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    淺談夯實(shí)基礎(chǔ)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)

    2015-07-12 07:23:54吳靈喜
    新課程(中學(xué)) 2015年10期
    關(guān)鍵詞:準(zhǔn)線垂線圓心

    吳靈喜

    (浙江省蘭溪第三中學(xué))

    圓錐曲線在數(shù)學(xué)上是一個(gè)非常重要的幾何模型,有很多幾何性質(zhì),這些重要的幾何性質(zhì)在日常生活、社會(huì)生產(chǎn)及其他科學(xué)中都有著重要而廣泛的應(yīng)用,并且學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容對(duì)于提高自身的素質(zhì)是非常重要的.其中拋物線是圓錐曲線中的重要的一類(lèi),在高考中有著重要的地位.特別地,在導(dǎo)數(shù)引入高中數(shù)學(xué),對(duì)拋物線的考查就更為頻繁.在學(xué)習(xí)了拋物線的定義以及拋物線的幾何性質(zhì)之后,為了更好地理解拋物線的定義,筆者從下面幾個(gè)方面進(jìn)行說(shuō)明.

    一、鞏固拋物線的定義

    1.到點(diǎn)A(1,1)的距離與到直線l:3x-4y+1=0 的距離相等的點(diǎn)的軌跡是 ( )

    A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線

    解析:粗看滿足拋物線的定義,再仔細(xì)一看,易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A∈l,點(diǎn)的軌跡為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 且垂直于直線l 的一條直線. 這有助于理解拋物線的定義——直線外的一點(diǎn).

    2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(2,0)且與直線l:x=-2 相切的動(dòng)圓的圓心M 的軌跡是 ( )

    A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線

    解析:由圓的性質(zhì)及直線與圓相切的性質(zhì)可知,圓心到切線的距離等于半徑,又點(diǎn)F 在圓M 上:即圓心M 到定點(diǎn)F 的距離等于到定直線l 的距離,滿足拋物線的定義,所以動(dòng)圓心M 的軌跡是拋物線.

    變式1:到點(diǎn)F(2,0)的距離比到直線l:x=-1 的距離大1 的點(diǎn)的軌跡是 ( )

    A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

    解析:把直線l 向左平移一個(gè)單位,可以轉(zhuǎn)化為l′∶x=-2,到定點(diǎn)F(2,0)的距離等于到定直線l′:x=-2 的距離,滿足拋物線的定義。

    軌跡為 ( )

    A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

    解析:等式可化為:

    根據(jù)兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離公式可得,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(2,0)的距離等于到定直線l:3x+4y-2=0 的距離,滿足拋物線的定義(不是我們所熟悉的標(biāo)準(zhǔn)條件下的拋物線).

    二、拋物線定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用

    1.求焦點(diǎn)在x 軸上,且拋物線上一點(diǎn)A(3,m)到焦點(diǎn)的距離為5 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

    解析:根據(jù)題意,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px(p>0),如果運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式,待定系數(shù)法聯(lián)立方程組解得,運(yùn)算量較大.所以可根據(jù)拋物線的定義,拋物線上的點(diǎn)A 到準(zhǔn)線:x=-p/2 的距離等于5,可得到p 的值,從而求得拋物線的方程.

    2.已知拋物線y2=2x 的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)P 在拋物線上,有一定點(diǎn)A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P 的坐標(biāo).

    解析:由定義可知,拋物線上的點(diǎn)P 到焦點(diǎn)F 的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l 的距離d,所以求|PA|+|PF|的最小值,轉(zhuǎn)化為求|PA|+d 的最小值,由點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的連線中垂線段最短可得,過(guò)點(diǎn)A 作準(zhǔn)線的垂線,垂線段長(zhǎng)即為所求的最小值,該垂線與拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.

    變式:已知拋物線y2=2x 的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)P 在拋物線上,有一定點(diǎn)A(2,3),點(diǎn)P 到y(tǒng) 軸的距離為d,求|PA|+d 的最小值.

    解析:P 到y(tǒng) 軸的距離,可以延長(zhǎng)到準(zhǔn)線的距離,再根據(jù)拋物線的定義,轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離,即(|AP|+|PF|)-1/2 的最小值,當(dāng)A、P、F 三點(diǎn)共線時(shí)取最小值.

    3.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線為l,過(guò)點(diǎn)F 的弦AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線l 的位置關(guān)系 .

    解析:過(guò)點(diǎn)A,B 分別作準(zhǔn)線l 的垂線,垂足分別是A1,B1,取AB 的中點(diǎn)為C,過(guò)C 作準(zhǔn)線l 的垂線,垂足為C1,由拋物線的定義可知:|BB1|=|BF|,|FA|=|AA1|.

    ∴|AB|=|AA1|+|BB1|.

    ∵CC1是梯形ABB1A1的中位線.

    ∴2|CC1|=|AA1|+|BB1|.

    ∴|AB|=2|CC1|,即圓心C 到準(zhǔn)線的距離等于半徑.

    ∴以AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線l 相切.

    變式:已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線為l,過(guò)點(diǎn)F的弦AB,作AA1⊥l,BB1⊥l,垂足為A1,B1,求證:A1F⊥B1F.

    解析:在△AA1F 和△BB1F 中,根據(jù)拋物線的定義可知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,

    ∴2∠A1FA+∠A1AF=180°,

    2∠B1FB+∠B1BF=180°,AA1∥BB1,

    ∴∠A1AF+∠B1BF=180°,

    ∴∠A1FA+∠B1FB=90°,

    ∴∠A1FB1=90°,即A1F⊥B1F.

    4.已知AB 是拋物線y=x2上的動(dòng)弦,且|AB|=a(a 為常數(shù)且a>1),求弦AB 的中點(diǎn)M 的縱坐標(biāo)的最小值.

    連接AF,BF,在△ABF 中,|AF|+|BF|≥|AB|=a,當(dāng)且僅當(dāng)AB 經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F 時(shí)取“=”.

    根據(jù)拋物線的定義可知:|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,

    5.如下圖,過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F 的直線l 交拋物線于點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程是( )

    解析:過(guò)A,B 分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足為A1,B1,準(zhǔn)線與x 軸相交于點(diǎn)K,則|BF|=|BB1|.

    ∵|BC|=2|BF|,∴|CB|=2|BB1|,∴∠B1CB=30°,

    ∴|AC|=2|A1A|=2|AF|=6,

    ∴F 為AC 的中點(diǎn).

    ∴拋物線的方程為y2=3x.

    通過(guò)以上幾個(gè)例子,讓我們能夠進(jìn)一步理解拋物線的定義,能更好地解決與拋物線有關(guān)的焦半徑問(wèn)題和焦點(diǎn)弦問(wèn)題,解決有關(guān)拋物線的最值問(wèn)題和定點(diǎn)、定值問(wèn)題.重視概念的理解是掌握基礎(chǔ)知識(shí)的第一步,是發(fā)展學(xué)生基本技能,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、思維能力、邏輯推理能力和分析解決問(wèn)題的能力的基礎(chǔ),是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ).

    任志鴻.高中同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練:數(shù)學(xué)[M].人民教育出版社,2012-09.

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