對一道幾何證題中輔助線畫法的物理解釋

羅春焱

（重慶綦江區(qū)三江中學(xué)，重慶 401431）

中學(xué)學(xué)科教學(xué)中，由于受到學(xué)科界域的限制，教師往往只從自己從事的單一學(xué)科去尋找答案，而忽視與其他學(xué)科的橫向聯(lián)系，忽視與其他學(xué)科的相互交叉.對某些問題可以從多學(xué)科角度做出理解，下面筆者通過一道幾何證題中涉及輔助線畫法的學(xué)生疑問的解答過程來加以說明，以期能起拋磚引玉的作用.

1 幾何題目及其證明

證明：如圖2所示，連接AG并延長與BC交于D；延長PQ，過B、D、A、C4點(diǎn)作PQ的垂線，其垂足分別為E、T、H、F.

圖1

圖2

因?yàn)椤鱌EB∽△PHA，所以

又因?yàn)椤鱍FC∽△QHA，△DTG∽△AHG，則

由于D是BC的中點(diǎn)，因而DT是梯形BEFC的中位線.所以，

聯(lián)立（1）～（4）式可得

2 學(xué)生疑問及其對疑問的物理解釋

通過證明，問題已得到解決，然而，有學(xué)生卻提出“在該題的證明中，為什么要添加這樣的輔助線呢？”的疑問.對于這個(gè)新問題，數(shù)學(xué)教師通常會回答“只要同學(xué)們多加練習(xí)，見多識廣，就可熟能生巧”.針對這一疑問，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下的教學(xué)探討.

師：同學(xué)們，這樣作輔助線有科學(xué)依據(jù)嗎？現(xiàn)在，我想用物理方法來解釋這個(gè)問題，請同學(xué)們跟我一起共同來完成.

生：保持沉默.

師：大家想一想：在物理學(xué)中，三角形的實(shí)體模型是怎樣的呢？

生：可以是一塊均質(zhì)的三角形薄板；也可以是3個(gè)等質(zhì)的小球用3根輕直桿連接而成.

師：我們是否可以用“3個(gè)等質(zhì)小球用3根輕直桿連接”的三角形實(shí)體模型來解決以上關(guān)于輔助線畫法的問題呢？

生：可以，因?yàn)槲覀冊?jīng)做過2個(gè)物理實(shí)驗(yàn)：一個(gè)是懸掛法測重心實(shí)驗(yàn)；另一個(gè)是驗(yàn)證杠桿平衡條件實(shí)驗(yàn).如果將2個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)合起來似乎就能解決這個(gè)問題了.

師：很好！那么究竟應(yīng)該怎么做呢？

生：走向黑板，畫出圖3與圖4的幾何圖形后說：將A球用細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，由懸掛法測重心實(shí)驗(yàn)知道，當(dāng)ABC整體靜止時(shí)，三角形ABC的重心G必在豎直線OA上（圖3）.同理，將Q點(diǎn)用細(xì)線懸掛于O，當(dāng)ABC整體靜止時(shí)，則三角形ABC的重心G也必在豎直線OQ上（圖4）.在圖4中，我們就可以用杠桿平衡條件（A球的重力沿逆時(shí)針方向的力矩等于B、C兩球的重力沿順時(shí)針方向的力矩的代數(shù)和）列方程來加以解決.

設(shè)A、B、C3個(gè)小球的質(zhì)量均為m.如圖4所示，由杠桿平衡條件得

故AH＝CF＋BE.

又因?yàn)椤鱌EB∽△PHA，

又因?yàn)椤鱍FC∽△QHA，

圖3

圖4

師：顯而易見，結(jié)合物理知識來證明這道幾何題更為簡捷.由于力臂是支點(diǎn)（懸點(diǎn)O）到力的作用線的垂直距離.該問題中AH、BE、CF恰好分別是A、B、C3個(gè)小球重力的力臂.因此，我認(rèn)為，這就是數(shù)學(xué)上證明該題的過程中，要過A、B、C3點(diǎn)分別作PQ的垂線（輔助線）的原因所在.

學(xué)生（全班齊聲）：原來這道幾何題還蘊(yùn)藏著如此豐富的物理內(nèi)涵，真是數(shù)理不分家.

3 教學(xué)啟示與感悟

通過以上教學(xué)實(shí)例，筆者認(rèn)為，在課堂教學(xué)中滲透不同學(xué)科知識是今后課程教學(xué)的新走向，它不僅符合當(dāng)前高考綜合學(xué)科考試的要求，也是對開設(shè)研究性課程的有力支持.教師要積極鉆研相關(guān)學(xué)科教材，發(fā)掘不同學(xué)科知識在解決跨學(xué)科綜合問題中的功效，促進(jìn)不同學(xué)科知識間的融會貫通.這樣，能喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，點(diǎn)燃學(xué)生智慧的火花，使學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力得到充分的發(fā)展.