《數(shù)形結合思想》學習工具制作綜述

展學林

特色與亮點

學習工具《數(shù)形結合思想》的最大特色是動態(tài)性，能在變動狀態(tài)下保持對象之間不變的幾何關系。而且涉及的所有圖像全部是計算所得，而不是手工繪制，保證了準確性?！稊?shù)形結合思想》涉及圖形的旋轉、切割、函數(shù)圖像的動態(tài)交點、移動同時翻轉等。

1.頁面直觀且管理靈活

學習工具最底端是一級菜單，直觀形象。另外，可根據(jù)課堂需要與學生的水平進行跳躍式自由選擇。

2.可即時無限次重復

課堂教學，學生學習層次不同，需要教師分層次教學。傳統(tǒng)教學，不可能實現(xiàn)，因為教師面對的是全體學生，不可能各個兼顧，再次重復時間也不允許，尤其是一些步驟很長的講解，如畫圖等。而本學習工具可以很輕松地進行重復講解。在講解過程中，可以根據(jù)需要按“Alt+[、Alt+]”來加速或減速，以配合教學和學習進度。

3.節(jié)省了時間

數(shù)學課上與圖像有關的內容大都是浪費時間而且也不夠準確。傳統(tǒng)教學課堂容量大大受限，而利用本學習工具，既準確地描繪了圖形的特點，也可以在短時間完成操作，效果良好。另外，學生可以利用本學習工具自主學習、探索、再思考，以達到課堂上所不能實現(xiàn)的效果。

4.化抽象為形象，讓運動過程一目了然

數(shù)學上的平移、旋轉、切割等，只能是教師表達出來的“直觀”，而學生根本沒有看到這個圖的運動變化過程，尤其不能全面把握圖像的形成轉變過程。本學習工具在這些方面做了改進。學生完全可以自己動手解決學習中的疑惑與困難，整個過程沒有“盲區(qū)”。

5.便于學生自學，利于教師授課

本學習工具能夠激發(fā)學生自主探討學習的積極性。讓學生不再機械地接受教師的說教，而變成主動地學習，由“要我學”變成“我要學”。當然，本學習工具也給教師的授課提供了便利?？芍^教、學皆宜。

制作背景

數(shù)形結合思想，將代數(shù)式的準確與圖像的直觀有機地整合到一起，教師使用幾何畫板，使靜態(tài)的圖形變?yōu)閯討B(tài)，抽象的概念變得形象，枯燥的內容變得有趣，使課堂教學生動起來。利用幾何畫板，可以展示知識發(fā)生、發(fā)展的過程，更好地提示知識之間的聯(lián)系。

本節(jié)課所選的所有例題均為課堂上曾經講過的內容，在傳統(tǒng)的課堂模式下，講解只是限于講解開頭，展示結果，中間過程就這樣被“忽悠”過去了。尤其是一些圖像的運動過程，更是無從談起，無法展現(xiàn)。因為中間過程是一個抽象的過程，不易表達，更無法顯示。這一點一直是很多學生的“死穴”。也是很多教師的無奈。多年來，我一直想解決這一問題。信息技術的介入，使得這一過程變得容易多了。

教學內容分析與教學策略

《數(shù)形結合思想》是高三數(shù)學的復習專題。主要介紹數(shù)形結合法在不同領域的應用及聯(lián)系。

在選擇題目上，為了體現(xiàn)數(shù)形結合思想的廣泛應用，我選擇了一道平面解析幾何例題，一道平面幾何例題，兩道函數(shù)例題，三道立體幾何例題，另外，還有三道函數(shù)方面的練習題，以鞏固所學方法，彰顯學以致用的要旨。同時也讓學生切身體會到方法的重要性。到了高三，絕對不是再簡單地重復復習，而是把原本看上去風馬牛不相及的內容進行有機整合，把原本一個個原孤立的點，聯(lián)系到一起，形成一張知識網。

本學習工具在制作的時候選用數(shù)形結合思想，而沒有選用數(shù)形結合法，主要是考慮到數(shù)形結合法有些狹隘，這樣不利于高三復習，不利于開拓學生的思維，而數(shù)形結合思想便于學生領悟數(shù)形結合法在不同領域如立體幾何、平面幾何、平面解析幾何、函數(shù)等方面的不同應用，使得數(shù)形結合思想的內涵更加豐富，真正體現(xiàn)了復習的主旨：復習并不是簡單的重復，而是不同內容之間的有效整合。

設計思路及表現(xiàn)手法

《數(shù)形結合思想》這一節(jié)課是按授課習慣來設計，包括例題講解、練習鞏固、小結作業(yè)。整個過程符合教師的授課習慣和學生的認知規(guī)律。學習工具的設計分為一級菜單和二級菜單，按鈕的功能全部寫在按鈕上，一目了然，所見即所得，哪怕一個新手也可以輕松操作。圖1中最下面一行是一級菜單，而界面中的紫色文字部分（左側部分）是二級菜單。根據(jù)需要也可以收起二級菜單，這樣顯得界面簡單明了。

1.例題講解，溫故知新，一題多解，思維延伸

首先在課堂上簡單復習數(shù)形結合思想的最初由來以及它的一些簡單應用。再通過下面的例題講解，體現(xiàn)數(shù)與形的真正結合，激發(fā)學生學習的興趣與樂趣。下面逐一介紹。

（1）平面解析幾何部分

這是一道高考題，此題解法就是運用最簡單的幾何法，向x軸、y軸引垂線，這樣，求出這兩個線段的長即得P點橫、縱坐標。其實這個解法過于普通，也體現(xiàn)不出不同知識點的相互聯(lián)系。

在講解此題時，我講解完上述方法之后，就給學生即時提了一個思考問題，如果讓這個圓繼續(xù)向右滾動，滾動到一個任意的位置，如圖2中的位置C（3.86，1），此時學生會發(fā)現(xiàn)，原先方法雖然可用，但是費時?！澳敲从袥]有更好的解決辦法呢？”這樣一個不經意的提問，引導學生進入了另一個思考的空間，拓展了學生的思維空間，使得原本可以結束的思考再度被啟動。

討論之后，學生迫切希望能得一種更新的方法。這時候，教師適時插入一句：“求P點的坐標就是向量的坐標，而向量會隨著P點的移動一直在變怎么辦？”

在此過程中，學生會不斷發(fā)現(xiàn)“新大陸”，激發(fā)了興趣，也培養(yǎng)了他們的觀察力及創(chuàng)新力。整個課堂氣氛活躍而不滯怠，環(huán)環(huán)相扣，有序進行。

最終，教師點明方法：變化過程中，如果不變得越多，變化就越小，可以本著這個原則，利用，將 這個變量轉變成一個常量和另一個變量，而這個變量可以平移到原點，利用平面向量、三角函數(shù)的知識來進行解決。

在這個過程中，我們不得不說，原本這道題目是一個平面解析幾何，但是，經過延伸之后，就巧妙地把平面解析幾何的問題轉化為平面解析幾何、平面向量、三角函數(shù)相結合、相聯(lián)系的問題，一舉數(shù)得，將連點成線，連線成網。

（2）平面幾何部分

看到這個題目時（如圖3），我們最容易想到的就是求出S1、S，這樣就可以求出S1∶S。但是，本題純粹利用了圖形的分割，通過觀察不得不說，數(shù)形結合思想應用得非常巧妙而精到。

由圖像可知，此法形象直觀，不做過多陳述。

（3）函數(shù)部分

看到3f（x）=x這個公式（如圖4），很容易讓人想到要先化簡，但是，首先f（x）是分段函數(shù)，其實，這是分段函數(shù)的第一段還含有一個參數(shù)m。

這樣首先把3f（x）=x化成f（x）=，而求交點問題就轉變成了求函數(shù)y=f（x）與y=的交點問題。而由于y=f（x）含有一個參數(shù)m，而m會影響圖像，故而可以借助于函數(shù)的圖像來研究交點問題，進一步可以觀察m的變化如何影響函數(shù)y=f（x）的圖像，這樣就可以求出參數(shù)m的圖像了。

如圖4所示，當?shù)谝淮蜗嗲袝r，恰好四個公共點。如圖5所示，當?shù)诙蜗嗲袝r，恰好五個公共點。而參數(shù)m的變化就會導致半個橢圓拉長還是縮短，故而由圖像可知，求出參數(shù)m的取值范圍。

（4）立體幾何部分

本題是立體幾何中的最小值問題（如圖6），最常見的處理方式就是將一個彎曲或變折的平面鋪平在一個平面上（如圖7），根據(jù)兩點間線段最短，求出折線段的和的最小值（如圖8）。整個過程非常自然，學生看到整個演示過程，不再有任何疑問。

一個四棱錐五個面，一個四面體四個面，這兩個幾何體的所有棱長均相等，這樣四面體的任何一個面都與四棱錐的側面全等（如圖9），這樣當將它們平移（如圖10），然后重疊之后（如圖11），很容易這樣考慮：5+4-2=7。但是，實際如何呢？我讓學生根據(jù)本學習工具自己動手演示。

學生發(fā)現(xiàn)，先把原來的四棱錐向右平移一個，這樣顯然紫色的平面與紅色的平面是在一個平面上（如圖12），而中間空出的部分正好是正四面體的形狀。根據(jù)圖示可以發(fā)現(xiàn)紫色的平面與綠色的平面實際上是一個平面，這樣最終形成的幾何體就是5個平面。

看來數(shù)學不能只通過眼睛來學習，而要通過眼睛去觀察、大腦去思考，全方位的聯(lián)系才能真正找到答案。在這一過程中，學生的學習興趣與信心倍增。將一個枯燥的學習過程，變得輕松自然。而且最為主要的是學生自己發(fā)現(xiàn)、探討、解決問題，體現(xiàn)了教師為主導，學生為主體的思想。

教師在講解這一幾何問題時，在黑板上擦了畫，畫了擦，僅憑教師說，學生完全看不到切割之后的形狀。學生根本想象不出，切割完后，到底是一個什么樣的幾何體。但是，本學習工具把整個切割過程完全展現(xiàn)在學生眼前，擬物性非常強。

原先的幾何體（如圖13），移開左邊的幾何體（如圖14），移開右邊的幾何體（如圖15），左右兩邊的幾何體手動調整，可以自由拖動（如圖16）。這樣，最終幾何體的表面是什么樣，就一清二楚了。

2.自主練習，鞏固提高，舉一反三，思維提升

練習的設計層層遞進，讓學生在不知不覺中突破了難點。整個過程跨度自然，由一個層級躍到另一個層級，而不是讓學生感到遙不可及，也并不是隨意而為，需要思考才能解決問題。思維量增大，學生的學習能力也隨之提高。

本題所設計的題目，也是數(shù)形結合題型中的“熟面孔”，平常學生只能看到一些固定的程式，但用手拖動“用手拖動改變a的大小”，就可以輕松改變對數(shù)函數(shù)的底，進一步改變對數(shù)函數(shù)，這樣這兩個函數(shù)在區(qū)間（1，2）上的交點問題就一目了然了，在復習了對數(shù)函數(shù)的底數(shù)變化的同時，也完全可以看到對數(shù)函數(shù)因為底的變化而改變的過程。學生如果掌握熟練，可以自己點擊按鈕，如果嫌演示的速度太快，可以手動拖動，直觀形象，就好像把這兩個函數(shù)的圖像“玩于股掌之間”（如圖17）。

本題目的設置如果用代數(shù)法，非常麻煩，因為方程兩邊的式子中均含有參數(shù)a，而且不容易分離，這樣，可以代數(shù)式與圖像并舉，讓學生觀察a的變化如何改變兩邊函數(shù)y=x|x-a|與y=a的位置關系，進一步明確如何改變它們的交點的問題（如圖18）。

這是一個函數(shù)圖像的交點問題。這樣，我們就可以很輕松地看出它們的交點，問題迎刃而解（如圖19）。

3.提綱挈領，匯總提升，濃縮精華，融會貫通

讓學生快速掌握本節(jié)課的內容框架，可以讓學生復述本節(jié)課學習重點內容，使學生能夠全面掌握《數(shù)形結合思想》的精髓，為課余的復習、練習、鞏固、提高做好了知識儲備。

內容結構與藝術布局

《數(shù)形結合思想》這一節(jié)課，完全按照由淺入深、化抽象為具體的思路來進行。利用學習工具節(jié)省了大量時間。而且每一個頁面都可以根據(jù)學生的掌握情況進行重復，使再現(xiàn)講課過程等成為現(xiàn)實，真正實現(xiàn)了分層施教。

考慮到學生的基礎情況、對知識的掌握情況等，學習工具在設計內容上非常靈活，根據(jù)課堂內容可以隨意選擇例題練習，而有些不必要講或者來不及講的內容可以直接不用顯示。這樣不會使整堂課有殘缺感。學習工具在制作時也充分考慮了色彩對學生的影響，背影顏色柔和大氣，圖形顏色也是清晰醒目，調動了學生的多種感官。

組件要素與技術處理

一節(jié)課，教師不管講解得如何詳盡，總會有一些學生不太明白，或者是當時有些個別原因（如走神）而不能完全掌握一節(jié)課內容。在制作學習工具時，我想到了這一點，隨時可以給學生再現(xiàn)剛剛結束的講解過程。

在講解《數(shù)形結合思想》時，傳統(tǒng)的教學方法無法把首尾之間的過程講解清楚。幾何畫板把圖像的變化過程完全展現(xiàn)出來，而且每一次圖形的變化過程，都清晰地顯示了它們的相對的位置關系。

在平移加旋轉的設計時，我把這個運動過程分解成平移和旋轉，各自運動，然后將它們組合到一起，這樣就會出現(xiàn)圖形一邊平移一邊旋轉的效果，逼真而直觀。

評價與反思

決賽的整個過程，我一直在現(xiàn)場，說實話，可以說是高手如云，沒有哪個人敢說自己的學習工具是完全優(yōu)于別人的。因為大家都是各有所長，而且不同軟件做的學習工具各有精彩之處。我對我自己的學習工具進行如下總結評價：①學習工具頁面管理靈活；②可以無限次重復；③大大節(jié)省時間；④化抽象為形象；⑤運動變化，相對位置不變；⑥準確率高。

但是，多媒體歸根結底是一個輔助工具，在使用過程中，也難免會有這樣那樣的問題：①學習工具的駐留性差，在使用過程中，用到下一頁，就無法看到上一頁。尤其是教師授課時，學生有時候無法及時回顧自己不會的內容；②醒目的顏色會刺激學生，也有可能誘使學生轉移注意力，把學習工具的展示當成“熱鬧”而偏離了課堂的主題，達不到預期的效果。③學習工具準備時間太長，有時候很難跟上快節(jié)奏的高中課程。

幕前幕后

比賽過程中，選手們顯然都做了精心的準備。數(shù)學化學習工具，突出的是工具的特點，平時的學習過程中，尤其是現(xiàn)在的高中學習，節(jié)奏普遍偏快，這就要要求學習工具不宜做得過大，能夠對教育有所輔助，能夠激發(fā)學生的興趣，提高教師的授課的科學性，而且能夠再次開發(fā)利用就足夠了，而不是為了比賽而純粹趕制這個“視頻”。

我個人以為，今后在教學過程中，學習工具的制作得考慮到授課的進度和需要，如有些難點不易突破，可以作一個片段，讓學習工具也微課化！這樣可以節(jié)省時間，同樣可以解決重點、難點，一舉兩得。期待下一次會有更好的學習工具“面世”。

評委印象

《數(shù)形結合思想》是一節(jié)高三復習專題課，數(shù)形結合思想在高考中占有非常重要的地位，它主要是把抽象的數(shù)學與直觀的圖形結合起來，本節(jié)課內容對提高學生的思維能力和數(shù)學素養(yǎng)很有幫助。在傳統(tǒng)的課堂模式下，教師基本是在黑板上繪制一個靜態(tài)的圖像，然后通過手勢比劃進行講解，教學效果不好，教學效率不高。展老師用幾何畫板所制作的《數(shù)形結合思想》學習工具，就能很好的突破這個難點。該學習工具有以下的一些優(yōu)點。

印象一：化抽象為形象，讓運動過程一目了然

通過學習工具使學生看到圖形的運動變化過程，尤其是圖像的形成轉變過程。例如，學習工具中將三視圖化為直觀圖，就很好地把圖形的變化過程完整的展示在學生眼前，把原本只能“憑空捏造”的過程變得直觀形象。

印象二：課堂教學容量大，效率高

在傳統(tǒng)教學中，因為在繪制圖形的環(huán)節(jié)就占了課堂的很多時間，所以教師一節(jié)課只能講解4道左右的數(shù)形結合習題，這使得課堂的教學容量小、效率低。而本課的例題加練習達到了10道題目，使得課堂容量很大，從而實現(xiàn)高效課堂。

印象三：學習工具使用方便靈活。該學習工具既可以作為教師的課堂展示工具，也可以作為學生一對一的自學學習工具，使用方式非常靈活。

不過，本課也有一些地方值得商榷。例如，課堂容量太大，對學生的要求較高，基礎差的學生可能跟不上；課堂比較傳統(tǒng)，主要以教師講授為主，不是很符合新課標中的以學生為主體，教師為主導的要求等。總的來說，無論是對教師還是對學生，《數(shù)形結合思想》仍不失為是一個優(yōu)秀的數(shù)字化學習工具。

（點評人：NOC活動評委/廣西南寧市第八中學 盤俊春）