基于MATLAB數(shù)字圖像處理的傅立葉變換設(shè)計(jì)

冷 斌 涂小華

(江西旅游商貿(mào)職業(yè)學(xué)院，江西 南昌 330100)

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基于MATLAB數(shù)字圖像處理的傅立葉變換設(shè)計(jì)

冷 斌 涂小華

(江西旅游商貿(mào)職業(yè)學(xué)院，江西 南昌 330100)

MATLAB由于計(jì)算功能強(qiáng)大，又能支持矩陣運(yùn)算，還能實(shí)現(xiàn)二次開發(fā)，因此使用MATLAB軟件在處理數(shù)字圖像變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)。本文重點(diǎn)講述圖像變換技術(shù)部分的設(shè)計(jì)，并通過傅立葉變換進(jìn)行分析，并提出了科學(xué)的算法，使初學(xué)者簡(jiǎn)單易學(xué)。

MATLAB 數(shù)字圖像處理 傅立葉變換 設(shè)計(jì)

人類通過圖像信息來獲取外部資訊，如何獲取圖像信息顯得尤為重要，但實(shí)際中獲得圖像信息不僅僅是我們的目的，更為重要的是我們應(yīng)該如何將圖像信息進(jìn)行處理，從現(xiàn)實(shí)中的大量復(fù)雜的圖像中來獲取到我們需要的信息。所以，在某種意義中來講，對(duì)圖像信息進(jìn)行處理比獲得圖像更為重要。特別是在當(dāng)今科技迅速發(fā)展的時(shí)代，對(duì)圖像處理提出了更高的要求。MATLAB軟件自從上世紀(jì)80年代推出以來，正逐步發(fā)展和不斷完善，已成為國(guó)際公認(rèn)的、最優(yōu)秀的的科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件之一，它具有矩陣運(yùn)算、數(shù)值分析、信號(hào)處理及圖形顯示為一體，構(gòu)成了一個(gè)方便、友好的用戶環(huán)境。能使初學(xué)者通過較短時(shí)間，做到比較系統(tǒng)的、感性的理解和學(xué)習(xí)圖像處理技術(shù)知識(shí)。

1、MATLAB軟件簡(jiǎn)介

由Math works公司開發(fā)的MATLAB軟件，它是一款可視化軟件，并具有高性能的數(shù)值計(jì)算能力，它集數(shù)值分析、矩陣運(yùn)算、圖形信號(hào)顯示和處理于一體，使之成為一個(gè)比較方便的、界面友好的用戶環(huán)境，在不同領(lǐng)域的應(yīng)用中推出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、圖像處理、信號(hào)處理、控制系統(tǒng)等30多個(gè)具有專門功能的工具箱，在MATLAB軟件中，往往數(shù)值圖像是以矩陣形式表示，而MATLAB軟件因其有強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算能力，使得對(duì)圖像處理非常有利，MATLAB主要優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在：①功能強(qiáng)大，可擴(kuò)展性強(qiáng)；②界面友好，編程效率高；③易學(xué)易用；④高效性。當(dāng)然MATLAB也存在自身的缺點(diǎn)，這要有待于今后技術(shù)人員研究改善。

2、數(shù)字圖像處理技術(shù)簡(jiǎn)介

模擬圖像處理和數(shù)字圖像處理作為圖像處理技術(shù)的兩大方向，其中數(shù)字圖像處理就是指將圖像信號(hào)變成數(shù)字信號(hào)，然后進(jìn)行計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理，數(shù)字圖像處理技術(shù)主要包括幾何處理、圖像增強(qiáng)、圖像復(fù)原、圖像重建、算術(shù)處理、圖像編碼、圖像識(shí)別等。數(shù)字圖像處理技術(shù)的特點(diǎn)主要集中為再現(xiàn)性好，處理精度高，適用面廣，靈活性高，信息壓縮的潛力大，對(duì)數(shù)字圖像處理辦法可從幾何處理、圖像重建、算數(shù)處理、圖像變換、圖像分割、圖像增強(qiáng)、圖像復(fù)原、圖像編碼等方面進(jìn)行。數(shù)字圖像處理技術(shù)的發(fā)展涉及信息科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)及生物學(xué)等學(xué)科。

3、設(shè)計(jì)思路

通過MATLAB編程語(yǔ)言來設(shè)計(jì)本系統(tǒng)的程序，把圖形用戶界面來作為程序運(yùn)行的界面。使得整個(gè)系統(tǒng)的組成分成了若干運(yùn)行界面以及相應(yīng)的M函數(shù)文件，在界面中，每個(gè)菜單項(xiàng)和控件所對(duì)應(yīng)的程序，都會(huì)找到一個(gè)相應(yīng)的M函數(shù)。在軟件中，通常圖像的數(shù)學(xué)表示形式為二元函數(shù)f(x，y)。不同的顏色或者灰度分別在函數(shù)的不同特定點(diǎn)中表示。通常把圖像轉(zhuǎn)換為另一種表示方式的操作方式簡(jiǎn)稱為圖像變換。通過圖像變換，可以改變圖像的表示數(shù)據(jù)和表示域，也可以給后面工作人員帶來方便。本文將對(duì)圖像處理的傅立葉變換重點(diǎn)建模。

(1)傅立葉變換的理論基礎(chǔ)與算法

通過傅立葉正交變換，設(shè)包含兩個(gè)離散空間變量m和n的f(m，n)函數(shù)，則可通過以下函數(shù)定義傅立葉變換：

式中，把ω1，ω2作為頻域變量，其單位為弧度/采樣單元。通常我們把函數(shù)f(m，n)的頻域特性用F(ω1，ω2)表示。函數(shù)F(ω1，ω2)中的變量ω1，ω2的周期均為2π，且該函數(shù)為復(fù)變函數(shù)，通常在圖像顯示的時(shí)候，變量的取值范圍為-π<ω1，ω2<π，原因在于變量存在周期性。

同樣，可得出傅立葉反變換定義如下：

該函數(shù)表明其為不同頻率的復(fù)指函數(shù)之和，幅度F(ω1，ω2)決定了不同的頻率點(diǎn)(ω1，ω2)所做的貢獻(xiàn)的多少。通常采用離散傅立葉變換作為處理傅立葉變換。我們采用快速傅立葉變換算法(FFT)來消除因傅立葉計(jì)算復(fù)雜、速度慢的缺點(diǎn)，且可以幫助解決在局部范圍內(nèi)的信號(hào)表達(dá)的特性，而快速傅立葉變換的設(shè)計(jì)思想是建立在原函數(shù)的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)上，并通過奇、偶數(shù)項(xiàng)相加，得到所需要的結(jié)果。

通過對(duì)其函數(shù)進(jìn)行分解，使變換中的某些計(jì)算可以共同或重復(fù)使用，從而提高了計(jì)算效率，這就是FFT的基本原理，但是他的計(jì)算量仍然很大。

FFT的定義為：

其中：p=0，1，…，M-1；q=0，1，...，N-1。

其中：m=0，1，…，M-1；n=0，1，...，N-1。

(1)、(2)傅立葉變換算法進(jìn)行改進(jìn)。

假設(shè)輸入圖像為f(x，y)，那么其頻譜F(u，v)為：

式中，F(xiàn)(u，v)是復(fù)函數(shù)，其可用用相位和振幅的形式表示為：

在傅立葉變換算法改進(jìn)后，使用MATLAB補(bǔ)零及改變圖像象限，利用fft2(f，A，B)語(yǔ)句對(duì)被變換圖像進(jìn)行補(bǔ)零操作，通過圖像進(jìn)行比較，我們得出，改進(jìn)的傅立葉變換算法應(yīng)用后圖像的分辨率更高、零頻率分量也可以在圖像中央?yún)^(qū)域顯示。

在研究中，嘗試只用頻譜的振幅部分或者相位部分，將會(huì)產(chǎn)生不同的效果。利用頻譜的振幅部分F1=|F(u，v)|，對(duì)以上公式進(jìn)行變換，發(fā)現(xiàn)振幅完全發(fā)生變化，這說明了F1沒有包含輸入圖像信息。利用相位部分F(u，v)，此時(shí)假設(shè)振幅為常數(shù)，即F2=A*exp[j(F(u，v))]，對(duì)以上公式進(jìn)行變換，發(fā)現(xiàn)可以分辨輸入圖像的基本輪廓，再對(duì)F2進(jìn)行逆變換，發(fā)現(xiàn)圖像反轉(zhuǎn)了，我們把此現(xiàn)象稱為傅立葉變換的共軛特性。

(1)、(3)通過以上操作，對(duì)傅立葉變換的處理步驟總結(jié)如下：

第一步：將原始圖像導(dǎo)入軟件中；

第二步：利用傅立葉將原始圖像變換，觀察變換幅值的變化；

第三步：在補(bǔ)零區(qū)域輸入?yún)^(qū)域大小A和B進(jìn)行補(bǔ)零操作，觀察結(jié)果；

第四步：利用移位操作進(jìn)行變換，觀察結(jié)果；

第五步：對(duì)圖像進(jìn)行傅立葉變換，觀察相位譜的變化；

第六步：利用移位操作后的幅值圖像進(jìn)行反變換，觀察結(jié)果；

第七步：利用圖像傅立葉變換操作后的相位譜圖像進(jìn)行反變換，觀察結(jié)果；

第八步：利用復(fù)共軛的傅立葉反變換，觀察結(jié)果。

總之，傳統(tǒng)的傅立葉變換算法存在分辨率低和零頻率分量顯示區(qū)域不在圖像中央的問題，通過新的傅立葉變換算法后，在我們通過補(bǔ)零操作，改變圖像顯示象限和移位操作手段后可以提高變換后的幅值圖像的分辨率，得到比較理想的效果。

[1]英英.基于MATLAB的圖形圖像處理系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)，內(nèi)蒙古大學(xué)，2013.

[2]梁原.基于MATLAB的數(shù)字圖像處理系統(tǒng)研究，長(zhǎng)春理工大學(xué)，2008.

[3]曠尤毓.基于ARM和DSP的火災(zāi)預(yù)警系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)，湖南大學(xué)，2008.