多變量PSO-SVM 模型預測滑坡地下水位

黃發(fā)明，殷坤龍，張桂榮，唐志政，張 俊

（1.中國地質大學（武漢）地質調查研究院，湖北 武漢430074；2.中國地質大學（武漢）工程學院，湖北 武漢430074；3.南京水利科學研究院，江蘇 南京210029）

滑坡的穩(wěn)定性受地下水賦存和運移的影響較大.自2003年三峽庫區(qū)開始蓄水以來，庫岸滑坡地下水位的上升導致邊坡飽和區(qū)的范圍增大，水頭壓力升高，非飽和區(qū)巖土強度降低；同時，水位上升加劇了地下水對滑動面的潤滑和軟化作用，降低了滑動面的抗剪強度，導致滑坡失穩(wěn)概率增大［1-2］.因此，非常有必要對庫岸邊坡地下水位的動態(tài)變化進行分析預測，探討在各種不同降雨量、庫水位工況條件下地下水位的變化特征，作為滲流分析時的特征水頭邊界條件以及滑坡穩(wěn)定性預測的影響因子［3］.

三峽庫區(qū)庫岸滑坡地下水位的動態(tài)演化過程是一個不僅受邊坡水文地質條件控制還受降雨量、庫水位和氣溫等多種內外因素共同作用的非線性動力系統(tǒng).混沌理論能夠有效地刻畫復雜非線性系統(tǒng)，因此，可以利用混沌時間序列模型對滑坡地下水位進行定量預報.Tanks嵌入定理認為，在決定性系統(tǒng)長期演化的過程中，其任一變量的發(fā)展歷程均包含了所有變量長期演化的信息.只要對滑坡地下水位混沌序列選擇合理的延遲時間和嵌入維，單變量地下水位序列即可較好地重構原始動力系統(tǒng)的相空間，并可以對地下水位進行預測［4］.金菊良等［5-7］通過單一地下水位時間序列建立了單變量非線性模型，用于研究地下水位的變化趨勢，取得了一些成果.

在實際應用中，由于水文孔監(jiān)測獲取的滑坡地下水位序列數據長度有限、含有噪聲，而且包含的信息不完備，直接對單變量地下水位序列進行重構時獲得的相空間與原動力系統(tǒng)的非線性特征存在一定的差異，難以完全描述滑坡地下水位系統(tǒng)的演化軌跡，導致預測精度受限且預測結果可信度不夠［8］.彭令等［9-11］利用加入影響因素的多變量模型對地下水位進行相關性分析和預測，均發(fā)現(xiàn)坡體結構、地下水位和降雨等因素關系緊密且多變量模型預測效果有所改善.這是因為綜合考慮地下水位及其影響因素的多變量混沌模型［12-14］包含了更豐富的地下水位變化信息，可以重構得到更為精確的相空間并能夠有效降低噪聲的影響，提高地下水位值的預測精度.本文在對滑坡每月監(jiān)測地下水位及其影響因素的相關性進行定性分析和定量灰關聯(lián)度分析［15］的基礎上，確定月平均庫水位、月平均氣溫及月累積降雨量這3個對滑坡地下水位影響較大的變量，共同構建滑坡地下水位多變量混沌時間序列并對其進行分析預測.

在對多變量混沌序列進行預測時，選擇合適的數學模型非常重要.目前，用于多變量混沌序列預測的數學模型主要有傳統(tǒng)的線性回歸模型［16］、神經網絡模型［17］、VOLTERRA 級數自適應模型［18］以及支持向量機模型［19］等.其中，基于統(tǒng)計學習理論和結構風險最小化原則的支持向量機（SVM）模型在解決小樣本和非線性回歸問題中優(yōu)勢明顯，具有理論基礎明確、全局最優(yōu)和泛化能力強的優(yōu)點.但是，SVM 模型的預測效果在很大程度上依賴于參數選取的準確程度.為彌補這個缺陷，采用全局搜索能力優(yōu)秀且效率較高的粒子群算法［20］（particle swarm optimization，PSO）對SVM 模型進行參數尋優(yōu).

本文提出一種基于影響因素分析的多變量PSO-SVM 模型，用于地下水位預測，揭示影響庫岸滑坡地下水位的主要變量，并解決地下水位系統(tǒng)監(jiān)測數據高度非線性、難以預測的問題.以三峽庫區(qū)白家包滑坡為例，分析月平均庫水位、月降雨量、月平均氣溫與滑坡每月監(jiān)測地下水位的相關性.在此基礎上，進行多變量相空間重構，重建各變量間的動態(tài)響應關系.運用多變量PSO-SVM 模型對重構后的地下水位進行預測，并與單變量PSO-SVM 模型的預測結果進行對比，驗證多變量PSO-SVM 模型的實用性和有效性.

1 多變量PSO-SVM 模型理論基礎

1.1 多變量時間序列相空間重構

設M 維多變量時間序列X1，X2，…，XN，其中Xn＝（x1，n，x2，n，…，xM，n），n＝1，2，…，N.選 取 第i個序列的延遲時間τi和嵌入維di，i＝1，2，…，M.可將M 維多變量序列相空間重構為

式中：n＝max1≤i≤M（di-1）τi＋1，…，N；Vn為重構后的相空間相點；N 為時間序列樣本總數.當M＝1時，M 為單變量序列，是多變量序列的一個特例.當復雜系統(tǒng)嵌入維數d 或者di足夠大時，即

時，D 為多變量系統(tǒng)吸引子維數，則存在確定性映射φ（d）：

若已知φ（d）或φi（i＝1，2，…，M ）的確定性函數形式，則可對xi，n＋1進行預測.

多變量相空間重構成功的關鍵在于各個變量延遲時間和嵌入維的合理選擇，Alan等［21］認為τ取較大值會使非線性模型需要擬合的關系變得復雜，難度加大.當訓練樣本較少時，τ應視情況取較小值，本文對滑坡地下水位系統(tǒng)所有變量均取τ＝1.另外采用逐步實驗的方法人工選取、確定各變量序列的最優(yōu)嵌入維.首先采用假近鄰點法求地下水位序列的初步嵌入維值.在初步確定嵌入維的基礎上，再采用最小預測誤差法［22］選取地下水位單變量序列的最佳嵌入維.最后逐步加入其他變量，且設定其嵌入維值不大于地下水位序列的最佳嵌入維值，并采用最小預測誤差法逐個確定其他各個變量的最終嵌入維值.

1.2 PSO-SVM 模型基本原理

PSO 算法優(yōu)選模型參數通過種群粒子間的合作和競爭來搜索，具有強大的全局搜索能力.SVM模型是由Cortes等［23］提出的一種新型智能模型，通過使用核函數將低維輸入空間的樣本映射到高維特征空間，把在特征空間中尋找線性回歸最優(yōu)超平面歸結為求解凸規(guī)劃問題，并求得全局最優(yōu)解.在眾多核函數中，徑向基核函數應用最廣泛，且具有較寬的收斂域，本文將其作為SVM 模型的核函數.

SVM 模型預測性能與其誤差懲罰因子c、不敏感損失系數ε和核函數參數φ 密切相關，采用PSO算法在某一范圍內搜尋SVM 參數的最佳組合，具體流程如圖1所示.

圖1 粒子群算法參數尋優(yōu)流程圖Fig.1 Flow chart of selecting optimal parameters using PSO algorithm

2 多變量PSO-SVM 模型建立過程

采用多變量PSO-SVM 模型預測滑坡地下水位的步驟如下.

1）原始序列均歸一化至［0，1.0］，采用定性分析和灰關聯(lián)度定量分析相結合的方法，探討各影響因素對地下水位序列的關聯(lián)性.

2）選取系統(tǒng)各變量τ＝1，采用人工實驗法確定各變量的最佳嵌入維并重構相空間.

3）在選取最佳嵌入維時，均采用PSO 算法自動選取SVM 模型參數，并記錄最佳預測效果作為最終預測值.流程如圖2所示.

采用均方根誤差ΦRMSE和擬合優(yōu)度ΦR2 2 個指標評定模型的預測精度：

式中：xi為真實值，yi為預測值，為xi的平均值為yi的平均值，n為預測值個數.

圖2 基于多變量時間序列SVM 模型的滑坡地下水位預測建模流程圖Fig.2 Analysis flowchart of multivariate time series SVM model for groundwater level prediction in landslide

3 白家包滑坡概況及影響因素分析

3.1 工程地質和水文地質概況

白家包滑坡位于三峽庫區(qū)秭歸縣歸州鎮(zhèn)香溪河右岸，距香溪河入長江口2.5km.滑坡南北兩側以山脊為界，坡面坡度為10°～15°.滑坡前緣高程約為135m，后緣高程約為275m，前緣寬約為500m，后緣寬約為300m，坡體縱向長度約為550m，總體積約為990×104m3.

滑坡體物質主要由碎塊石粉質黏土和塊裂巖構成，坡體屬坡積、崩積與殘積的堆積體，為土質斜坡，結構松散.地層為侏羅系下統(tǒng)桐竹園組，巖性以長石砂巖、粉砂質泥巖和泥質粉砂巖為主，巖層傾向為260°～285°，傾角為30°～40°.滑床物質主要為侏羅系下統(tǒng)長石石英砂巖及泥巖層，僅前緣有第四系土層滑床，基巖產狀260°∠30°.自2006年以來，采用地下水位監(jiān)測、GPS監(jiān)測以及群測群防等手段對白家包滑坡進行全面監(jiān)測，監(jiān)測布置圖如圖3所示.

庫水位上升導致白家包滑坡浸潤線上移，在強降雨作用下，會產生坡面流，部分滲入坡體成為地下水.滑坡外圍基巖出露較多，沖溝發(fā)育，地表排水條件尚可.在地下水的滲流作用下，由地下水產生的少量地表徑流會在部分時段以下降泉的形式出露于地表.白家包滑坡地下水以松散堆積物孔隙水、基巖裂隙水為主，滑體中后部和淺表的巖土結構松散，透水性較好；滑體深部和中前部，具弱透水性，孔隙水的賦存條件較好；由于該滑坡地形及物質組成的特殊性，相對于滑體的物質組成，其滑床形成了一個隔水層，使得其地下水容易存儲.氣溫、降雨入滲和庫水位漲落等因素對地下水影響較大，是地下水的主要補給源.地下水位變化幅度較大，形成潛水且潛水面不穩(wěn)定，以順坡向徑流排泄為主.該滑坡地質剖面圖A-A′如圖4所示，L 為滑波長度，H 為滑坡高程.

圖3 白家包滑坡監(jiān)測布置圖Fig.3 Topographical map of Baijiabao landslide with location of monitoring points

圖4 白家包滑坡地質剖面圖A-A′Fig.4 Geological profile A-A′of Baijiabao landslide

3.2 地下水位影響因素分析

3.2.1 變形曲線分析 白家包滑坡從2007年1月至2010年11月SK2水文孔的當月監(jiān)測地下水位序列x1，i，月平均庫水位序列x2，i、月平均氣溫序列x3，i，和月降雨量序列x4，i，其中i＝1，2，…，47，監(jiān)測數據如圖5所示.

由圖5可知，當庫水位上漲或下落時，滑坡地下水位（g）相應地上升或下降.如從2008年9月至同年11月，長江庫水位（w）從145.8 m 快速上升到171.5m，同時SK2監(jiān)測點的地下水位也從189.1m上升至190.1m.從2009年12月至2010年3月，長江庫水位從170.0m 下降至156.6m，導致滑坡SK2監(jiān)測點地下水位從188.9m 下降至188.2m.同樣，當降雨量（r）增加或減少時，地下水也相應地上升或下降.如從2008年3月至2008年9月，月降雨量逐漸增加，同時期庫水位也從188.1m 上升至189.0m.比如從2009年5月至2009年9月，月降雨量從205.5mm 下降至76.3mm，同時期地下水位從189.0mm 下降至188.2mm.因此，地下水位與庫水位和降雨量成正相關，這是由降雨入滲和庫水上漲倒灌所引起的.另外地下水位與氣溫（t）成負相關，這是由于氣溫升高，地表水蒸發(fā)量增加，引起地下水位下降.比如從2008年6月至2008年9月，長江庫水位維持在145.5 m 左右，雖然月降雨量從68.2mm上升至296.7 mm，但是滑坡地下水位并未出現(xiàn)大幅度變化，這與6～9月份氣溫較高，水分大量蒸發(fā)有關.

圖5 白家包滑坡地下水位、庫水位、降雨量和氣溫的監(jiān)測數據Fig.5 Monitoring data of reservoir water level，precipitation，temperature and ground water level in Baijiabao landslide

地下水位的曲線變化比外部影響因素的曲線變化更為復雜.白家包滑坡由于庫水位周期性漲落、三峽庫區(qū)雨量充沛且滑坡地表裂隙發(fā)育較多等因素，地下水活動強烈，呈現(xiàn)出高度的非線性特征.比如在雨季，雖然庫水位下降且氣溫升高，但是當降雨量較大時，滑坡地下水位同樣會大幅上升.

定性和定量分析結果顯示：三峽庫區(qū)庫岸滑坡地下水位與外部因素之間具有復雜的非線性動態(tài)響應關系，在庫水位、氣溫和降雨等變量的綜合影響下波動，可以用多變量時間序列模型重構原地下水位動態(tài)系統(tǒng).

4 白家包滑坡地下水位預測

選取2007年1月至2010年1月的35個地下水位監(jiān)測數據用于多變量混沌SVM 模型訓練，選取2010年2月至2010年11月的12個監(jiān)測數據用于模型測試精度評估.

4.1 多變量相空間重構

對白家包滑坡STK2監(jiān)測點的地下水位進行相空間重構.地下水位系統(tǒng)多變量時間序列包括當月監(jiān)測地下水位序列x1，i、月平均庫水位序列x2，i、月平均氣溫序列x3，i和月降雨量序列x4，i，其中i＝1，2，…，47.對各時間序列取時延為τ1＝τ2＝τ3＝τ4＝1，取各時間序列嵌入維分別為d1、d2、d3、d4.采用假近鄰點法計算單獨地下水位序列的嵌入維值如圖6所示.橫軸為嵌入維m，縱坐標為假近鄰率q.

圖6 采用假近鄰點法計算滑坡地下水位序列嵌入維Fig.6 Embedding dimension calculating of landslide groundwater time series using false nearest neighbor method

從圖6可知，當

n＝maxi∈1，2，3（di-1）τi＋1，…，47，當d1＝2時，假近鄰率首次低于5%，因此初步認定地下水位序列嵌入維值為2.再分別取d1＝1、3、4進行人工實驗，發(fā)現(xiàn)當d1＝2時，地下水位預測效果最佳.在確定地下水位序列最佳嵌入維的基礎上，逐個加入氣溫、庫水位和降雨這3個時間序列變量，并設定其嵌入維值不大于地下水位序列的最佳嵌入維值，采用最小預測誤差法計算得到各變量的嵌入維數為d2＝1，d3＝1，d4＝1.

在施工前就與業(yè)主、監(jiān)理協(xié)商好，建立一個統(tǒng)一的測量、驗收標準體系。在以后的施工、驗收、各種質檢站活動中用同一個基準來測量驗收。以免引起不必要的麻煩。

重構地下水位多變量序列相空間，即采用前2個月的地下水位監(jiān)測值、前1個月的月平均庫水位值、前1個月的月平均氣溫和前1個月的月降雨量值共5個變量對當月SK2監(jiān)測點的地下水位值進行預測.對這5個變量的相空間進行重構得到相點：

式中：n＝maxi∈1，2，3（ di-1）τi＋1，…，47，相點Vn的總數為N＝45.地下水位預測的非線性映射函數關系式為

只要已知式（6）的確定性函數形式，便可對x1，n＋1進行預測.

4.2 PSO-SVM 模型預測地下水位

采用PSO 算法優(yōu)化選取SVM 模型參數，粒子群適應度函數為SVM 模型預測均方根誤差，每個粒子的維數為3，種群大小為100，算法迭代次數為200.最終得到多變量SVM 模型參數分別為ε＝0.134 9、c＝15.413和φ＝0.144 1.

單變量SVM 模型時延為1、嵌入維為2，運用PSO 算 法 獲 取 模 型 參 數 為C ＝39.278 5，ε＝0.154 9，φ＝0.528 6.最終SK2水文孔地下水位的預測結果如圖7所示.

圖7 白家包滑坡地下水位預測結果對比圖Fig.7 Comparison of predicted and measured groundwater level in Baijiabao landslide

4.3 模型預測結果分析

從圖7可以看出，多變量PSO-SVM 模型預測結果整體上反映了滑坡地下水位的變化規(guī)律，預測值和實際監(jiān)測值擬合度較好.對于多變量PSOSVM 模型，其均方根誤差φRMSE＝0.115 m，擬合優(yōu)度φR2＝0.968.對于單變量PSO-SVM 模型，其均方根誤差φRMSE＝0.189m，擬合優(yōu)度φR2＝0.896.通過對比分析可知，多變量模型在引入地下水位變化的相關因素之后，預測結果優(yōu)于單變量模型.

從圖7可以看出，多變量PSO-SVM 模型的預測結果雖然有所改善，卻仍與實際監(jiān)測值存在一定的差距，預測精度不夠理想的原因主要包括以下幾個方面.

1）滑坡地下水位序列是一個復雜混沌系統(tǒng)，其本身就存在較大的不確定性，難以準確預測.

2）在月尺度下進行地下水位預測，時間跨度較大，滑坡地下水位的變化幅度也較大，客觀上增加了精確預測的難度.從另外一個角度看，誤差較大也反應出采用每月地下水位變化的復雜性.

3）所獲取的地下水位多變量時間序列長度有限，模型訓練不夠充分，制約了模型更加精確地反應變量間相互作用關系的能力，降低了模型的外推性能.

4）在地下水位多變量序列相空間重構的基礎上，采用PSO-SVM 模型對地下水位進行預測.其中，多變量相空間重構和PSO 模型參數尋優(yōu)過程等細節(jié)均會影響模型的預測精度.

5）影響滑坡地下水位變化的因素眾多，本研究只選取了氣溫、降雨和庫水位3個因素，由于未能獲取監(jiān)測數據，其他很多因素未予考慮，這也導致模型不能精確擬合地下水位的真實值.

6）由于儀器監(jiān)測的誤差，原始數據都含有一定的噪聲，這也影響了模型預測精度.

針對每月滑坡地下水位多變量PSO-SVM 預測模型存在的以上問題，下一步研究中可以在如下幾個方面進行改進.

1）為了從時間序列中充分挖掘地下水位的變化規(guī)律，應盡可能利用較長的地下水位序列進行模型訓練.

2）可以根據實際需要，對不同尺度下的地下水位時間序列進行預測，比如每日地下水位預測、每周直至每月地下水位預測.

3）深入研究滑坡地下水位變化的機理，盡可能多地獲取滑坡地下水位的影響因素，模擬其發(fā)展演化過程，豐富模型的信息量.

4）數據質量是建模的關鍵，應該提高原始數據監(jiān)測的精度.此外，還可以嘗試各種新型智能模型，如極端學習機、VOLTERRA 級數自適應模型和半監(jiān)督回歸模型等，通過減少模型參數選取的困難提高預測精度.

5 結 論

（1）在運用多變量PSO-SVM 模型之前，需要考慮各個變量之間是否存在相互作用關系.三峽庫區(qū)降雨量豐富，庫水位周期性漲落，庫岸滑坡地下水位交替循環(huán)作用強烈，白家包滑坡地下水位變化定性和定量分析結果表明：氣溫、降雨、庫水位漲落等因素對滑坡地下水位的變化具有較大影響，可以進行多變量相空間重構，重建原地下水位發(fā)展演化的動力學系統(tǒng).

（2）在進行多變量相空間重構時，時間序列較短，發(fā)現(xiàn)延遲時間確實選為1較適宜.白家包滑坡地下水位序列是一個低維混沌序列，最終確定地下水位、氣溫、降雨量和庫水位4個時間序列變量的最優(yōu)嵌入維分別為2、1、1、1.當月監(jiān)測地下水位在前一個月的氣溫、降雨量和庫水位及前2個月的地下水位的作用下動態(tài)變化.

（3）白家包滑坡的實例分析結果表明：多變量PSO-SVM 模型在三峽庫區(qū)庫岸滑坡地下水位預測中的應用效果良好，預測精度高于單變量PSOSVM 模型.多變量PSO-SVM 模型較好地反映了滑坡地下水位變化的本質特征，具有更明確的物理意義.本研究為如何建立滑坡地下水位與其影響因素之間的動態(tài)響應關系提供了一種新思路，為三峽庫區(qū)庫岸滑坡地下水位預測提供了一種新方法.

（4）多變量PSO-SVM 模型預測精度尚有較大的改善空間，下一步研究可以在滑坡地下水位序列長度、尺度以及預測模型等方面加以改進.

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）：

［1］榮冠，王思敬，王恩志，等.強降雨下元磨公路典型工程邊坡穩(wěn)定性研究［J］.巖石力學與工程學報，2008，27（4）：704-711.RONG Guan，WANG Si-jing，WANG En-zhi，et al.Stability analysis of yuanmo high way slope under intensive rainfall［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2008，27（4）：704-711.

［2］姜晨光，李少紅，賀勇，等.地下水位變化與庫岸滑坡體穩(wěn)定性關系的研究［J］.巖土力學，2008，28（增 刊）：403-406.JIANG Chen-Guang，LI Shao-hong，HE Yong，et al.Research on relations between bank stability of a reservoir and variations of groundwater level［J］.Rock and Soil Mechanics，2008，28（Supple.）：403-406.

［3］張桂榮，程偉.降雨及庫水位聯(lián)合作用下秭歸八字門滑坡穩(wěn) 定 性 預 測［J］.巖 土 力 學，2011，32（增 刊1）：476-482.ZHANG Gui-rong，CHENG Wei.Stability prediction for Bazimen landslide of Zigui County under the associative action of reservoir water lever fluctuations and rainfall infiltration［J］.Rock and Soil Mechanics，2011，32（supple.1）：476-482.

［4］SIEK M，SOLOMATINE D P.Nonlinear chaotic model for predicting storm surges［J］.Nonlinear Processes in Geophysics，2010，17（5）：405-420.

［5］金菊良，楊曉華，金保明，等.基于遺傳算法的地下水位動態(tài)預測雙線性模型［J］.水科學進展，2001，12（3）：361-366.JIN Ju-liang，YANG Xiao-hua，JIN Bao-ming，et al.A bilinear time series model based on genetic algorithm for predicting groundwater level regime ［J］.Advances in Water Science，2001，12（3）：361-166.

［6］楊忠平，盧文喜，李平.時間序列模型在吉林西部地下水動態(tài)變化預測中的應用［J］.水利學報，2005，32（12）：1475-1479.YANG Zhong-ping，LU Wen-xi，LI Ping.Application of time series model to predict groundwater regime［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2005，32 （12）：1475-1479.

［7］MAITI S，TIWARI R K.A comparative study of artificial neural networks，Bayesian neural networks and adaptive neuro-fuzzy inference system in groundwater level prediction［J］.Environmental Earth Sciences，2014，71（7）：3147-3160.

［8］趙敏，樊印海，孫輝.電力推進船舶電力負荷的多變量混沌局 部 預 測［J］.系 統(tǒng) 仿 真 學 報，2008，20（11）：2797-2805.ZHAO Min，F(xiàn)AN Yin-hai，SUN Hui.Chaos local forecasting of electric propulsion ship power load on multivariate time series［J］.Journal of System Simulation，2008，20（11）：2797-2805.

［9］彭令，牛瑞卿，葉潤清，等.基于進化支持向量機的滑坡地下水位動態(tài)預測［J］.中南大學學報：自然科學版，2012，43（12）：4788-4795.PENG Ling，NIU Rui-qing，YE Run-qin，et al.Prediction of ground water level in landslides based on geneticsupport vector machine ［J］.Journal of Central South University：Science and Technology，2012，43（12）：4788-4795.

［10］劉衛(wèi)林，董增川，陳南祥，等.基于多變量相空間重構的地下水動態(tài)神經網絡預測模型［J］.河海大學學報：自然科學版，2008，36（1）：14-18.LIU Wei-lin，DONG Zeng-chuan，CHEN Nan-xiang，et al.Neural network model for groundwater prediction based on multivariate phase space reconstruction［J］.Journal of Hohai University：Natural Sciences，2008，36（1）：14-18.

［11］王智磊，孫紅月，劉永莉，等.降雨與邊坡地下水位關系的時間序列分析［J］.浙江大學學報：工學版，2011，45（7）：1031-1037.WANG Zhi-lei，SUN Hong-yue，LIU Yong-li，et al.Time series analysis about groundwater level in slope and rainfall［J］.Journal of Zhejiang University：Engineering Science，2011，45（7）：1031-1037.

［12］王新迎，韓敏.基于極端學習機的多變量混沌時間序列預測［J］.物理學報，2012，61（8）：080507.WANG Xin-ying，HAN Min.Multivariate chaotic time series prediction based on extreme learning machine［J］.Acta Physica Sinica，2012，61（8）：080507.

［13］ZHOU Y D，MA H，LV W Y，et al.Prediction of the chaotic time series using multivariate local polynomial regression［J］.Acta Physica Sinica，2007，56 （12）：6809-6814.

［14］HAN M，WANG Y.Analysis and modeling of multivariate chaotic time series based on neural network［J］.Expert Systems with Applications，2009，36 （2）：1280-1290.

［15］馬廣，陳宏金.基于農機化投入影響因素的灰關聯(lián)分析［J］.浙江大學學報：農業(yè)與生命科學版，2005，31（6）：812-815.MA Guang，CHEN Hong-jin.Grey correlation analysis on influence factors of agricultural mechanization investment［J］.Journal of Zhejiang University：Agriculture and Life Sciences，2005，31（6）：812-815.

［16］VACCARI D A，Multivariate polynomial regression for identification of chaotic time series［J］.Mathematical and Computer Modeling of Dynamical Systems，2007，13（4）：395-412.

［17］王德明，王莉，張廣明，等.基于遺傳BP 神經網絡的短期風速預測模型［J］.浙江大學學報：工學版，2012，46（5）：837-841.WANG De-ming，WANG Li，ZHANG Guang-ming，et al.Short-term wind speed forecast model for wind farms based on genetic BP neural network［J］.Journal of Zhejiang University：Engineering Science，2012，46（5）：837-841.

［18］FANG F，VOLTERRA adaptive real-time prediction of multivariate chaotic time series［J］.Systems Engineering and Electronics，2009，31（10）：2476-2479.

［19］彭令，牛瑞卿，吳婷.時間序列分析與支持向量機的滑坡位移預測［J］.浙江大學學報：工學版，2013，47（9）：1672-1679.PENG Ling，NIU Rui-qing，WU Ting.Time series analysis and support vector machine for landslide displacement prediction［J］.Journal of Zhejiang University：Engineering Science，2013，47（9）：1672-1679.

［20］鄭丹丹，張培勇，呂冬明，等.基于粒子群優(yōu)化算法的有用時鐘偏差規(guī)劃［J］.浙江大學學報：工學版，2010，44（4）：665-669.ZHENG Dan-dan，ZHANG Pei-yong，LV Dong-ming，et al.Useful clock skew scheduling based on particle swarm optimization［J］.Journal of Zhejiang University：Engineering Science，2010，44（4）：665-669.

［21］ALAN W，JACK B S，HARRYL S，et al.Determining Lyapunov exponents from a time series［J］.Physica D，1986，16（2）：285-371.

［22］雷紹蘭，孫才新，周湶，等.電力短期負荷的多變量時間序列線性回歸預測方法研究［J］.中國電機工程學報，2006，26（2）：25-29.LEI Shao-lan，SUN Cai-xin，ZHOU Quan，et al.The research of local linear model of short-term electrical load on multivariate time series［J］.Proceedings of the CSEE，2006，26（2）：25-29.

［23］CORTES C，VAPNIK V.Support-vector networks［J］.Machine Learning，1995，20（3）：273-297.