用變式訓(xùn)練提高高中數(shù)學(xué)課堂效率

唐愛(ài)文 張有賢

數(shù)學(xué)是人類活動(dòng)的基本工具，學(xué)好數(shù)學(xué)也是社會(huì)對(duì)人才的基本要求。因此，提高數(shù)學(xué)課堂的效率十分必要，變式訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍采用的教學(xué)手段，也是行之有效的教學(xué)手段。高中數(shù)學(xué)課堂也可以利用變式訓(xùn)練來(lái)加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。

一、利用變式訓(xùn)練加深概念理解

從培養(yǎng)學(xué)生思維能力的要求來(lái)看，形成數(shù)學(xué)概念，提示其內(nèi)涵與外延，比數(shù)學(xué)概念的定義本身更重要。在形成概念的過(guò)程中，可以利用變式引導(dǎo)學(xué)生積極參與形成概念的全過(guò)程，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)和探索，通過(guò)多樣化的變式提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析以及概括能力。

如在講函數(shù)的定義域時(shí)，一個(gè)函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍。實(shí)際上學(xué)生對(duì)自變量和變量，難以辨析，此時(shí)可以做如下變形：

變式1：若函數(shù)f（x）的定義域是[-1，1]，求f（2x）的定義域；

變式2：若函數(shù)f（2x）的定義域是[-1，1]，求f（x）的定義域；

變式3：若函數(shù)f（2x）的定義域是[-1，1]，求f（log2x）的定義域。

通過(guò)以上的變式，可以對(duì)概念的理解逐漸加深，對(duì)概念中本質(zhì)的東西有個(gè)非常清晰的認(rèn)識(shí)，因此教師在以后的練習(xí)中也明確類似知識(shí)點(diǎn)的考查方向，防止學(xué)生盲目練習(xí)，在有限的時(shí)間內(nèi)使得效益最大化。

二、利用變式訓(xùn)練增強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式、定理及性質(zhì)的運(yùn)用

數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和形成，有賴于掌握定理、公式和法則去進(jìn)行推理論證和演算。在復(fù)習(xí)定理、公式和法則的教學(xué)過(guò)程中，利用此類變式問(wèn)題可明確定理、公式和法則的條件、結(jié)論、適用范圍、注意事項(xiàng)等關(guān)鍵之處，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理論證能力和正確演算能力。

例如在研究三棱錐（即四面體）頂點(diǎn)的射影與底面三角形“各心”的關(guān)系時(shí)就可設(shè)置以下問(wèn)題：

（1）當(dāng)三棱錐是正三棱錐時(shí)；

（2）當(dāng)三條側(cè)棱的長(zhǎng)均相等時(shí)；

（3）當(dāng)側(cè)棱與底面所成的角都相等時(shí)；

（4）當(dāng)頂點(diǎn)與底面三邊距離相等時(shí)；

（5）當(dāng)三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí)；

（6）當(dāng)三條側(cè)棱分別與所對(duì)側(cè)面垂直時(shí)。

通過(guò)不斷變換命題的條件，引深拓廣，產(chǎn)生一個(gè)個(gè)既類似又有區(qū)別的問(wèn)題，使學(xué)生在挑戰(zhàn)中尋找樂(lè)趣，培養(yǎng)了思維的深刻性，同時(shí)也進(jìn)一步鞏固了對(duì)于線線、線面垂直關(guān)系，尤其是三垂線定理的掌握。防止學(xué)生形式地、機(jī)械地背誦、套用公式和定理，提高學(xué)生變通思考問(wèn)題和靈活應(yīng)用概念、公式以及定理的能力。

三、利用變式訓(xùn)練提高學(xué)生在解題思維與探索能力

（一） 多題一解，適當(dāng)變式，培養(yǎng)學(xué)生求同存異的思維能力

許多數(shù)學(xué)習(xí)題看似不同，但它們的解題的思路、方法是一樣的，這就要求教師在教學(xué)中重視對(duì)這類題目的收集、比較，引導(dǎo)學(xué)生尋求通法通解，并讓學(xué)生自己感悟它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)思想方法。

例如：（1）已知a，b∈R+，且a+b=1，求（■+1）（1+■）的取值范圍。

（2）已知a，b∈R+，且2a+3b=1，求（■+1）（1+■）的取值范圍。

（3）已知a，b∈R+，且2a+3b=4，求（■+1）（1+■）的取值范圍。

這些題目都是對(duì)均值定理的應(yīng)用，教師要把這類題目成組展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生在比較中感悟它們的共性。

（二） 一題多解，觸類旁通，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

一題多解的實(shí)質(zhì)是以不同的論證方式，反映條件和結(jié)論的必然本質(zhì)聯(lián)系。在教學(xué)中教師應(yīng)積極地引導(dǎo)學(xué)生從各種途徑，用多種方法思考問(wèn)題。既能使學(xué)生思路開(kāi)闊，熟練掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，又能引起學(xué)生強(qiáng)烈的求異欲望，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

例如，已知向量■=（2，0），■=（2，2），■=（■COSa，■sina），則■與■夾角的范圍是（ ）

A. [■，■] B. [0，■]

C. [■，■] D. [■，■]

這題學(xué)生一般想到利用■=■+■，先求出■，然后用兩向量夾角的余弦公式求解，但是還可以運(yùn)用另外一種簡(jiǎn)單方法。那就是利用■=■+■=（2+■cosa，2+■sina，可以判斷出點(diǎn)A的軌跡是以（2，2）為圓心，■為半徑的圓。然后利用數(shù)形結(jié)合求出夾角的范圍了。這個(gè)題從不同的角度進(jìn)行多向思維，把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，發(fā)展了學(xué)生的多向思維能力。

（三） 一題多變，總結(jié)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生探索能力

通過(guò)變式訓(xùn)練，不是解決一個(gè)問(wèn)題，而是解決一類問(wèn)題，開(kāi)拓學(xué)生解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)。從而使一個(gè)題目延伸出一類題目，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的。

例如，已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G，H分別是CB，CD上的點(diǎn)，CH∶CB=CG∶CD=2∶3，求證：四邊形EFGH是梯形。

這道題目的是加強(qiáng)對(duì)公理4的理解和應(yīng)用，對(duì)這個(gè)題目可從改變條件，探索新的結(jié)論和改變圖形的角度進(jìn)行很多變化。

變式1：條件不變，該求證HE與GF交于一點(diǎn)。

學(xué)生在上題中已證得EFGH是梯形，對(duì)結(jié)論的深化不是難事，關(guān)鍵是在不改變條件的情況下，要對(duì)結(jié)論進(jìn)行探索。

變式2：已知條件為E、F、G、H分別是AB、AD、CB、CD的中點(diǎn)，（1）則四邊形EFGH的形狀。（平行四邊形）（2）且AC=BD，則四邊形EFGH的形狀。（菱形）（3）且，則四邊形EFGH的形狀。（矩形）（4）且AC=BD，則四邊形EFGH的形狀。（正方形）（5）且AB=BC，AD=DC，則四邊形EFGH的形狀。（矩形）

變式3：已知條件，E、H分別為AB，BC的中點(diǎn)，AF∶FD=3，過(guò)H、E、F做一平面交CD于G，（1）CG∶CD（2）求證：EF與GH交于一點(diǎn)。

通過(guò)改變條件得到不同結(jié)論的變式，可以大大激發(fā)學(xué)生的興趣，變式2的一組題目跟初中平面幾何的題目有類似性，可以促進(jìn)學(xué)生從平面到空間的遷移，變式3有例題及前兩個(gè)變式的基礎(chǔ)，教師為學(xué)生的鞏固掌握打好了支架，學(xué)生要理解就比較容易了。

變式4：設(shè)圖形G、H分別是CB、CD反向延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其余條件不變，求證：EFGH是梯形。

變式5；當(dāng)圖形G、H分別是CB、CD反向延長(zhǎng)線上的點(diǎn)時(shí)，（1）四邊形圖形EFGH是平行四邊形，求CG∶CB。（2）在（1）的基礎(chǔ)上滿足什么條件時(shí)，再補(bǔ)充條件使四邊形EFGH是矩形。

變式4、變式5改變了圖形中G、H的位置，但線段的一些基本關(guān)系沒(méi)變，學(xué)生已有上面變式的經(jīng)驗(yàn)，較容易掌握。但變式5中（2）是一個(gè)開(kāi)放性題目，對(duì)所補(bǔ)充條件，每個(gè)學(xué)生考慮的角度不同會(huì)得出不同的答案，如EH⊥BD，或AB=AD且BC=DC，對(duì)于學(xué)生的探索，推理過(guò)程只要存在著一定得合理成分，教師都應(yīng)該予以肯定，并做出適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生對(duì)自己的探索充滿信心。

總而言之，數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練以一勝多、舉一反三的變式教學(xué)，給數(shù)學(xué)教學(xué)注入了生機(jī)和活力，提高了學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，使其學(xué)得輕松，并且避免“題?！?，從而提高了課堂教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)、促進(jìn)思維和培養(yǎng)能力等方面起著非常重要的作用?！白儭迸c“不變”，都要讓學(xué)生去體驗(yàn)。教師的作用應(yīng)該主要是引導(dǎo)和點(diǎn)撥，使學(xué)生去思考和比較，發(fā)現(xiàn)變式問(wèn)題中的“變”與“不變”。

四、利用變式訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用意識(shí)

數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要地位，為了加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟和應(yīng)用，我們以二次函數(shù)為例做如下變式訓(xùn)練：

例：求函數(shù)y=x2-2x-1的最值。

變式1：

（1）求函數(shù)y=x2-2x-2，x∈[-1，3]的最值；

（2）求函數(shù)y=x2-2x-2，x∈[-4，0]的最值；

（3）求函數(shù)y=x2-2x-2，x∈[3，5]的最值。

改變定義域的范圍，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某一區(qū)間上求最值，讓學(xué)生體會(huì)分類討論的思想，同時(shí)也為下面進(jìn)一步的變式做好鋪墊。

變式2：

（1）已知函數(shù)y=x2-2x-2，x∈[t，t+1]，求函數(shù)的最值；

（2）已知函數(shù)y=x2-2x-2，在x∈[0，t]上有最小值-2，最大值-1，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

（3）已知函數(shù)y=x2-2ax-a，x∈[3，5]，求函數(shù)的最值；

將原來(lái)具體數(shù)據(jù)抽象為區(qū)間含參數(shù)或表達(dá)式問(wèn)題，將具體問(wèn)題抽象化，特殊問(wèn)題一般化，從而滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、概括與抽象等數(shù)學(xué)思想方法。

變式3：

（1）已知不等式x2-2ax-a>0在區(qū)間[2，4]上恒成立，求a的取值范圍；

（2）已知不等式x2-2ax-a≥0在區(qū)間[2，4]上恒成立，求a的取值范圍；

（3）已知不等式x2-2ax-a>0在區(qū)間（2，4）上恒成立，求a的取值范圍；

（4）存在x∈[2，4]，使得不等式x2-2ax-a≥0恒成立，求a的取值范圍。

由原來(lái)求函數(shù)的最值問(wèn)題，變成不等式恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題，既鞏固了求最值問(wèn)題，又解決了一類新的問(wèn)題。令f（x）=x2-2ax-a，則不等式x2-2ax-a>0恒成立，即f（x）>0恒成立，可轉(zhuǎn)化為f（x）min>0；或者結(jié)合圖像，f（x）>0恒成立就是函數(shù)圖像在x軸上方；或者分離變量，最終轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值問(wèn)題。

總之我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中，經(jīng)常性的進(jìn)行一系列的變式訓(xùn)練，利用變換條件，變換題型，變換解法等形式多樣，內(nèi)容豐富的變式訓(xùn)練，可以讓學(xué)生從中領(lǐng)悟和歸納數(shù)學(xué)思想，可以很好的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

責(zé)任編輯龍建剛