方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的有效滲透

（河北省辛集市和睦井學(xué)區(qū)大士莊中學(xué)052360）

方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的有效滲透

陳運(yùn)達(dá)（河北省辛集市和睦井學(xué)區(qū)大士莊中學(xué)052360）

方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在代數(shù)、幾何甚至是其他學(xué)科中被廣泛應(yīng)用，掌握方程思想對(duì)于提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力有很大的幫助。只有將正確簡(jiǎn)潔的方程思想通過一定的模式，逐步地滲透到學(xué)習(xí)過程中，不斷地解決學(xué)習(xí)中遇到的問題，積累經(jīng)驗(yàn)，才能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)方程思想的領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用。

方程思想轉(zhuǎn)化形式等量關(guān)系

中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)既要重視數(shù)學(xué)方法，又應(yīng)該重視數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)會(huì)。方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)思想，除了在代數(shù)、幾何中廣泛的應(yīng)用外，還滲透到物理、化學(xué)等學(xué)科，掌握方程思想不僅能夠幫助學(xué)生更好的理解中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，還能夠?qū)W(xué)生自主的學(xué)習(xí)探索起到重要的作用。

一、方程思想理解

方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程，不等式，方程組等），然后通過解方程（組）或不等式（組）來呈現(xiàn)問題，這就是方程思想，方程思想的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵就是轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型（找數(shù)量關(guān)系：實(shí)質(zhì)是將文字形式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式的形式）達(dá)到對(duì)問題的有效求解。轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型成為方程思想的關(guān)鍵。

二、方程思想在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中逐步有效的滲透展開

（一）方程思想解題的基本步驟。

1.弄清問題。主要目標(biāo)：梳理已知，問題是什么，并設(shè)定問題或想知道的量為X（用字母來表示代替）。

2.表示新的已知量。主要目標(biāo)：用X和題目中的已知量?jī)蓛山Y(jié)合，表示出含有X的新量（利用常用的關(guān)系式或數(shù)學(xué)依據(jù)：如路程關(guān)系式等）。

3.轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型的形式。主要目標(biāo)：將題目的文字形式轉(zhuǎn)化為圖表或式子的形式（本過程應(yīng)該寫為一種等式的形式）。

4.代入換元。主要目標(biāo)：用第2步得到的含有X的量，代入3中的關(guān)系式中，替換對(duì)應(yīng)量，使3的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為一種含有X的方程或不等式。

5.求解方程或不等式。

（二）方程思想解題的正確理解

方程思想是通過將題目中的未知量或希望知道但不知道的量用字母加以表示，然后通過等量關(guān)系將某些量聯(lián)系在一起，它突出的是一種“找”等量為方向的思考。換個(gè)角度理解：方程沒有經(jīng)過任何運(yùn)算，只是從不同角度利用不同形式闡述事實(shí)，方程只是在說明事實(shí)不同形式是等價(jià)的。

（三）下面結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行方程思想解題的具體步驟

如人教版七年級(jí)上冊(cè)課本100頁例1：

【例1】某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個(gè)螺釘或2000個(gè)螺母，1個(gè)螺釘需要配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？

1.弄清問題。從已知中能得到什么信息（已知條件）：（1）工人總數(shù)；（2）生產(chǎn)螺釘和螺母的工作效率；（3）螺母和螺釘?shù)臄?shù)量關(guān)系（螺母的數(shù)量是螺釘數(shù)量的2倍）；（4）求生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的工人人數(shù)各為多少？（設(shè)定問題中生產(chǎn)螺釘?shù)墓と藬?shù)為X人）

2.表示其他的量：用X與題目中的已知量?jī)蓛山Y(jié)合。（1）X與22名工人結(jié)合可得到：22－X（生產(chǎn)螺母的人數(shù)）；（2）X與1200人結(jié)合得：1200X（生產(chǎn)螺釘?shù)目倲?shù)）；（3）X與2000無法結(jié)合；（4）（22－X）可以和2000結(jié)合得：2000（22－X）螺母的數(shù)量。

3.轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型形式：將文字形式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式的形式：1式：生產(chǎn)螺釘?shù)娜藬?shù)＋生產(chǎn)螺母的人數(shù)＝22（第一句話）

2式：生產(chǎn)螺釘?shù)膫€(gè)數(shù)＝生產(chǎn)螺釘人數(shù)×1200（第二句話）

3式：生產(chǎn)螺母的個(gè)數(shù)＝生產(chǎn)螺母的人數(shù)× 2000（第三句話）

4式：螺母的個(gè)數(shù)＝螺釘個(gè)數(shù)×2（第四句話）

4.代入換元：以4式為模板，將2式和3式分別代入4式便得到：

生產(chǎn)螺母的人數(shù)×2000＝生產(chǎn)螺釘人數(shù)× 1200×2，整理后方程得：（22－X）2000＝2×1200X

5.求解方程或不等式。

這樣的過程很容易在學(xué)生的頭腦中形成一定的模式結(jié)構(gòu)，運(yùn)用方程思想解題可將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，方向明確，操作簡(jiǎn)便。

三、方程思想有效的展開時(shí)注意的問題

（一）設(shè)定的那個(gè)量用字母表示

未知量的設(shè)定在方程使用中非常重要，未知數(shù)設(shè)定得當(dāng)，解決問題時(shí)就簡(jiǎn)單，如果未知量設(shè)定不當(dāng)，問題的解決就會(huì)變得復(fù)雜甚至無解。學(xué)生剛接觸方程時(shí)，一般遵循“問題是什么設(shè)什么”，但是隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷深入，設(shè)定技巧非常重要。例如，當(dāng)題目中涉及倍量時(shí)，可以設(shè)定該倍量為X；當(dāng)題目中涉及多個(gè)量時(shí)（如等差數(shù)列問題），可以設(shè)定中間量為X較為適宜，學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，未知量設(shè)定力求多樣化。

（二）如何確定等量關(guān)系

確定等量關(guān)系時(shí)，可將題目中的已知轉(zhuǎn)化為關(guān)系式的形式，但有時(shí)需根據(jù)題意找到隱含的等量條件，如：例題中螺母的數(shù)量是螺釘數(shù)量的2倍，需要學(xué)生去發(fā)現(xiàn)。

四、如何使學(xué)生有效的加深方程思想理解

1．方程思想的實(shí)質(zhì)是不同形式的轉(zhuǎn)化（從數(shù)學(xué)語言形式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式的形式），學(xué)生要有意識(shí)的練習(xí)把各種數(shù)量用適當(dāng)?shù)淖帜竵肀硎?，并把?shù)及字母用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)連接起來，從而將文字的形式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式的形式。

2．教學(xué)過程中充分利用教材中的例題，鼓勵(lì)學(xué)生挖掘題目中的隱含條件，并且要求學(xué)生一題多解，開闊思路，方程法是學(xué)生的必選，讓學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)方程并建立數(shù)學(xué)模型。

3．在教學(xué)過程中強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于由數(shù)學(xué)語言形式向關(guān)系式形式轉(zhuǎn)化的方法：合理利用文字等式、圖形、表格，理清題目中的量與量的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化形式。

（1）文字和關(guān)系式形式的轉(zhuǎn)化：甲數(shù)是乙數(shù)的3倍：甲數(shù)=乙數(shù)×3“是”相當(dāng)于等號(hào)；方程思想是將數(shù)量等式抽象出來，利用關(guān)系式將字母、文字，數(shù)字用運(yùn)算符號(hào)加以連接。

（2）數(shù)形結(jié)合法，利用數(shù)形結(jié)合可以將一些抽象的問題形象化，使思路更加開闊。在將數(shù)學(xué)語言形式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式形式之前，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將語言形式轉(zhuǎn)化為圖形的形式，如路程問題、數(shù)軸問題等。

新課程呼喚每位教師從根本上改變教學(xué)方法，循序漸進(jìn)地強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想的教與學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的方法的意識(shí)和能力，功在當(dāng)代，利在千秋。

（責(zé)編 趙建榮）