對一道高考題解法的思考—從2014廣東高考理科21題談起

廣東省大埔縣虎山中學(xué) 張俊暢

2014廣東高考（理科）21題試題看似常規(guī)，但解法多樣靈活，注重對數(shù)學(xué)思想和方法的考察，請看此題第二問的其中一種解法，并談?wù)剬Υ私夥ǖ囊恍┧伎肌?/p>

題目：

（1）求函數(shù)f(x)的定義域D（用區(qū)間表示）；

（2）討論函數(shù)f(x)在D上的單調(diào)性；

（3）若k＜-6，求D上滿足條件f(x)＞f(1)的x的集合（用區(qū)間表示）。

分析：（2）由（1）可知函數(shù)f(x)的定義域D為：

在同一直角坐標(biāo)系中畫出g(x)與h(x)的圖像，如下圖所示：

由上圖可知在(-∞,x1)，g(x)＞0,h(x)＞0且g(x),h(x)都為減函數(shù)，∴g(x)·h(x)為減函數(shù)，從而f(x)為增函數(shù)；在(x3,-1)，g(x)＜0,f(x)＜0且g(x),h(x)都為減函數(shù)∴g(x)·h(x)為增函數(shù)，從而f(x)為減函數(shù)；在(-1,x4)，g(x)＜0,f(x)＜0且g(x),h(x)都為增函數(shù)∴g(x)·h(x)為減函數(shù)，從而f(x)為增函數(shù)；在(x2,+∞)，g(x)＞0，f(x)＞0且g(x),f(x)都為增函數(shù)，∴g(x)·h(x)為增函數(shù)，從而f(x)為減函數(shù)，所以f(x)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，)單調(diào)遞減區(qū)間為，,-1),。

在此，我們就會思考：兩個單調(diào)的函數(shù)的積的單調(diào)性到底是怎樣的呢？依據(jù)又是什么？

下面將就此展開討論，從三個方面談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

1.影響兩個單調(diào)函數(shù)的乘積的單調(diào)性的可能因素

要想知道兩個單調(diào)函數(shù)的乘積的單調(diào)性，必須先明白影響兩個單調(diào)函數(shù)的乘積的單調(diào)性的可能因素。毫無疑問，這必然跟原函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，所以在探討兩個單調(diào)函數(shù)的乘積的單調(diào)情況之前，我們必須先知道原函數(shù)的單調(diào)情況。此外，由單調(diào)增函數(shù)（或者減函數(shù)）乘以一個負(fù)數(shù)，其單調(diào)性變?yōu)闇p（或者增），而單調(diào)增函數(shù)（或者減函數(shù)）乘以一個正數(shù)，其單調(diào)性仍為增（或者減），可以清楚的知道兩個單調(diào)函數(shù)相乘之后的單調(diào)性還跟原函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)性有關(guān)。

2.利用導(dǎo)數(shù)證明兩個單調(diào)函數(shù)的乘積的單調(diào)情況

我們可以知道[f(x)g(x)]ˊfˊ(x)g(x)+f(x)gˊ(x)，有了這個公式之后我們就可以利用求導(dǎo)法來判斷兩個單調(diào)函數(shù)的乘積的單調(diào)性，具體證明如下表。

第一種情況：當(dāng)函數(shù)f(x)的函數(shù)值為正值時

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)f(x) ↑+↑+↑+ ↑+ ↓+↓+ ↓+ ↓+g(x) ↑+↑-↓+ ↓- ↑+↑- ↓+ ↓-fˊ(x) + + + +----gˊ(x) + +-- + +--fˊ(x)g(x) +- +---- +f(x)gˊ(x) + +-- + +--[f(x)g(x)]ˊ+不確定不確定-不確定不確定-不確定f(x)g(x)↑不確定不確定↓不確定不確定↓不確定

第二種情況：當(dāng)函數(shù)f(x)的函數(shù)值為負(fù)值時

(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)f(x) ↑-↑-↑-↑-↓- ↓-↓- ↓-g(x) ↑+↑-↓+↓-↑+↑-↓+ ↓-fˊ(x) + + + +----gˊ(x) + +-- + +--fˊ(x)g(x) +- +-- +- +f(x)gˊ(x)-- + +-- + +[f(x)g(x)]ˊ不確定- +不確定-不確定不確定 +f(x)g(x)不確定↓↑不確定↓不確定不確定 ↑

3.舉例論證相關(guān)結(jié)論

情形（1）：設(shè)函數(shù)f(x)=x，g(x)=x2，且自變量x＞0，滿足條件：函數(shù)f(x)單調(diào)增加，且函數(shù)值為正，函數(shù)g(x)單調(diào)增加，且函數(shù)值為正；得f(x)g(x)=x3(x＞0)，易知當(dāng)x＞0時，函數(shù)f(x)g(x)=x3單調(diào)增加，成立。這種情況可以簡單的概括為：同增同正，得增。

情形（2）：第一種情況：設(shè)函數(shù)f(x)=x，g(x)=-x-1，且自變量x＞0，滿足條件：函數(shù)f(x)單調(diào)增加，且函數(shù)值為正，函數(shù)g(x)單調(diào)增加，且函數(shù)值為負(fù)；得f(x)g(x)=-1，為常數(shù)函數(shù)，不具備單調(diào)性。

第二種情況：設(shè)函數(shù)f(x)=x，g(x)=-x-2，且自變量x＞0，滿足條件：f(x)函數(shù)單調(diào)增加，且函數(shù)值為正，函數(shù)g(x)單調(diào)增加，且函數(shù)值為負(fù).得f(x)g(x)=-x-1，易知當(dāng)x＞0時，函數(shù)f(x)g(x)=-x-1單調(diào)增加。

第三種情況：設(shè)函數(shù)f(x)=x2，g(x)=-x-1，且自變量x＞0，滿足條件：函數(shù)f(x)單調(diào)增加，且函數(shù)值為正，函數(shù)f(x)單調(diào)增加，且函數(shù)值為負(fù)；得f(x)g(x)=-x，易知當(dāng)x＞0時，函數(shù)f(x)g(x)=-x單調(diào)減少。

從這三種情況來看，原函數(shù)同增，函數(shù)值異號時兩個單調(diào)函數(shù)的乘積的單調(diào)性不能確定，得到的函數(shù)可能是增函數(shù)，也可能是減函數(shù)，甚至可能是常數(shù)函數(shù)。

情形（3）：設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)=-x2，且自變量x＞0，滿足條件：函數(shù)f(x)單調(diào)增加，且函數(shù)值為正，函數(shù)g(x)單調(diào)減少，且函數(shù)值為負(fù).得f(x)g(x)=-x3(x＞0)，易知當(dāng)x＞0時，函數(shù)f(x)g(x)=-x3單調(diào)減少，成立. 這種情況可以簡單的概括為：一增一減，一正一負(fù)，單調(diào)性與函數(shù)值為負(fù)值的函數(shù)相同。

情形（4）：設(shè)函數(shù)f(x)=x-1，g(x)=x-2，且自變量x＞0，滿足條件：函數(shù)f(x)單調(diào)減少，且函數(shù)值為正，函數(shù)g(x)單調(diào)減少，且函數(shù)值為正.得f(x)g(x)=-x3(x＞0)，易知當(dāng)x＞0時，函數(shù)f(x)g(x)=-x3單調(diào)減少，成立. 這種情況可以簡單的概括為：同減同正，得減.

情形（5）：設(shè)函數(shù)f(x)=x-1，g(x)=x-2，且自變量x＞0，滿足條件函數(shù)f(x)單調(diào)增加，且函數(shù)值為負(fù)，函數(shù)g(x)單調(diào)增加，且函數(shù)值為負(fù). 得f(x)g(x)=-x3(x＞0)，易知當(dāng)時x＞0，函數(shù)單f(x)=x-3調(diào)減少，成立。這種情況可以簡單的概括為：同增同負(fù)，得減。

情形（6）：設(shè)函數(shù)f(x)=-x，g(x)=-x-2，且自變量x＞0，滿足條件：函數(shù)f(x)單調(diào)減少，且函數(shù)值為負(fù)，函數(shù)g(x)單調(diào)減少，且函數(shù)值為；得f(x)g(x)=x3(x＞0)，易知當(dāng)x＞0時，函數(shù)f(x)g(x)=x3單調(diào)增加，成立. 這種情況可以簡單的概括為：同減同負(fù)，得增。

根據(jù)上述多種情況的討論，我們可以得到以下六條結(jié)論：一是同增同正，得增；二是同增同負(fù)，得減；三是同減同正，得減；四是同減同負(fù)，得增；五是一增一減，一正一負(fù)，單調(diào)性與原函數(shù)中函數(shù)值為負(fù)的函數(shù)相同；六是其余情況，單調(diào)性不確定。