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    圖頂點(diǎn)著色問(wèn)題的質(zhì)粒DNA計(jì)算

    2015-07-21 14:27:51馬瑩殷志祥
    關(guān)鍵詞:質(zhì)粒

    馬瑩++殷志祥

    摘要:圖的著色問(wèn)題是著名的NP問(wèn)題,有著重要的實(shí)際意義。比如通訊系統(tǒng)的頻道分配、考試排考場(chǎng)問(wèn)題等方面有直接應(yīng)用。圖的著色問(wèn)題采用DNA計(jì)算方法很多,有表面DNA計(jì)算,粘貼DNA計(jì)算。本文提出質(zhì)粒DNA計(jì)算,首先把頂點(diǎn)著色問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最大獨(dú)立集問(wèn)題,然后給出了圖頂點(diǎn)著色問(wèn)題的質(zhì)粒DNA分子生物實(shí)驗(yàn),利用限制性內(nèi)切酶的特性切割有邊相連的頂點(diǎn),得到最大獨(dú)立集,在試驗(yàn)中特別引入了一個(gè)備用試管,最后給出一個(gè)具體的實(shí)例。實(shí)例給出具體的著色方案,證明了該質(zhì)粒DNA算法有效并且是可行的。

    關(guān)鍵詞:DNA計(jì)算;頂點(diǎn)著色;最大獨(dú)立集;質(zhì)粒

    中圖分類號(hào):TP301 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

    文章編號(hào):1672-1098(2015)01-0000-00

    1994年,Adleman首次用DNA計(jì)算解決有向圖的哈密頓問(wèn)題[1];1995年P(guān)rinceton大學(xué)的Lipton在Adleman思想的啟發(fā)下,解決了可滿足性問(wèn)題[2];1997年,Ouyang等利用DNA計(jì)算解決了另一個(gè)NP完全問(wèn)題,圖的最大團(tuán)問(wèn)題[3];2000年,Head提出了用質(zhì)粒DNA分子來(lái)解決可滿足性問(wèn)題[4];2004年,高琳,許進(jìn)提出了基于質(zhì)粒DNA匹配問(wèn)題的分子算法[5]。

    圖頂點(diǎn)著色問(wèn)題是著名的NP問(wèn)題。2003年,高琳討論了圖的3-頂點(diǎn)著色的DNA算法[6];2005年,王淑棟提出了先 把 著色 問(wèn) 題分 解 成 頂 點(diǎn) 獨(dú) 立 集 問(wèn)題 和 頂 點(diǎn) 劃 分問(wèn) 題 并 給 出 這兩 個(gè)問(wèn) 題的 D N A 粘貼算法,并調(diào)用這兩個(gè)算法解決了圖頂點(diǎn)著色問(wèn)題[7];2006年,馬季蘭提出將圖的頂點(diǎn)著色問(wèn)題轉(zhuǎn)化為SAT-問(wèn)題來(lái)解,并且利用粘貼DNA計(jì)算來(lái)解決[8];2009年,強(qiáng)小利建立了一種基于酶切技術(shù)和PCR技術(shù)的圖頂點(diǎn)著色DNA計(jì)算模型,給出了實(shí)現(xiàn)該模型的雙編碼的編碼方案[9]。

    本文提出基于質(zhì)粒的DNA計(jì)算求解圖的頂點(diǎn)著色問(wèn)題,從圖頂點(diǎn)著色問(wèn)題的本質(zhì)出發(fā),把圖的頂點(diǎn)著色問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖的頂點(diǎn)劃分問(wèn)題。

    1質(zhì)粒

    質(zhì)粒是染色體外小型的共價(jià)、閉合、環(huán)狀的雙鏈DNA分子,是含有復(fù)制功能的遺傳結(jié)構(gòu)的DNA分子。目前DNA計(jì)算中采用的質(zhì)粒是閉環(huán)狀的雙鏈DNA分子,常用人工構(gòu)建的質(zhì)粒作為載體。常用的人工質(zhì)粒運(yùn)載體有pBR322、pSC101,必須包含三個(gè)特征:復(fù)制子、選擇性標(biāo)志和克隆位點(diǎn)??寺∥稽c(diǎn)是限制性內(nèi)切酶切割位點(diǎn),外源性DNA可由此插入質(zhì)粒內(nèi),而且并不影響質(zhì)粒的復(fù)制能力。用限制性核酸內(nèi)切酶和DNA鏈接酶可以對(duì)質(zhì)粒進(jìn)行剪切和重組。每位與唯一的限制性酶相對(duì)應(yīng),每位都以它對(duì)應(yīng)的限制性酶為識(shí)別位點(diǎn)。

    11質(zhì)粒編碼

    給一個(gè)質(zhì)粒 DNA 環(huán)狀分子進(jìn)行編碼,設(shè)P是一個(gè)質(zhì)粒載體,k是正整數(shù),s1,s2,…,sk是P的k個(gè)相互不重疊的子段。對(duì)于每個(gè)i,核苷酸序列si不能出現(xiàn)在質(zhì)粒P的其余位置上,并稱si是質(zhì)粒P的“位置”。通過(guò)切割和粘貼,質(zhì)粒在“位置”處不斷地修改,相應(yīng)的核苷酸序列si要么在質(zhì)粒上,要么不在,分別用1和0表示。質(zhì)粒DNA的位為1表示這個(gè)位對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)在質(zhì)粒DNA對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)集中,質(zhì)粒DNA的位為0表示這個(gè)位對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)不在對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)集中。 例如: 質(zhì)粒111111表示頂點(diǎn)集{v1,v2,v3,v4,v5,v6}, 質(zhì)粒 100001 表示頂點(diǎn)集{v1,v6}。

    12限制性內(nèi)切酶

    生物體內(nèi)能識(shí)別并切割特異的雙鏈DNA序列的一種內(nèi)切核酸酶。限制酶的名字根據(jù)最初分離出限制酶的生物體所命名,第一個(gè)字母取自屬名的第一個(gè)字母,隨后的兩個(gè)字母取自種名的前兩個(gè)字母,第四個(gè)字母表示菌株(品系)。例如Bam H,表示從Bacillus amylolique faciens H中分離出來(lái)的限制內(nèi)切酶。通常,限制性內(nèi)切酶僅剪切雙鏈DNA分子,而且只在一些特定的位置上剪切。下表1列出常用的限制性內(nèi)切酶的識(shí)別位點(diǎn),其中箭頭表示切割位點(diǎn)。

    表1限制性內(nèi)切酶識(shí)別位點(diǎn)

    2圖頂點(diǎn)著色問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)

    設(shè)G是一個(gè)圖,分別用V,E,ψv(G),Δ(v),p和q表示圖G的頂點(diǎn)集,邊集,G的點(diǎn)色數(shù),頂點(diǎn)v的度,頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)。

    定義1設(shè)G為任意圖且C代表顏色集合,如果存在映射σ∶V(G)→C使得對(duì)任意uv∈E(G),σ(u)≠σ(v),則稱σ為G的頂點(diǎn)著色法,即對(duì)G的每個(gè)頂點(diǎn)用C中的某種顏色著色使得每個(gè)頂點(diǎn)只染一種顏色,且相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)不能染同種顏色。

    定義2對(duì)圖G的頂點(diǎn)著色需要的最少顏色數(shù)稱為G的點(diǎn)色數(shù),簡(jiǎn)稱為G的色數(shù),并用ψv(G)來(lái)表示。

    定義3對(duì)圖G=(V,E)的結(jié)點(diǎn)子集SV,如果

    1) S中的任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)均不相鄰,則稱S為G的一個(gè)獨(dú)立集。

    2) 若S是G的獨(dú)立集,且不存在G的另一獨(dú)立集S′滿足|S′|>|S|,則稱S為G的最大獨(dú)立集。

    定義4對(duì)于無(wú)向圖G(V,E),將其頂點(diǎn)集V劃分為互不相交的多個(gè)非空子集V1,V2,…,Vm,使得V1∩V2∩…∩Vm=V,且Vi∩Vj=,其中i,j=1,2,…,m,i≠j,則V1,V2,…,Vm稱為G=(V,E)的頂點(diǎn)一個(gè)劃分。

    定理1對(duì)任意圖G,有ψv(G)≤Δ+1。

    證:對(duì)圖的結(jié)點(diǎn)數(shù)n作歸納證明,當(dāng)n=1時(shí),即圖只有一個(gè)結(jié)點(diǎn),ψv(G)=1,定理顯然成立。設(shè)結(jié)點(diǎn)數(shù)為n-1時(shí)定理成立,現(xiàn)增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)v0,則與v0鄰接的結(jié)點(diǎn)最多有Δ個(gè),即使這些結(jié)點(diǎn)都著不同顏色,也不會(huì)超過(guò)Δ種顏色,則給v0著不同顏色,色數(shù)不會(huì)超過(guò)Δ+1,定理亦成立。

    由于獨(dú)立集內(nèi)的所有結(jié)點(diǎn)可著同一顏色,如果將圖的頂點(diǎn)進(jìn)行劃分,使每一結(jié)點(diǎn)子集都是獨(dú)立集,即最小劃分?jǐn)?shù)即是圖的點(diǎn)色數(shù)。

    21圖頂點(diǎn)著色的算法

    圖頂點(diǎn)著色算法:endprint

    先求圖G的一個(gè)最大獨(dú)立集V1,然后求G-V1的最大獨(dú)立集V2,然后再求G-(V1∪V2)的最大獨(dú)立集V3,如此繼續(xù)直到最后一個(gè)最大獨(dú)立集Vk,則所需色數(shù)ψv(G)=k,即求G的獨(dú)立數(shù)I(G)。

    具體算法步驟如下:

    步驟1:從頂點(diǎn)V中選取頂點(diǎn),不妨設(shè)為v1,記k=1,Vk={v1}。刪除與頂點(diǎn)v1相鄰的頂點(diǎn),剩余的頂點(diǎn)假設(shè)記為vi,vj加入Vk={v1,vi,vj}集合中,Vk即為所有頂點(diǎn)中的最大獨(dú)立集。n為Vk中元素的個(gè)數(shù)。

    步驟2:如果n=|V(G)|,則k為頂點(diǎn)著色數(shù);否則執(zhí)行下一步。

    步驟3:把k換成k+1,繼續(xù)找剩下頂點(diǎn)中最大獨(dú)立集Vk,按順序找出頂點(diǎn)記為vm(vm為不在Vk中的頂點(diǎn)),記Vk={vm},刪除與vm相鄰的頂點(diǎn),剩下的頂點(diǎn)加入到Vk,n為V1,V2,…Vk中所有元素的個(gè)數(shù),轉(zhuǎn)步驟2。

    22圖頂點(diǎn)著色問(wèn)題的DNA計(jì)算模型系統(tǒng)

    1) 頂點(diǎn)編碼。每個(gè)頂點(diǎn)用寡聚核苷酸片段進(jìn)行編碼,每段的兩端都有特殊酶切位點(diǎn)的序列。例如,頂點(diǎn)v1 用A,T,C,G隨意編碼,長(zhǎng)度為50 bp,其兩端含有限制酶Eco RI的識(shí)別序列為5′-GAATTC,其分割點(diǎn)在G與A之間,這樣通過(guò)Eco RI作用就可以將v1從鏈上切除。Station2表示頂點(diǎn)v2所在的位置,其兩端含有Pst I的識(shí)別序列式5′-CTGCAG,類似通過(guò)Pst I作用可將v2從鏈上切除。頂點(diǎn)編碼成質(zhì)粒形式見圖1。

    圖1頂點(diǎn)編碼

    2) 圖頂點(diǎn)著色問(wèn)題的DNA生物算法。對(duì)應(yīng)的質(zhì)粒DNA算法具體步驟如下:

    步驟1:編碼。給頂點(diǎn)進(jìn)行DNA編碼,每個(gè)頂點(diǎn)用A,T,G,C進(jìn)行編碼,長(zhǎng)度可以在40 kb至50 kb之間,在每個(gè)頂點(diǎn)的兩端連接限制性內(nèi)切酶。將編碼好的DNA片段放入試管中。將編碼好的DNA片段鏈插入到已開口質(zhì)粒中,這樣可以形成環(huán)狀的雙鏈DNA質(zhì)粒。

    步驟2:擴(kuò)增。將細(xì)菌質(zhì)粒轉(zhuǎn)化到大腸桿菌中進(jìn)行擴(kuò)增,可以得到數(shù)量足夠多的新質(zhì)粒,用試管T0表示。

    步驟3:切割。檢查試管T0中任意兩條邊之間是否有頂點(diǎn)連接。如果都沒有頂點(diǎn)相連,轉(zhuǎn)入步驟4,否則假設(shè)有邊ei和邊ej相連對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)為vm,將步驟2所產(chǎn)生的新的質(zhì)粒的試管T0分成相等的三個(gè)試管,一個(gè)試管單獨(dú)放置(步驟4使用),然后檢查所有和vm相連的邊,另外兩個(gè)試管中分別加入切割有邊相連的兩個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)內(nèi)切酶,然后把切割下小的DNA片段和質(zhì)粒分離,最后使質(zhì)粒重新環(huán)化,合成一個(gè)試管。返回步驟2。

    步驟4:找到最大獨(dú)立集。測(cè)序而且記錄DNA分子片段,找到該分子片段所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn),令其記為Vk(k=1,2…)。如果V1,V2,…,Vk中總的頂點(diǎn)數(shù)恰好等于圖G的頂點(diǎn)數(shù),則轉(zhuǎn)步驟5;否則,再用試管T0(步驟2中的初始試管)切割V1,V2,…,Vk頂點(diǎn),把切割下小來(lái)的DNA分子片段和質(zhì)粒分離,使質(zhì)粒重新環(huán)化,合成一個(gè)試管,轉(zhuǎn)步驟2。

    步驟5:k即為著色數(shù),則V1,V2,…,Vk中的頂點(diǎn)集為同一種顏色。

    3一個(gè)實(shí)例

    下面對(duì)圖1所示頂點(diǎn)著色問(wèn)題來(lái)詳細(xì)討論上述算法生物實(shí)現(xiàn)步驟。

    步驟1:編碼輸入。對(duì)圖1中的每個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行編碼。

    圖26個(gè)頂點(diǎn)10條邊的圖

    步驟2:擴(kuò)增。將合成的DNA分子片段鏈插入到已經(jīng)開口的質(zhì)粒中,這樣形成閉環(huán)狀的質(zhì)粒,再轉(zhuǎn)入大腸桿菌進(jìn)行擴(kuò)增,容易得到數(shù)量足夠多的實(shí)驗(yàn)所需要的新質(zhì)粒,仍用用試管T0表示。

    步驟3:剪切。將試管T0分成三個(gè)相同的試管T′0、T1和T2。T′0為備用試管,在步驟4中使用。此時(shí)試管中質(zhì)粒位為111111,即點(diǎn)集{v1,v2,v3,v4,v5,v6}。首先,對(duì)頂點(diǎn)v1所有連接的點(diǎn)全部切割掉,則剩下的點(diǎn)即與v1不連接。對(duì)邊e1頂點(diǎn)v1與其相鄰的頂點(diǎn)v2,在試管T1中用對(duì)應(yīng)的酶Eco RI切掉v1所表示的粘性末端DNA分子片段,并且把切割下來(lái)的DNA分子片段和質(zhì)粒分離,使T1中的質(zhì)粒重新環(huán)化,這時(shí)T1中質(zhì)粒表示位為011111,即點(diǎn)集{v2,v3,v4,v5,v6}。在試管T2中用對(duì)應(yīng)的酶Pst I切掉v1所表示的粘性末端DNA分子片段,把切割下來(lái)的DNA分子片段和質(zhì)粒分離,并且使T1中的顆粒重新環(huán)化,這時(shí)T2中質(zhì)粒表示位為101111,即點(diǎn)集{v1,v3,v4,v5,v6}。把試管T1和T2合成一新的試管,仍記為T0。若圖中無(wú)邊則表示圖可劃分為{v1,v3,v4,v5,v6}和{v2},或者{v2,v3,v4,v5,v6}和{v1},圖為2-可著色。

    將試管T0分成兩個(gè)相同的試管T1和T2。對(duì)于邊e2對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)v1和v3,在試管T1中用限制性酶Eco RI切割掉v1頂點(diǎn)所表示的粘性末端DNA分子片段,把切割下來(lái)的DNA分子片段和質(zhì)粒分離,并且使T1中的質(zhì)粒重新環(huán)化,這時(shí)T1中含質(zhì)粒為011111和001111,在T2試管中加入BamH I切割掉e2對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)v3,并使T2中的顆粒重新環(huán)化,此時(shí)T2中質(zhì)粒表示011111和100111。把試管T1和T2合成一新的試管,仍記為T0。T0中含有三種新的質(zhì)粒對(duì)應(yīng)的為表示為011111和001111以及100111。

    將試管T0分成兩個(gè)相同的試管T1和T2。對(duì)于邊e3對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)v1和v4,在試管T1中用相應(yīng)的限制性酶Eco RI切割掉v1所代表的粘性末端DNA片段,把切下來(lái)的DNA片段和質(zhì)粒分離,并使T1中的顆粒重新環(huán)化,此時(shí)T1中含質(zhì)粒為011111, 001111和000111,在T2試管中加入Sal I切割掉e3對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)v4,并使T2中的顆粒重新環(huán)化,此時(shí)T2中質(zhì)粒表示011111,001111和100011。把試管T1和T2合成一新的試管,仍記為T0。T0中含有四種新的質(zhì)粒對(duì)應(yīng)的為表示為011111,001111和000111以及1000111。endprint

    再切割和頂點(diǎn)v2相連的頂點(diǎn)(v1除外),依次切割和v3相連的頂點(diǎn)(v1和v2除外),經(jīng)過(guò)反復(fù)切割,最終可得試管中的質(zhì)粒表示為000001,000010,001001,000110,10000,011001,即表示頂點(diǎn)集{v6},{v5},{v3,v6},{v4,v5},{v1,v6},{v2,v3,v6},即最大獨(dú)立集為{v2,v3,v6}。

    步驟4:測(cè)序。通過(guò)凝膠電泳實(shí)驗(yàn)找出鏈長(zhǎng)最長(zhǎng)的質(zhì)粒,用分子克隆技術(shù)確定長(zhǎng)度最大的質(zhì)粒,它所代表的編碼就是最大頂點(diǎn)獨(dú)立集{v2,v3,v6}。

    步驟5:從剩余頂點(diǎn)中求最大頂點(diǎn)獨(dú)立集。在步驟2中備用試管T′0中切割v2,v3,v6,則試管T′0中仍含有頂點(diǎn)v1,v4,v5,轉(zhuǎn)入步驟2,尋找T′0的最大獨(dú)立集,可求得{v4,v5}為最大獨(dú)立集。

    從剩余頂點(diǎn)中求最大頂點(diǎn)獨(dú)立集。在步驟2中備用試管T′0中切割v4,v5,則試管T′0中只含有頂點(diǎn)v1,顯然,圖可劃分為{v2,v3,v6},{v4,v5},{v1},即圖可3-著色。

    4結(jié)束語(yǔ)

    文獻(xiàn)[7]求頂點(diǎn)著色時(shí)求的是最大獨(dú)立集問(wèn)題和圖劃分問(wèn)題,采用的是粘貼DNA計(jì)算而且需要單獨(dú)進(jìn)行兩個(gè)實(shí)驗(yàn);而本文求解圖的最大獨(dú)立集問(wèn)題和圖劃分問(wèn)題只需要一個(gè)實(shí)驗(yàn),而且實(shí)驗(yàn)時(shí)引入了三個(gè)試管,在質(zhì)粒進(jìn)行分離操作時(shí),引入了一個(gè)備用試管,這大大簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)的操作,盡可能減少了實(shí)驗(yàn)的誤差,最后本文給出實(shí)例驗(yàn)證算法的可行性。

    本文在試驗(yàn)時(shí),采用的是質(zhì)粒的切割、環(huán)化和分離過(guò)程,質(zhì)粒始終保持了DNA雙鏈形式,避免了DNA退火以及PCR擴(kuò)增。但是,由于內(nèi)切酶的種類有限,也限制了圖的規(guī)模不宜太大,還有頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)不同的邊需要酶切,酶切的過(guò)程可能會(huì)產(chǎn)生非特異性酶,這是今后的研究中需要改進(jìn)的方面。

    參考文獻(xiàn):

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    (責(zé)任編輯:)endprint

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