基于空間等效桁架單元方法的鋼筋混凝土結構非線性分析

吳方伯等

摘要：針對傳統有限元分析的復雜性以及裂縫描述不準確等缺點，從空間應力單元出發(fā)，結合平面等效桁架單元的研究方法，提出了一種空間等效桁架單元；基于空間等效桁架單元和空間應力單元剛度等效的原則，推導了等效后的單元剛度矩陣、桿件截面面積和桿件軸力計算公式，探討了空間等效桁架單元應用于鋼筋混凝土結構非線性分析的相關問題；借助ANSYS 10.0采用該方法對一橋墩結構進行計算分析，并與采用平面等效桁架單元方法和試驗方法所得結果進行了對比。結果表明：采用該方法對鋼筋混凝土結構進行分析能夠滿足工程精度要求，并且能夠準確描述裂縫的開展。

關鍵詞：空間等效桁架單元；有限元法；剛度等效；鋼筋混凝土結構；非線性分析

中圖分類號：TU311.41文獻標志碼：A

0引言

有限元法作為一種重要的數值分析方法，由于其通用性和有效性，已經成為工程分析計算中應用最為廣泛的一種數值計算方法。1967年，美國學者Ngo和Scordelis發(fā)表了第1篇在鋼筋混凝土中應用非線性有限元方法的論文，他們用有限元法對鋼筋混凝土簡支梁進行了抗剪分析[1]。此后，越來越多從事結構工程的研究人員將這種方法應用于鋼筋混凝土結構分析，并取得了豐碩的研究成果。

采用傳統的有限元法分析鋼筋混凝土結構時，需要根據不同的單元類型構造不同的形函數，尤其對于多節(jié)點三維問題單元，形函數往往形式復雜且難于推導[2]。在裂縫處理問題上，傳統有限元分析中常采用離散裂縫模式和片狀裂縫模式[3]，采用離散裂縫模式時，一旦單元出現新的裂縫就要重新劃分網格，計算過程復雜且很費時，而采用片狀裂縫模式時，則不能對裂縫的位置、長度和形狀給出滿意的描述。本文根據平面等效桁架單元[45]的思想，提出一種由24根一維桿件組成的空間等效桁架單元，這種單元最大的特點是用一維桿件受力狀態(tài)表示三維受力狀態(tài)，無需設置形函數，簡化計算，并且單元中桿件的斷裂可以清晰地模擬鋼筋和混凝土的破壞，從而可以追蹤構件或結構破壞的全過程。本文采用提出的空間等效桁架單元方法對一橋墩結構進行非線性分析，并與平面等效桁架單元方法和試驗方法所得結果進行對比，探討該方法用于鋼筋混凝土結構分析的可行性。

1空間等效桁架單元

1.1單元模型及基本假設

圖1（a）為空間微元體單元，假設x，y，z方向的尺寸dx=dy=dz=h，微元體材料的彈性模量為E，剪切模量為G，泊松比為μ。圖1（b）為空間等效桁架單元，其外觀尺寸與空間微元體單元相同，外圍桿件長度均為h，內部斜桿長度為2h。同時假設外圍桿件等效截面面積為A1，軸向抗拉（壓）剛度為k1，內部斜桿等效截面面積為A2，軸向抗拉（壓）剛度為k2。

1.2單元剛度矩陣

依次對空間等效桁架單元節(jié)點進行編號，如圖2所示。

1.3等效分析

空間等效桁架單元由空間微元體單元等效而來，等效原則是剛度等效，即在相同的節(jié)點荷載作用下結構變形相等。本文考慮空間等效桁架單元與空間微元體單元的正應變等效和剪應變等效，并考慮泊松比的影響，進而得到由空間微元體參數表示的空間等效桁架單元的單元剛度矩陣。

1.3.1正應變等效分析

對空間微元體單元與空間等效桁架單元施加如圖3所示任意大小的單位節(jié)點荷載P，單元將產生正應變，根據等效原則，節(jié)點位移應相等，即δ1=δ′1，δ2=δ′2，δ3=δ′3。

1.3.3剪切剛度對比

從前文推導可知，在正應變和剪應變等效下，由斜桿的剛度k2相等可得

當μ=0.25時，式（7），（8）中的剪切模量G相等，實際混凝土μ值范圍為0.15～0.23，與μ=0.25很接近，且實際混凝土在軸壓作用下泊松比有所增長，同時從文獻[6]可知，用正應變等效得到的斜桿剛度代替剪應變等效得到的斜桿剛度，計算誤差很小，對結果影響不大。

1.4桿件等效截面面積

根據材料力學原理和求得的桿件等效剛度k1，k2，可得桿件的等效截面面積A1，A2分別為

1.5單元中各桿軸力的計算

求出各節(jié)點的位移之后，可以根據每根桿件的剛度和節(jié)點位移求出各桿件的軸力Ne，即

式中：A為桿件截面面積；L為桿件長度；i，j分別為桿件兩端節(jié)點編號；θx，θy，θz分別為桿件與x，y，z軸的夾角；u，v，w分別為桿端沿x，y，z軸的位移。

2模型在鋼筋混凝土結構非線性分析中的應用2.1鋼筋混凝土結構有限元模型及基本假定

本文鋼筋混凝土結構有限元模型采用分離式模型，把鋼筋混凝土結構離散為混凝土單元和鋼筋單元，混凝土單元采用本文推導的空間等效桁架單元，鋼筋單元采用桿件單元，其單元剛度矩陣Ks按照式（11）進行計算，即

式中：Es，As分別為鋼筋的彈性模量和截面面積；α=cos（θx）；β=cos（θy）；γ=cos（θz）。

將混凝土單元剛度矩陣和鋼筋單元剛度矩陣按照剛度集成原理進行集成，可得鋼筋混凝土結構有限元模型的整體剛度矩陣。

在一般的鋼筋混凝土結構中，可以認為鋼筋和混凝土之間粘結整體性比較好，二者之間沒有相對滑移?；炷量臻g等效桁架單元與鋼筋單元在節(jié)點處相互鉸接，二者之間位移完全協調。本文采用的鋼筋混凝土空間等效桁架單元模型如圖5所示。

2.2鋼筋混凝土材料本構關系和破壞準則

本文根據空間等效桁架單元的組成特征，混凝土材料采用在單向受力作用下的本構關系，當混凝土構件處于受壓狀態(tài)時，應力應變關系采用式（12）所示的Hongnestad分段表達式[7]，即

σ=σ0[2εε0-（εε0）2]0≤ε≤ε0

σ0（1-0.15ε-ε0εu-ε0）ε0<ε≤εu（12）