外界載荷對圓柱渦激振動能量轉(zhuǎn)換的影響

王軍雷，冉景煜，張智恩，張 力，蒲 舸，丁 林

（重慶大學(xué) 低品位能源利用技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗室，重慶400044）

近年來，收集流體中微弱流動能是國內(nèi)外廣泛關(guān)注的熱點(diǎn).微小型風(fēng)力收集裝置能夠在無人環(huán)境下將風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能并加以儲存，同時具有體積小、持久性好以及可無人操控等特點(diǎn)，克服了大型風(fēng)力裝置的局限性，在環(huán)境保護(hù)、建筑安全以及交通系統(tǒng)中具有很高的實(shí)際應(yīng)用價值.相比傳統(tǒng)風(fēng)力發(fā)電裝置，壓電懸臂梁流致振動能量收集器不需要復(fù)雜的結(jié)構(gòu)、安裝方便，且能量密度和功率譜密度相對較高.近年來，利用壓電材料從渦激振動中收集能量的研 究工作 得 以 廣 泛 開 展［1-3］.Allen等［4］設(shè) 計 了“eel（鰻魚）”能量收集器，但是未給出具體發(fā)電效率和發(fā)電功率的計算方法.Taylor等［5］使用鰻魚結(jié)構(gòu)，模擬了壓電結(jié)構(gòu)與流場的耦合作用，但是沒有給出輸出電壓和功率的計算方法.Kwon［6］采用多組鋯鈦酸鉛（PbZrTi，PZT）安裝在T 型結(jié)構(gòu)上的能量收集方式，在15m／s的最高風(fēng)速下獲得4mW的輸出功率.在壓電能量收集理論研究方面，Mehmood等［7］使用機(jī)電耦合方法得出壓電懸臂梁的能量收集能力與懸臂梁的振幅有關(guān).Zhu等［8］針對壓電能量收集裝置（piezoelectric energy harvesting device，PEHD）的發(fā)電工作效率，通過對比三維及二維本構(gòu)方程，得出懸臂梁發(fā)電模型的二維模型具有適用性，實(shí)現(xiàn)了數(shù)值模擬的降維.

渦激振動是一種流固交替耦合的自激振動過程.當(dāng)旋渦脫落頻率和結(jié)構(gòu)固有頻率相近時，會發(fā)生“鎖定”現(xiàn)象［9］，振動振幅顯著增大.Anagnostopoulos等［10］發(fā)現(xiàn)中等雷諾數(shù)下圓柱繞流渦激振動存在3個分支.在上支階段，流速較低時，自振頻率較小，此時自振頻率逐漸接近圓柱自身固有頻率，振幅逐漸增大，表現(xiàn)出“拍”現(xiàn)象，可視為過渡段；在鎖定階段，自振頻率與固有頻率發(fā)生耦合同步現(xiàn)象，振幅顯著增大，振動能與自振頻率較高；在下支階段，出現(xiàn)與上支類似的運(yùn)動規(guī)律，但與上支不同的是，此時圓柱的振幅較小，自振主頻率增大并逐漸解除與固有頻率的耦合作用.利用“鎖定”時系統(tǒng)振動能較大的特點(diǎn)，Bernitsas等［11-12］提出了一種海洋清潔能源收集裝置（vortex-induced vibration aquatic clean energy，VIVACE），并在此基礎(chǔ)上利用計算流體力學(xué)（CFD）技術(shù)［13-14］對其進(jìn)行能量收集評估，從而實(shí)現(xiàn)利用渦激振動原理收集海洋流動能，并給出海洋流動能收集的表達(dá)式［12］：

式中：P 為功率，ρ為流體密度，Cy為柱體表面升力，fo為自振頻率，ym為振動振幅，D 為圓柱直徑，L為圓柱體的長度，φ 為相位角.從式（1）可以看出，系統(tǒng)的輸出功率與圓柱的振動振幅有著直接關(guān)系.Wu等［13-14］利用OpenFOAM 針對單圓柱和多圓柱的渦激振動問題開發(fā)了求解器.Molino-Minero-Re等［15］提出了一種可用于在水槽中收集渦激振動能的旗幟狀柔性結(jié)構(gòu)，并指出輸出功率與振幅呈正比.

上述研究大多未充分解決流體-結(jié)構(gòu)-電路（流-固-電）三相耦合的問題，并認(rèn)為系統(tǒng)輸出功率與振動振幅成正比關(guān)系.而渦激振動能量收集回路是通過加入載荷實(shí)現(xiàn)利用電路載荷進(jìn)行能量收集，外界載荷對渦激振動系統(tǒng)具有負(fù)反饋?zhàn)饔?，因此必須考慮電路與渦激振動的機(jī)電耦合效應(yīng).解決三相耦合問題的關(guān)鍵在于計算外界載荷對系統(tǒng)能量輸出的影響.

本研究通過在Matlab，中使用矩陣法計算載荷對渦激振動系統(tǒng)阻尼和固有頻率的影響，計算出電壓輸出的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)解，并以上述結(jié)果為基礎(chǔ)利用OpenFOAM 平臺計算圓柱渦激振動質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)流固耦合響應(yīng).重點(diǎn)研究外界載荷對渦激振動系統(tǒng)振幅、電壓輸出以及功率輸出性能的影響，為渦激振動的能量收集提供理論基礎(chǔ).

1 物理模型

1.1 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

為描述渦激振動能量轉(zhuǎn)換模型中的剛性圓柱運(yùn)動，取物理模型如圖1（a）所示，在圓柱兩端使用2根細(xì)長的PZT 壓電薄片進(jìn)行支撐，將帶有電阻的電路連接到PZT 壓電懸臂梁上用于收集電荷.忽略圓柱橫向振動時壓電片的旋轉(zhuǎn)自由度，近似為二維單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼（M-C-K）系統(tǒng)，如圖1（b）所示.其中M 為系統(tǒng)質(zhì)量，C 為系統(tǒng)阻尼，K 為系統(tǒng)的彈簧剛度，無量綱來流速度取折合速度（reduced velocity）Ur＝U／（ωn·D）［9］，其中U 為來流風(fēng)速，ωn為圓柱的固有頻率，D 為圓柱直徑.

1.2 網(wǎng)格劃分與邊界條件

本研究采用的流體計算域大小為50D×50D，圓柱位于流場正中心.邊界條件為速度進(jìn)口，壓力出口，壁面采用無滑移邊界條件.計算區(qū)域上下邊界距離圓柱足夠遠(yuǎn)，邊界對柱體周圍流場的影響可以忽略［16］，因此上下邊界采用與進(jìn)口相同的邊界條件，從而保證流場流動的均勻性.控制邊界為

式中：Ω 為流固耦合面的外表面，V 為柱體的移動速度，VΩ為流固耦合面的移動速度.在流固耦合計算過程中，柱體在流場邊界范圍中上下移動.

圖1 能量收集系統(tǒng)與振動系統(tǒng)Fig.1 Energy harvesting system and vibrating system

在計算渦激振動時，動網(wǎng)格的處理是影響計算效率及計算精度的重要因素之一.當(dāng)渦激振動發(fā)生時，圓柱上下移動.同時，如圖2所示，計算區(qū)域網(wǎng)格隨圓柱發(fā)生整體運(yùn)動，克服了傳統(tǒng)動網(wǎng)格的網(wǎng)格扭曲及變形的問題，從而提高計算效率和計算精度.采用Gambit生成四邊形網(wǎng)格，并在Re＝150時采用3種不同網(wǎng)格進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性驗證，結(jié)果如表1 所示，其中CL、CD、St分別為升力系數(shù)，阻力系數(shù)和斯特勞哈爾數(shù).從表1可以看出，3種網(wǎng)格的計算結(jié)果較為吻合，因此選取網(wǎng)格密度為中等的網(wǎng)格來保證網(wǎng)格計算具有無關(guān)性.

表1 網(wǎng)格無關(guān)性驗證（Re＝150）Tab.1 Neutrality authentication of meshes（Re＝150）

2 數(shù)學(xué)模型

為計算圓柱繞流外流場、渦激振動和電路回路3種不同量場的耦合過程，使用Navier-Stokes方程描述外界流場的流動，使用二階范德波爾方程描述單自由度M-C-K系統(tǒng)的渦激振動過程，最后使用高斯定律與振動方程的耦合形式描述機(jī)電耦合系統(tǒng).

圖2 計算所用網(wǎng)格示意圖Fig.2 Schematic diagram of computational mesh

2.1 流固耦合模型

2.1.1 流動控制方程 圓柱繞流外部流場使用連續(xù)性方程和Navier-Stokes方程進(jìn)行計算：

式中，p 為壓強(qiáng)，ρ為流體密度，Vi為流體速度矢量，τij為應(yīng)力張量，Skk為應(yīng)變率張量.

2.1.2 單自由度范德波爾振動方程 單自由度MC-K系統(tǒng)的運(yùn)動控制方程由二階范德波爾方程表示：

M、K、C 存在以下關(guān)系：

式中，F(xiàn)y為垂直于來流方向的單位體積的流場力，ξ為無量綱阻尼比，y 表示柱體的振動位移，˙y和¨y分別表示位移的一、二階導(dǎo)數(shù).將范德波爾方程與流體控制方程在求解器中同時求解，可以得到圓柱的動態(tài)振動響應(yīng).

2.2 機(jī)電耦合模型

2.2.1 阻尼及固有頻率求解 為了描述渦激振動電路中振幅與電壓的關(guān)系，引入高斯定律［17］進(jìn)行理論推導(dǎo).將高斯定律與式（5）的機(jī)電耦合變形方程聯(lián)立可得

式中：θ為機(jī)電耦合系數(shù)，Cp為電容系數(shù)，U 為電壓，R 為電阻.

式（8）、（9）分別考慮了渦激振動系統(tǒng)對電路輸出電壓的影響，同時考慮電路對振動系統(tǒng)的負(fù)反饋?zhàn)饔?，即機(jī)電耦合.結(jié)合流場計算結(jié)果，即可實(shí)現(xiàn)流-機(jī)-電三相耦合.

為求解載荷對系統(tǒng)阻尼和固有頻率的影響，使用矩陣法求解二階非線性常微分方程式（8）的線性方程以及式（9）［18］.

令：X1＝y(tǒng)，X2＝˙y，X3＝U，將式（6）、（7）代入式（9）、（10）得

將上述方程組表示為矩陣形式：

式中：X＝［X1，X2，X3］T，

矩陣B（R）X 有3 個不同的特征值ki（i＝1，2，3）.Barrero-Gil等［18］指出：矩陣B（R）X 的特征值中前2個特征值與無電路振動系統(tǒng)類似，而第3個特征值則是機(jī)電耦合效應(yīng)產(chǎn)生的結(jié)果，如壓電系統(tǒng)受到基礎(chǔ)或氣彈性激勵的作用，且為常實(shí)負(fù)數(shù).k1、k2存在共軛關(guān)系，其中共軛解的實(shí)部（real）和虛部（imaginary）分別表示機(jī)電耦合系統(tǒng)中的阻尼和固有頻率；而由于k3是常實(shí)負(fù)數(shù)，本文在計算矩陣平凡解時僅考慮k1、k2的實(shí)部.

本研究選用文獻(xiàn)［7］中的單自由度振動機(jī)電耦合系統(tǒng)參數(shù)，如表2所示.

表2 單自由度振動機(jī)電耦合系統(tǒng)參數(shù)Tab.2 Parameters of free degree vibration electromechanical system

2.2.2 電壓輸出準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型 采用Morse等［19］的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型描述渦激振動振幅，并用以計算隨時間變化振動能量的收集.在渦激振動處于同步性區(qū)域時，在能量收集系統(tǒng)中，柱體的振動振幅可以表示為正弦波形式：

值得注意的是，電壓時程與振動振幅時程曲線是同步的，并不存在相位差.本文重點(diǎn)計算電壓輸出的峰值，將式（12）代入式（10），在Matlab中求出電壓的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)解解析式：

以上過程中的數(shù)學(xué)表達(dá)式包括流固耦合和機(jī)電耦合的求解過程.首先在OpenFOAM 中求解式（3）、（4），得出流場壓強(qiáng)p.壓強(qiáng)p 作用在柱體上產(chǎn)生流場力Fy.利用p 求解式（5），得到柱體產(chǎn)生的振動位移y.在壓力影響柱體運(yùn)動的同時，柱體在流場中的振動反作用于流場從而影響流場分布，如此交替計算即解決流固耦合問題.在機(jī)電耦合模型中求解方程組（8）、（9），可得出系統(tǒng)阻尼C、固有圓頻率ωn的變化，而C 和ωn可以通過式（5）直接影響流固耦合計算中的P 和Fy.最后求得系統(tǒng)的振幅最大值Ymax，結(jié)合固有圓頻率計算結(jié)果ωn，使用式（13）可以得出系統(tǒng)電壓輸出的時程曲線，以上即為流-固-電三相耦合全過程.

3 流體求解器驗證

為了驗證本文流固求解器的正確性，采用文獻(xiàn)［10］中的實(shí)驗參數(shù)（繞流柱體的質(zhì)量與柱體排開的流體質(zhì)的比值m＊＝149，ξ＝0.001 2）進(jìn)行渦激振動計算，并將結(jié)果與數(shù)值模擬的文獻(xiàn)結(jié)果［7，20-21］進(jìn)行對比，如圖3所示.

當(dāng)94＜Re＜140 時，本文的計算結(jié)果與文獻(xiàn)［7］、［20］及［21］中的數(shù)值模擬結(jié)果吻合較好.值得注意的是，本文得出的振幅值略小于文獻(xiàn)［10］中的實(shí)驗值，可能有2個方面的原因：一是本文采用的是無限大流動空間計算圓柱渦激振動，而文獻(xiàn)［10］的實(shí)驗過程中細(xì)長圓柱體的一部分在自由液面以上，存在自由液面的影響；二是文獻(xiàn)［10］的研究中雖然圓柱細(xì)長比比較大，但是在圓柱底端未安裝擋板，故實(shí)驗測得渦脫頻率偏小，渦激振動的上支過渡段會延遲進(jìn)入鎖定階段.

圖3 本文方法的計算結(jié)果與其他文獻(xiàn)結(jié)果的對比Fig.3 Comparisons between results of present method and published data

4 計算結(jié)果及分析

4.1 系統(tǒng)阻尼和固有頻率特性

通過Matlab軟件求出機(jī)電耦合系統(tǒng)的阻尼和固有圓頻率，共軛解的實(shí)部和虛部隨電阻變化的計算結(jié)果如圖4所示.

圖4 矩陣共軛解實(shí)部、虛部隨電阻的變化Fig.4 Variations of real and imaginary parts of conjugate solution with load resistance

根據(jù)電路共軛解實(shí)部與虛部的關(guān)系，結(jié)合圖4可以看出，當(dāng)載荷較小時，系統(tǒng)總阻尼較低.當(dāng)R＜100kΩ 時，隨載荷的增大，系統(tǒng)總阻尼逐漸升高；當(dāng)R＝100kΩ 左右時，系統(tǒng)總阻尼達(dá)到最大值.此外，隨載荷繼續(xù)增大，由于機(jī)電耦合阻尼的壓電分流阻尼效應(yīng)（shunt damping effect）［22］，系 統(tǒng) 總 阻 尼 減小.在固有圓頻率方面，當(dāng)R＜30kΩ 時，頻率基本保持在44rad／s；當(dāng)R＞2 MΩ 時，頻率基本保持在50rad／s以下.系統(tǒng)固有圓頻率較為穩(wěn)定，基本保持在44～50rad／s.

4.2 振幅變化特性

振動振幅是渦激振動機(jī)電耦合系統(tǒng)機(jī)電轉(zhuǎn)換系統(tǒng)能力的重要參數(shù).為充分考察載荷對系統(tǒng)機(jī)電耦合的影響，考察載荷值范圍為1、10、100kΩ 以及1、10 MΩ 時振幅動態(tài)響應(yīng)隨雷諾數(shù)的變化情況.

如圖5所示為當(dāng)Re＝100時，不同載荷值對系統(tǒng)振動振幅的影響.由振幅時程曲線可以觀察到振幅幅值隨載荷值的變化而變化.當(dāng)R＝1kΩ 時，振幅最大值為0.23D；當(dāng)R＝10kΩ 時，振幅下降到y(tǒng)＝0.16D；當(dāng)R＝100kΩ 時，振幅下降到0.09D；當(dāng)R＝1MΩ 時，振動振幅增大；當(dāng)R＝10MΩ 時，振幅最大值達(dá)到0.25D，超過當(dāng)R＝1kΩ 時的峰值.振幅時程曲線的峰值總體呈現(xiàn)隨載荷的增大先減小后增大的趨勢.上述結(jié)果與圖4中渦激振動阻尼隨載荷的變化規(guī)律對應(yīng)，系統(tǒng)阻尼越大，振動能越小，振幅相應(yīng)越小.

圖5 不同載荷下的振幅時程曲線（Re＝100）Fig.5 Time histories of amplitude with different load resistances when Re＝100

如圖6所示為當(dāng)94≤Re≤115時不同載荷的振動幅值隨雷諾數(shù)的變化情況.當(dāng)R＝1kΩ 時，振幅在柱體進(jìn)入鎖定區(qū)后逐漸達(dá)到最大值0.31D.當(dāng)Re增大時，振幅峰值開始下降，振幅曲線過渡到下支，振幅減小.當(dāng)R＝10kΩ 時，鎖定區(qū)域振幅最大值只有0.19D；而當(dāng)R＝100kΩ 時，系統(tǒng)阻尼增大到峰值，此時振幅最大值達(dá)到0.135D；當(dāng)R＝1 MΩ 時，隨振動阻尼減小，振幅達(dá)到0.21D；當(dāng)R＝10 MΩ時，振幅最大值達(dá)到0.34D.可見隨載荷值的增大，振幅曲線先增大后減小.當(dāng)98＜Re＜103 時，系統(tǒng)具有較大振幅值.

圖6 圓柱渦激振動在不同載荷和雷諾數(shù)下的振幅幅值變化Fig.6 Changes of amplitude of the vortex-induced vibration under different load resistances and Reynolds numbers

在鎖定區(qū)域方面，當(dāng)R＝1kΩ 時，系統(tǒng)在Re＝98附近開始進(jìn)入鎖定區(qū)域；當(dāng)R＝10kΩ 時，圓柱的鎖定區(qū)域開始出現(xiàn)“滯后”現(xiàn)象，當(dāng)Re＝99時，振幅曲線由上支過渡到鎖定區(qū)域，原因是載荷使系統(tǒng)的固有頻率和阻尼發(fā)生了改變；當(dāng)R＝100kΩ 時，鎖定區(qū)域較窄，當(dāng)R＝100 左右時，系統(tǒng)進(jìn)入鎖定區(qū)域；當(dāng)Re＝1MΩ 時，可以觀察到與振幅曲線類似的規(guī)律，鎖定區(qū)域變大，當(dāng)Re＝98 時，系統(tǒng)進(jìn)入鎖定范圍；當(dāng)R＝10 MΩ、Re＝96時，系統(tǒng)開始進(jìn)入鎖定范圍.綜上所述，振幅曲線的鎖定范圍會在較大和較小載荷值下變得較寬，并經(jīng)過先減小后增大的過程.

4.3 電壓輸出變化特性

圖7 圓柱渦激振動系統(tǒng)的輸出電壓變化情況Fig.7 Changes of voltage output of vortex-induced vibrating cylind

圖7（a）表示不同載荷下系統(tǒng)電壓輸出的均方根值（即有效值）對Re 的變化趨勢.隨著載荷值的增加，系統(tǒng)的輸出電壓逐漸增大，當(dāng)R＝10 MΩ，Re＝96時出現(xiàn)最大值.當(dāng)Re增大時，電壓值在鎖定區(qū)域上基本保持穩(wěn)定.隨著載荷值的增大，電壓曲線的鎖振區(qū)域漸漸增大并覆蓋到更高雷諾數(shù).如當(dāng)R＝1kΩ時，在Re＝98附近才開始進(jìn)入鎖定區(qū)域，并在Re＝103附近退出鎖定區(qū)域；而當(dāng)R＝10 MΩ時，在Re＝96時已經(jīng)進(jìn)入鎖定狀態(tài)，在Re＝105左右時退出鎖定區(qū)域.此外，從電壓有效值曲線中可以得出，下支的電壓值要稍高于上支的電壓值.圖7（b）表示不同雷諾數(shù)下系統(tǒng)輸出電壓的有效值隨著載荷的變化規(guī)律.為便于分析討論，每個載荷分別列出3個分支下的2個雷諾數(shù)工況.從圖7（b）可以看出，上支與下支的電壓輸出大致相近，且具有相似的變化規(guī)律.在所有的載荷下，電壓輸出的最大值都處于同步性區(qū)域中，增大系統(tǒng)載荷可以提升系統(tǒng)的電壓輸出.當(dāng)R＞100kΩ 時，電壓的增長幅度開始降低.當(dāng)98＜Re＜103時，系統(tǒng)具有較高的輸出電壓.

4.4 功率輸出變化特性

求得系統(tǒng)的輸出電壓后，以電壓計算結(jié)果為基礎(chǔ)，使用式（14）對功率進(jìn)行計算［23］：

圖8 圓柱渦激振動系統(tǒng)的輸出功率變化情況Fig.8 Changes of power output of vortex-induced vibrating system

圖8（a）表示不同載荷下系統(tǒng)功率輸出P 對Re的變化曲線.功率輸出的最大值出現(xiàn)在鎖定區(qū)域內(nèi)，但是與輸出電壓曲線不同的是，功率輸出會隨著載荷值的增大先增大后減小，從圖8（b）可以更好地觀察到這一點(diǎn).圖8（b）表示不同雷諾數(shù)下輸出功率對不同載荷的變化曲線.當(dāng)R 從1kΩ 增加到100kΩ時，功率逐漸增大，而且當(dāng)R＝1 MΩ 時存在最大值.當(dāng)R＝1 MΩ 時，由于分流阻尼效應(yīng)此時系統(tǒng)的阻尼較大，振動振幅較小，說明當(dāng)最大振幅出現(xiàn)時，并沒有出現(xiàn)最大功率，即系統(tǒng)功率輸出與振動振幅并不成正比關(guān)系.但是當(dāng)98＜Re＜103 時，系統(tǒng)具有較高的功率輸出，渦激振動能量轉(zhuǎn)換效率較高.此項結(jié)論與文獻(xiàn)［12］、［15］中未考慮三相耦合的計算結(jié)果不同.

5 結(jié) 論

本研究從解決渦激振動能量轉(zhuǎn)換中的三相耦合問題出發(fā)，采用數(shù)值研究方法獲得了系統(tǒng)的阻尼與固有頻率隨外界載荷的變化規(guī)律，導(dǎo)出系統(tǒng)電壓輸出的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)解析式，以及渦激振動能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)中振動振幅、電壓和功率隨不同外界載荷的變化規(guī)律.主要結(jié)論如下：

（1）當(dāng)外界載荷增大時，系統(tǒng)阻尼先增大后減小，固有頻率基本不變.

（2）振動最大值和振幅曲線的鎖振區(qū)域會隨著載荷值的增加先減小后增大.

（3）電壓輸出有效值隨載荷的增大而增大，同時，當(dāng)載荷增大時，電壓曲線的鎖振區(qū)域會相應(yīng)增大，并覆蓋到更高的雷諾數(shù)范圍.

（4）系統(tǒng)輸出功率隨著載荷的增大先增大后減小，最大輸出功率并不在最大振動振幅處出現(xiàn).當(dāng)98＜Re＜103時，系統(tǒng)具有較高的功率輸出，可以實(shí)現(xiàn)較高的渦激振動能量轉(zhuǎn)換效率.

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