建立不等式模型解決實際問題

湖北省秭歸縣沙鎮(zhèn)溪鎮(zhèn)初級中學 王祥平

下面兩例分別取材于實際生活的節(jié)水問題和個人收入所得稅的問題，它能通過建立恰當?shù)臄?shù)學模型使問題獲解，是考察建模能力的好題。但遺憾的是一些參考解答的建模不夠合理，甚至由于建模不合理出現(xiàn)解答錯誤的情況。本人認為此類應用題易建立不等式模型解之。

例1.為加強公民的節(jié)水意識，某城市制定了以下水費收費辦法：每戶每月用水未超過7立方米時，每立方米收費1.0元并加收0.2元的城市污水處理費；超過7立方米的部分每立方米收費1.5元并加收0.4元的城市污水處理費。設(shè)某戶每月用水量為x（立方米），應交水費y（元）。

（1）分別寫出用水未超過7立方米和超過7立方米是y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果某單位共有用戶50戶，某月共交水費541.6元，且每戶的用水量均未超過10立方米，求這個月用水未超過7立方米的用戶最多可能有多少戶？

解 ：（1）當0≤x≤7時，

y=1.2x(0≤x≤7)； ①

當x＞7時，

y=1.9(x-7)+8.4(x＞7).②

(2)設(shè)有x戶的用水量未超過7立方米，則有（50-x）戶的用水量超過7立方米但未超過10立方米，根據(jù)題意得：

8.4x+(5.7+8.4)(50-x)≥541.6

解得x≤28.67

所以x的最大整數(shù)解是x=28

故用水未超過7立方米的用戶最多為28戶。

說明其中式子8.4x表示x戶用水7立方米的水費，它應大于或等于x戶這個月的實際用水水費；式子(5.7+8.4)(50-x)則表示(50-x)戶用水10立方米的水費，同樣也應大于或等于(50-x)戶這個月的實際用水水費。

在有些參考解答中對第（2）題的解法是：

設(shè)有x戶用水未超過7立方米，那么要使x的取值最大，則這x戶用水應剛好為7立方米，而另外（50-x）戶用水量應盡可能大，不妨設(shè)為10立方米。依題意得

8.4x+(5.7+8.4)(50-x)=41.6

解得，x≈28.67

若x=29，此時交費的最大總額為298.4+21×14.1=537.9＜541.6.所以取x=28.

在這個解答中，“要使x的取值最大，則這x戶用水應剛好為7立方米，而另外（50-x）戶用水量應盡可能大，不妨設(shè)為10立方米”使人很難看懂；在建立方程解出x≈28.67后，如何取近似值？為什么要對x=29進行試驗，而x=28不需檢驗，也讓同學們感到難以把握。此題在“未超過7立方米”“未超過10立方米”及“求最多可能有多少戶”等諸多信息的提示下很容易聯(lián)想到建立不等式模型去解。事實上建立不等式模型去解，就可以克服以上弊端。

例2.《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定個，公民全月工資，薪金所得不超過1600元的部分不必納稅，超過1600元的部分為全月應納稅所得稅，此項稅款按小表分段累計計算：_

（1）若某人3月份應交納此項稅款為115元，則他的當月工資薪金為多少？

（2）如果沙鎮(zhèn)溪初級中學共有教職工100人，某月交納稅款5000元，且每人的當月工資薪金都在超過1600元而不超過2500元之間，求當月工資薪金不超過2100元的教職工最多可能有多少人？

解：（1）設(shè)某人當月工資薪金為x元，

∵500×5%=25（元）

（2000-500）×10%=150（元）

（25+150）=175元＞115元

∴他的當月工資薪金應小于3600元而大于2100元。

500×5%+（x-2100）×10%=115

解得 x=3000

答：他當月工資薪金為3000元。

（2）設(shè)當月工資薪金不超過2100元的教職工有y人，則當月工資薪金超過2100

元但未超過2500元的教職工有（100-y）人，根據(jù)題意：

500×5%y+500×5%（100- y）+（2500-2100）×10%（100-y）≥5000

解得y≤37.5

∴y的最大整數(shù)解是y=37

答：當月工資薪金不超過2100元的教職工最多可能有37人。

從以上兩例可以看出當問題中出現(xiàn)“不超過”“最多”“至少”等關(guān)鍵詞的實際應用題，可考慮建立不等式的數(shù)學模型解之。