淺談“由此及彼”的解題策略

蔡蘭花

【摘 要】小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習中“由此及彼”的解題策略，有助于讓學(xué)生解題思考化繁為簡，化隱為顯，化難為易，化未知為已知，化一般為特殊，化抽象為具體，由表及里。本文試圖從創(chuàng)“情”設(shè)“境”、循“斑”捕“豹”、觸“數(shù)”思“形”、引“思”論“證”等四個方面來加以描述。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);解題策略;由此及彼

“由此及彼”是指由這一現(xiàn)象聯(lián)系到那一現(xiàn)象。數(shù)學(xué)解題的思考過程實質(zhì)上是已知和未知間的一系列的聯(lián)想過程。所謂“由此及彼”的解題策略，就是以聯(lián)想為中介，進行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，探求解題思路，由表及里地思考問題的一種方法。在解題時，通過仔細的觀察、分析，由問題的條件聯(lián)想到與其有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，建立條件與求解目標間的聯(lián)系，有助于讓學(xué)生解題思考化繁為簡，化隱為顯，化難為易，化未知為已知，化一般為特殊，化抽象為具體，由表及里。美國教育心理學(xué)家和教育家布魯納指出，掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶，領(lǐng)會基本的數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的“光明之路”，數(shù)學(xué)思想包括的范圍極廣，而且自身也在不斷地發(fā)展著。所以，本文就其衍生出的“由此及彼”的解題策略作一探討，嘗試將小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究提高到一個新的層次。

一、創(chuàng)“情”設(shè)“境”——千朵萬朵壓枝低

情境之于知識，猶如湯之于鹽。鹽需溶入湯中，才能被吸收;知識需要溶入情境之中，才能顯示出活力和美感。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)“千朵萬朵壓枝低”的情境，一個個數(shù)學(xué)問題“節(jié)外生枝”，可以把理性的傳授與聲、色、形等融為一體，激發(fā)學(xué)生學(xué)習的興趣，形成生動、活潑、高效的課堂教學(xué)情境，促進學(xué)生潛能的發(fā)揮和教學(xué)效益的提高。

例如，教學(xué)“認識負數(shù)”（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊），在解決實際問題的時候，教師發(fā)現(xiàn)了學(xué)生“某地今天上午的氣溫是-4℃，下午的氣溫是5℃，上午和下午的氣溫相差1℃”的典型錯誤。為什么會有這樣的問題存在呢？教材讓學(xué)生在豐富的顯示情境中體會負數(shù)的含義后，出現(xiàn)了數(shù)軸，這是一個關(guān)鍵。教師嘗試著將數(shù)軸與現(xiàn)實問題結(jié)合起來，由此及彼來解決實際問題。第一步：心中有一把“尺”，這把尺就是一個數(shù)軸;第二步：確定基準點。根據(jù)實際的情境確定每個數(shù)在這把“尺”上的位置;第三步：根據(jù)問題思考解決的方法。也就是在引導(dǎo)學(xué)生解決實際問題的時候，試圖將實際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形，借助圖形有效的解決問題。經(jīng)過訓(xùn)練，大部分學(xué)生基本掌握方法，能有效解決問題：“某地今天上午的氣溫是-4℃，下午的氣溫是5℃，上午和下午的氣溫相差9℃”。

二、循“斑”捕“豹”——千樹萬樹梨花開

小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的很多問題都有其深刻的背景，或為某一般性結(jié)論的特殊情形，或蘊含著某種規(guī)律、方法等。教學(xué)中教師若能善于組織學(xué)生循“斑”捕“豹”，就能為學(xué)生嘗試創(chuàng)造性的學(xué)習構(gòu)筑平臺，就讓學(xué)生在更深的層次上，更高的觀點下加深對問題“千樹萬樹梨花開”的理解。數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)的意義在于：教師在引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地“學(xué)”的同時，克服平常定式思維的局限，找出新的規(guī)律及方法，激勵學(xué)生探討問題，加強學(xué)生學(xué)習的靈活性、開拓性及創(chuàng)造性。

例如，一個等腰三角形，它的某一個內(nèi)角的度數(shù)相當于另一個內(nèi)角度數(shù)的1/2，這個等腰三角形的頂角是多少度？學(xué)生解答這道題目時匯報出來的答案不同。這時教師可以讓學(xué)生采取小組合作學(xué)習，通過有意義的協(xié)商和資源共享，學(xué)生在討論中相互補充，相互受到啟發(fā)，生成新的知識，明白了題目中“它的某一個內(nèi)角的度數(shù)相當于另一個內(nèi)角度數(shù)的1/2”并沒有明確指出究竟是頂角與底角相比，還是底角與頂角相比？因此就可能出現(xiàn)以下兩種情況：頂角的度數(shù)相當于底角的1/2，這時三角形三個內(nèi)角的度數(shù)比是1∶2∶2。1+2+2=5，頂角的度數(shù)為：180×1/5=36（度）;底角的度數(shù)相當于頂角的1/2，這時三角形三個內(nèi)角的度數(shù)比是2∶1∶1，2+1+1=4，頂角的度數(shù)則為：180×2/4=90（度）。

三、觸“數(shù)”思“形”——千磨萬擊還堅勁

從某種意義上說，由此及彼的解題策略也是數(shù)形結(jié)合思想的一種重要體現(xiàn)。而數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)習中的重要性誠如著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時少直觀，形離數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”。由此及彼也正是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，依據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題“千磨萬擊還堅勁”得到解決。

例如，學(xué)習用“數(shù)對”表示“位置”（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊）時，將“座位”平面圖抽象為比較形象的“直角坐標系”，建立“數(shù)對”與平面上“點”之間的一一對應(yīng)關(guān)系，可以用一對有順序的“數(shù)”來唯一地確定平面上的一個“點”，數(shù)與形由此及彼結(jié)合。有對直角坐標系的初步認識，學(xué)生在學(xué)習“正、反比例關(guān)系”（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊）時，就可以把具有這種關(guān)系的兩個量在直角坐標系中“表示”出來，實際上就是正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，借助于形象的圖象，來深入理解抽象的函數(shù)關(guān)系，直觀感知兩個量的相依相存關(guān)系，當成正比例關(guān)系時，一個量增加另一個量也隨著增加，并且是線性增加;當成反比例關(guān)系時，一個量增加，另一個量反而減少，根據(jù)圖象可以直觀地看出兩個量變化的極限狀態(tài)，一個量趨于無窮，另一個量趨于零，等等。

四、引“思”論“證”——千錘萬鑿出深山

（下轉(zhuǎn)第12頁）

（上接第11頁）

教師通過培養(yǎng)學(xué)生有序的觀察習慣，由此及彼，引“思”論“證”，能夠同中見異，異中見同，系統(tǒng)中見聯(lián)系，變化中見不變，透過現(xiàn)象看本質(zhì)。教師可用懷疑的目光、挑動的語言引思論證小學(xué)數(shù)學(xué)課本中一些未給出嚴格證明或直接認定的定理、公式、定義，以引導(dǎo)學(xué)生課后思考、論證，培養(yǎng)他們善于在數(shù)學(xué)學(xué)習中自我總結(jié)，以達到“千錘萬鑿出深山”的化境。

例如，教學(xué)“找12和18的最大公因數(shù)”（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊）時，教材直接呈現(xiàn)了找公因數(shù)的一般方法：先用想乘法算式的方式分別找12和18的因數(shù)，分別寫出12和18的因數(shù)，再找出公有的因數(shù)和最大公因數(shù)。在此基礎(chǔ)上，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生討論其他的方法，如求24和36的最大公因數(shù)，因為36-24=12，12能夠同時整除24和36，所以12就是它們的最大公因數(shù)。這里，教師運用了一條全新的定理：“如果兩個非零的不相等的自然數(shù)的差能夠同時整除它們，這個差就是它們的最大公因數(shù)。”學(xué)生覺得新鮮之余屢試不爽，如求50和75的最大公因數(shù)，因為75-50=25，25能夠同時整除50和75，所以25就是它們的最大公因數(shù)?！罢易钚」稊?shù)”時，除了教材介紹的一般方法，還可以用“翻倍”法，如求24和36的最小公倍數(shù)，用較大數(shù)36乘2倍得到72，因為72能夠被24整除，所以72就是24和36的最小公倍數(shù)，等等。

小學(xué)數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系十分緊密，每個新知識建立在舊知識的基礎(chǔ)上，而新知識是舊知識的延伸和發(fā)展，它們內(nèi)在的共同因素為學(xué)生掌握新知識架起了橋梁，因此，教學(xué)中教師要注意充分利用新舊知識的連接點，促使學(xué)生融匯貫通，由未知轉(zhuǎn)化為已知，才能達到由此及彼、由里及外的訓(xùn)練效果。

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（作者單位：福建省漳浦縣實驗小學(xué)）