小球能一直沿光滑曲面運(yùn)動(dòng)下去嗎？

陳 科

（甘肅省康縣第一中學(xué)，甘肅 康縣 746500）

初速度為0的小球能沿任意光滑斜面一直運(yùn)動(dòng)下去，這是眾多高中生都熟悉的.那么，初速度為0的小球沿光滑曲面也能一直運(yùn)動(dòng)下去嗎？本文將分3種情況：圓面、拋物面和橢圓面，就這一問題做一探討，供各位同行參考.

1 光滑圓面情況

設(shè)小球?qū)⒃贏點(diǎn)脫離圓面，如圖1所示.

圓的方程為

圖1 光滑圓面

參數(shù)方程為

從最高點(diǎn)到A點(diǎn)機(jī)械能守恒，有

在A點(diǎn)的脫離條件為

由以上各式，解得

故初速度為0的小球不可能一直沿光滑圓面運(yùn)動(dòng)下去，且將在θ＝48°處脫離圓面.

2 光滑拋物面情況

設(shè)小球?qū)⒃贏點(diǎn)脫離拋物面，如圖2所示.

拋物線的方程為

圖2 光滑拋物面

對y關(guān)于x求一階、二階導(dǎo)數(shù)，得

A點(diǎn)曲率半徑為

從最高點(diǎn)到A點(diǎn)機(jī)械能守恒，有

在A點(diǎn)的脫離條件為

由以上各式，解得

方程兩邊含x的項(xiàng)剛好抵消，方程無解.

3 光滑橢圓面情況

設(shè)小球?qū)⒃贏點(diǎn)脫離橢圓面，如圖3所示.

橢圓的方程為

圖3 光滑橢圓面

參數(shù)方程為

分別對x與y關(guān)于θ求一階、二階導(dǎo)數(shù)，得

那么，y關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)為

A點(diǎn)曲率半徑為

從最高點(diǎn)到A點(diǎn)機(jī)械能守恒，有

在A點(diǎn)的脫離條件為

由以上各式，解得

這是一個(gè)關(guān)于sinθ的一元三次方程.

要使以上方程式成立，必須同時(shí)滿足

解上面關(guān)于A和B的方程組，得

即初速度為0的小球不可能一直沿光滑橢圓面運(yùn)動(dòng)下去，且將在以上確定位置脫離圓面.

最后，我們可以得出結(jié)論：初速度為0的小球?qū)⒁恢毖毓饣瑨佄锩孢\(yùn)動(dòng)下去；而在光滑圓面和光滑橢圓面上，該小球都將在某一確定位置脫離曲面.以上推導(dǎo)和觀點(diǎn)若有不當(dāng)之處，還望各位同行和專家斧正.