淺談三角函數解題技巧

湖南省邵陽市隆回縣萬和實驗學校 范才伍

一、三角知識的基礎性

1.對三角函數性質的考查

三角函數的性質主要包括;單調性、奇偶性、周期性、對稱性、有界性等性質，解答此類題型的一般技巧是先進行三角恒等變換，將函數化成y＝Asin(ωx＋ψ)+K的形式后，再把ωx＋ψ看成整體利用正弦函數的性質解題。關鍵是把ωx＋ψ看成整體。

例：設函數f(x) =sin(ωx+ φ) + c os(ωx+ φ)(ω ＞ 0),的最小正周期為π，且f(-x) =f(x)，則

A.f(x)在單調遞減

B.f(x)在單調遞減

C.f(x)在單調遞增

D.f(x)在單調遞增

精講精析：

2.對三角恒等變換的考查

變換是重要的數學方法與工具，三角恒等變換可以改變三角函數式的結構、形式，化簡三角函數式，以下是三角恒等變形基本策略，在進行三角變換時，必須考慮變換的目的、方向以及變換的依據與方法等。

一是三角恒等變形的突破口：常為對角的特征分析、對函數名稱進行分析、對冪指數進行分析等。

二是三角恒等變形的基本策略。

（1）化弦（切）法 。

（5）引入輔助角。

例：已知，求sin2θ-sinθ.cosθ+2cos2θ的值.

精講精析：

解：原式=

.

說明：利用齊次式的結構特點（如不具備，通過構造的辦法得到如上題的分母“1”的代換），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。

3.對三角函數的圖像和圖像變換的考查

（1）三角函數y＝Asin(ωx＋ψ)+K 的圖像的作法有五點作圖法和變換法作圖

五點作圖法的一般步驟：列表、描點、連線。

關鍵是把ωx＋ψ看成一個整體，取0、、π、、2π五個值列表。

變換法作圖的一般步驟：

將y＝sinx的圖像

由函數y=Α s in(ωx+ φ)+Β 的圖像求其解析式求法

技巧：由圖像觀察當x=x1時，取得最小值為ymin；當x=x2時，取得最大值為ymax，(x1與x2在一個周期內）則Α=(ymax-ymin)，Β=(y+y)，maxmin=x2-x1(x1＜x2)，ω=,；再把函數的零點或最值點坐標代入解析式，解三角方程可得φ的值。

二、三角知識的工具性

1.三角函數與解三角形的綜合問題

三角形中的三角函數問題，已經逐漸成為高考命題的一個熱點。它們的解決大都以三角函數的基本知識為基礎，以應用正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角公式為手段，考查轉化化歸能力，判斷求解能力，以及應用知識分析解決實際問題的能力。

(1)求sinB的值；(2)若b=4 2，且a=c，求 ?ABC面積。

精講精析：

即sinBc osC=3sinAc osB- sinCc osB，所以sin(B+C)=3sinAc osB，

又因為A+B+C=π，sin(B+C)=sinA，所以sinA=3sinAc osB，因為sinA≠0，所以，又0＜B＜π，所以。

法二留給讀者思考。

(2)在?ABC中，由余弦定理可得，又a=c，

所以有=32，即a2=24，所以?ABC的面積為S=。

方法提煉：在解決含有邊、角關系的三角形中的三角函數問題時，基本的解題思路有兩條，一是利用正弦定理與余弦定理把邊的關系都轉化為角的關系，通過三角恒等變換解決問題；二是利用正弦定理與余弦定理把角的關系都轉化為邊的關系，通過代數變換解決問題，但多數情況下是把邊的關系都轉化為角的關系，利用熟悉的三角變換公式解題。常用公式是正余弦公式。

2.三角函數與平面向量的綜合問題

例 ： 已 知a→＝(cosα,sin α),b→=(cosβ,sin β)，0＜ β ＜ α ＜π.(1)若,求證：;(2)設,若,求α,β的值.

思路點撥：題（1）應用求模公式可得，題（2）應用向量坐標相等公式解方程組即可。

精講精析：

技巧點撥：本題體現了三角函數問題與向量問題的等價轉化思想，而是實現向量與實數互化的依據和橋梁。

練習：已知向量

(1)若，求tanθ的值；（Ⅱ）若|a|=|b|，0＞θ＞π求θ的值。