過程的統(tǒng)計預(yù)測方法，由一個參數(shù)化模型和一個非參數(shù)化隨機(jī)模型聯(lián)合構(gòu)成，可廣泛用于擬合低階或高階非線性模型.它比單個的參數(shù)化模型更具靈活性，又克服了非參數(shù)化隨機(jī)模型處理高維數(shù)據(jù)的局限性，其有效性不依賴于隨機(jī)誤差的存在［3］.構(gòu)建Kriging模型過程中，相關(guān)參數(shù)向量對Kriging 模型性能有著重要影響［4］，Lophaven提出的Kriging模型構(gòu)建算法應(yīng)用廣泛，它使用模式搜索算法［5］來確定相關(guān)參數(shù).模式搜索算法是一種直接搜索的數(shù)值優(yōu)化方法，它從給定的起始點開始，利用探測移動與模式移動完成尋優(yōu)過程，其最大缺點是優(yōu)化結(jié)果對起始點非常敏感，由它求解相關(guān)參數(shù)向量所構(gòu)建的Kriging模型不一定是最佳的.因此，筆者對Kriging模型的構(gòu)建算法加以改進(jìn)，采用微種群遺傳算法取代模式搜索算法進(jìn)行多變量尋優(yōu)，從而得到相關(guān)參數(shù)向量.遺傳算法借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機(jī)制，具有全局尋優(yōu)能力，只需影響搜索方向的目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù).相比傳統(tǒng)遺傳算法，微種群遺傳算法的種群更小，遺傳操作也采用選擇（錦標(biāo)賽選擇）和交叉算子（均勻交叉，交叉概率為0.5），但是略去了變異操作.采用微種群遺傳算法比傳統(tǒng)遺傳算法的收斂速度更快，收斂精度也更高［6］.

序列優(yōu)化算法中最重要的步驟是確定校正點的選擇準(zhǔn)則，Samad等［7］將二次多項式響應(yīng)面模型應(yīng)用于壓氣機(jī)葉片設(shè)計，王曉峰等［8］采用Kriging模型進(jìn)行了翼型的氣動優(yōu)化設(shè)計，代理模型的校正點選擇都使用了響應(yīng)最優(yōu)準(zhǔn)則.為了避免采用響應(yīng)最優(yōu)準(zhǔn)則確定校正點帶來的局部收斂問題，Schonlau提出了高效全局優(yōu)化（Efficient Global Optimization，EGO）算法.EGO 算法是一種貝葉斯全局優(yōu)化算法［9］，它對校正點采用高精度初始模型評估，得到校正點的響應(yīng)值，并采用期望提高函數(shù)來選擇校正點，同時考慮了Kriging模型的預(yù)測值與預(yù)測精度，具備了很好的平衡局部和全局搜索的能力，兼顧了收斂速度和全局收斂性，具有很強(qiáng)的自適應(yīng)性.筆者將改進(jìn)Kriging代理模型和該EGO 算法結(jié)合起來，提出了一種基于改進(jìn)Kriging代理模型的自適應(yīng)序列優(yōu)化算法，在Matlab平臺上開發(fā)了相應(yīng)的計算程序，并將該算法應(yīng)用于離心壓縮機(jī)蝸殼的優(yōu)化設(shè)計中.

2 離心壓縮機(jī)蝸殼三維氣動優(yōu)化系統(tǒng)

前人的研究表明，蝸殼截面形狀對離心壓縮機(jī)性能有著顯著影響［10］.但蝸殼進(jìn)出口幾何參數(shù)由于受到整個壓縮機(jī)機(jī)組尺寸的影響而不能隨意改變［11］，因此本文優(yōu)化設(shè)計是在不改變蝸殼進(jìn)出口幾何形狀的前提下通過改變蝸殼周向截面參數(shù)來實現(xiàn)的.

2.1 參數(shù)化建模

采用UG NX8.5軟件對橢圓截面蝸殼進(jìn)行三維建模，利用UG 中的自定義表達(dá)式功能對蝸殼的三維幾何模型進(jìn)行參數(shù)化表示.圖2為蝸殼的三維模型和二維截面圖.

圖2 離心壓縮機(jī)蝸殼的三維模型和周向截面Fig.2 3D model and circumferential cross section of the centrifugal compressor volute

由于蝸殼圓周方向各截面相似，均為橢圓加一個矩形進(jìn)口的形狀，可以將三維參數(shù)化問題轉(zhuǎn)化為各個截面上的二維參數(shù)化問題.如圖2所示，將蝸殼周向每隔30°作一個截面，使用UG 的掃掠命令形成蝸殼的三維幾何結(jié)構(gòu).圖3（a）給出了截面參數(shù)示意圖，其中a＊表示橢圓長軸，b＊表示橢圓短軸，rz＊為橢圓中心高度（由a＊確定），b4為擴(kuò)壓器出口寬度（該值已固定），r3為擴(kuò)壓器出口半徑（該值已固定），dd為擴(kuò)壓器出口到蝸殼進(jìn)口的過渡距離，上述字符下標(biāo)“＊”表示該參數(shù)為圓周方向參數(shù).

圖3 蝸殼周向截面參數(shù)化示意圖和面積變化圖Fig.3 Parameterizing and area variation of the volute circumferential cross section

a＊和b＊2個參數(shù)確定每個截面，只需控制各截面a＊和b＊的值就可控制整個蝸殼形狀.由于圓周方向截面有12個，若將每個橢圓截面長軸和短軸直接作為優(yōu)化變量，那么變量數(shù)將太多，不利于優(yōu)化的進(jìn)行.因此，定義新的變量λ與γ作為優(yōu)化變量控制蝸殼的形狀變化，過程如下：取截面面積變化和橢圓長短軸之比作為變量，截面積與長短軸之比確定，a＊與b＊也隨之確定.采用圖3（b）中的控制點C來控制截面面積的變化，A點對應(yīng)縱坐標(biāo)值代表蝸殼周向30°截面面積，B點對應(yīng)縱坐標(biāo)值代表蝸殼周向360°截面面積，C點為取值在A點、B點之間的控制點（本文取C點的橫坐標(biāo)為180°）.C點確定后，對上述3點按Bezier曲線擬合，就可以得到所需的周向角度位置處的截面面積，Bezier曲線表達(dá)式為：

式中：D（t）為Bezier曲線上任一點的坐標(biāo)，t∈［0，1］；Pi為Bezier 曲線控制多邊形的頂點坐標(biāo)；Bn，i（t）為Bernstein多項式函數(shù)，其表達(dá)式見式（2）.

將30°處截面面積與360°處截面面積分別作為Bezier曲線的起終點，并保證這2點固定不變，定義參數(shù)，，約束條件λ∈［0，1］，γ∈［0.7，1］，A、B、C表示這3點的縱坐標(biāo)值（即截面面積），γ為長短軸之比.即通過優(yōu)化變量λ來控制C點，確定了各個截面面積大小后，通過γ確定各個截面長短軸的比例，蝸殼12 個截面形狀也就隨之確定，這樣就完成了參數(shù)化造型所需的參數(shù)設(shè)置.

2.2 優(yōu)化系統(tǒng)的開發(fā)與集成

實現(xiàn)氣動優(yōu)化設(shè)計的關(guān)鍵是三維參數(shù)化模型、網(wǎng)格生成器ICEM-CFD、CFD 求解器CFX-Solver和基于改進(jìn)Kriging代理模型的自適應(yīng)序列優(yōu)化算法之間的數(shù)據(jù)集成和過程集成.數(shù)據(jù)集成完成了各個軟件之間數(shù)據(jù)的靜態(tài)傳遞，而氣動優(yōu)化過程是一個反復(fù)迭代尋優(yōu)的過程，因此在氣動優(yōu)化設(shè)計中需要將各個模塊過程集成，并且要盡量避免對優(yōu)化過程的人工干預(yù)，以加快尋優(yōu)速度和減小尋優(yōu)過程的出錯概率.圖4給出了數(shù)據(jù)集成過程圖.

圖4 氣動優(yōu)化系統(tǒng)的集成Fig.4 Integration of the CFD optimization system

2.3 網(wǎng)格生成與蝸殼的CFD 評價

采用商業(yè)計算流體力學(xué)軟件Ansys ICEM 和CFX 來實現(xiàn)網(wǎng)格的自動生成和流動的CFD 計算.為保證計算的準(zhǔn)確性，計算域包含2部分，分別是蝸殼部分和有葉擴(kuò)壓器部分.為提高計算效率，蝸殼部分采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，有葉擴(kuò)壓器部分采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，優(yōu)化系統(tǒng)中每次循環(huán)用于計算的蝸殼網(wǎng)格數(shù)為270 萬左右.優(yōu)化進(jìn)程中，湍流模型采用k-ε模型，流體為理想空氣，參考壓力為101 325Pa.進(jìn)口邊界（即擴(kuò)壓器進(jìn)口）設(shè)置為流量進(jìn)口，方向按照圓柱坐標(biāo)系給定，出口邊界條件設(shè)置為給定均勻靜壓，壁面采用絕熱光滑無滑移邊界條件，收斂標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定為最大殘差小于10-4.

3 離心壓縮機(jī)蝸殼優(yōu)化

蝸殼全局性能可通過總壓損失系數(shù)ω和靜壓恢復(fù)系數(shù)Cp［12］得到較好的定義，將總壓損失系數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)變量，并同時探究優(yōu)化后模型靜壓恢復(fù)系數(shù)的優(yōu)劣，二者定義如下：

離心壓縮機(jī)蝸殼系統(tǒng)中總壓損失越小，表明蝸殼性能越好，因此本文的優(yōu)化問題即可表征為：在λ∈［0，1］和γ∈［0.7，1］范圍內(nèi)尋求最佳的λ與γ，使總壓損失系數(shù)最小.

3.1 優(yōu)化系統(tǒng)響應(yīng)

經(jīng)過30次循環(huán)調(diào)用CFD 程序，蝸殼的總壓損失系數(shù)最小值不再有大的變化.圖5給出了優(yōu)化前后蝸殼周向截面面積分布對比圖.從圖5可以看出，優(yōu)化后的蝸殼周向截面面積分布更接近線性分布.

圖5 優(yōu)化前后蝸殼周向截面面積分布Fig.5 Area distribution of the volute circumferential cross section before and after optimization

3.2 優(yōu)化前后氣動性能和內(nèi)部流場

表1給出了優(yōu)化前后蝸殼出口處質(zhì)量流量平均總壓損失系數(shù)和靜壓恢復(fù)系數(shù).由表1可知，優(yōu)化后蝸殼出口處質(zhì)量流量平均總壓損失系數(shù)減小，靜壓恢復(fù)系數(shù)增大.由此可以看出，優(yōu)化后蝸殼對壓縮機(jī)性能有提高的趨勢，基本達(dá)到優(yōu)化目的.

表1 優(yōu)化前后總壓損失系數(shù)和靜壓恢復(fù)系數(shù)Tab.1 Comparison of total pressure loss and static pressure recovery coefficient before and after optimization

圖6（a）和圖6（b）顯示了總壓損失系數(shù)在不同周向截面的分布情況.除了在接近渦舌部分外，截面中的渦中心位置ω都較大，這是由于渦心剪切力較大造成的.但靠近蝸舌的截面中，ω的分布中不存在剛性渦結(jié)構(gòu)，這是因為在靠近相對蝸殼進(jìn)口的內(nèi)側(cè)壁面總壓損失有很高的值，優(yōu)化前的這一現(xiàn)象最為明顯，優(yōu)化后總壓損失系數(shù)得到一定改善.

圖6（c）和圖6（d）顯示了靜壓恢復(fù)系數(shù)在不同周向截面的分布情況.由于受到角動量和離心力的影響，蝸殼內(nèi)的靜壓分布在截面內(nèi)沒有形成漩渦，蝸殼內(nèi)側(cè)壁面壓力相對外側(cè)較高.優(yōu)化前靜壓恢復(fù)系數(shù)在180°和270°截面較大，在360°截面較小.優(yōu)化后靜壓恢復(fù)系數(shù)在90°截面很大，在中間截面較小，但在360°截面靜壓恢復(fù)系數(shù)上升較快.

圖6 總壓損失系數(shù)和靜壓恢復(fù)系數(shù)分布圖Fig.6 Distribution of total pressure loss and static pressure recovery coefficient in different circumferential sections

4 結(jié) 論

（1）給出了Kriging模型的基本理論，采用微種群遺傳算法取代傳統(tǒng)遺傳算法對Kriging模型進(jìn)行多變量尋優(yōu)，得到相關(guān)參數(shù)向量，完成了對Kriging模型的改進(jìn).

（2）對離心壓縮機(jī)蝸殼系統(tǒng)的周向截面面積分布進(jìn)行Bezier曲線的參數(shù)化，采用一個控制點使得設(shè)計變量幾何約束的施加變得更便利.在UG 中建立了參數(shù)化模型，通過UG 的表達(dá)式功能實現(xiàn)了模型控制變量的參數(shù)化.

（3）對離心壓縮機(jī)蝸殼進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計后，蝸殼的質(zhì)量流量平均總壓損失系數(shù)減小，而質(zhì)量流量平均靜壓恢復(fù)系數(shù)增大，蝸殼的性能指標(biāo)得到一定優(yōu)化，達(dá)到了優(yōu)化蝸殼的目的.

（4）從優(yōu)化過程和優(yōu)化結(jié)果來看，所提出的針對離心蝸殼系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計平臺是有效的，能在較短的優(yōu)化周期內(nèi)使優(yōu)化目標(biāo)得到提高，并且該平臺還可以推廣到其他相關(guān)的優(yōu)化設(shè)計問題中.

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