失效數(shù)據(jù)的威布爾分布建模與參數(shù)估計(jì)方法

顧國(guó)梁，王景芹

（河北工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，天津 300130）

失效數(shù)據(jù)的威布爾分布建模與參數(shù)估計(jì)方法

顧國(guó)梁，王景芹

（河北工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，天津 300130）

低壓電器產(chǎn)品的可靠性與生產(chǎn)生活密切相關(guān)，因而對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行可靠性評(píng)估顯得十分重要，分析產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)是可靠性評(píng)估的重要手段．威布爾分布是一種常見的產(chǎn)品壽命分布，低壓電器產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)服從不同參數(shù)的威布爾分布．本文研究了基于威布爾分布的失效數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)處理過(guò)程．首先研究了威布爾分布的圖檢驗(yàn)法，并用最小二乘法計(jì)算擬合直線方程和線性相關(guān)度．然后用F檢驗(yàn)法對(duì)失效數(shù)據(jù)是否符合威布爾分布進(jìn)行了驗(yàn)證．對(duì)于確定符合威布爾分布的失效數(shù)據(jù)，本文采用極大似然估計(jì)法計(jì)算威布爾分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值并由此計(jì)算參數(shù)和可靠性特征量的區(qū)間估計(jì)．最后，通過(guò)具體算例對(duì)一組接觸器失效數(shù)據(jù)進(jìn)行威布爾分布建模并計(jì)算相關(guān)參數(shù)．關(guān)鍵詞威布爾分布；數(shù)據(jù)處理；極大似然估計(jì)；點(diǎn)估計(jì)；區(qū)間估計(jì)

0 引言

低壓電器通常是指在低壓配電系統(tǒng)與控制系統(tǒng)中起開關(guān)、控制、保護(hù)、檢測(cè)、顯示和報(bào)警等作用的元件或裝置[1]，其可靠性水平對(duì)生產(chǎn)及日常生活的影響巨大，因而對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行可靠性評(píng)估顯得十分重要．文獻(xiàn)[2-3]分別對(duì)電力系統(tǒng)和繼電保護(hù)可靠性評(píng)估方法進(jìn)行了相關(guān)報(bào)道，而對(duì)低壓電器產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)進(jìn)行威布爾分布建模，進(jìn)而估計(jì)其可靠性特征量的可靠性評(píng)估方法還未見報(bào)道．

眾所周知，絕大部分產(chǎn)品的壽命過(guò)程都經(jīng)歷3個(gè)階段：早期失效階段、偶然失效階段和耗損失效階段．分析的失效數(shù)據(jù)是經(jīng)過(guò)可靠性篩選試驗(yàn)剔除了早期失效產(chǎn)品后得到的，文獻(xiàn)[4]對(duì)小型斷路器可靠性篩選的方法進(jìn)行了報(bào)道．威布爾分布是可靠性理論中常用的最復(fù)雜的一種分布，大量工程實(shí)踐表明，低壓電器產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)服從不同參數(shù)的威布爾分布．因此，驗(yàn)證產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)符合威布爾分布并計(jì)算出威布爾分布參數(shù)就顯得尤為重要．對(duì)低壓電器產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和對(duì)失效規(guī)律的研究是電器可靠性研究方向的重要課題．

在IEC 60947-4-1（低壓開關(guān)設(shè)備和控制設(shè)備第4-1部分接觸器和電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)器機(jī)電式接觸器和電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)器）的附錄K[5]中給出了確定在功能安全性應(yīng)用中所用的機(jī)電式接觸器可靠性數(shù)據(jù)的步驟，但其數(shù)據(jù)處理過(guò)程過(guò)于簡(jiǎn)略，也未給出威布爾分布參數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法和產(chǎn)品可靠度的估計(jì)方法．本文對(duì)數(shù)據(jù)的威布爾擬合和參數(shù)估計(jì)做了細(xì)致的研究．在研究過(guò)程中，通過(guò)大量的驗(yàn)證與查閱資料，修正了一些文獻(xiàn)中不正確的公式，給出了恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理過(guò)程．對(duì)于小樣本及無(wú)失效數(shù)據(jù)時(shí)電器產(chǎn)品可靠性特征量的估計(jì)可參考文獻(xiàn)[6]．

1 威布爾分布的檢驗(yàn)方法

1.1 威布爾分布

1.1.1 威布爾分布的定義及3個(gè)參數(shù)

若隨機(jī)變量L的密度函數(shù)即失效密度函數(shù)為

1.2 威布爾分布的檢驗(yàn)方法

對(duì)于實(shí)際收集到的失效數(shù)據(jù)，為證實(shí)其失效分布類型為威布爾分布．目前常用的檢驗(yàn)方法有圖檢驗(yàn)法和數(shù)學(xué)方法，即統(tǒng)計(jì)分析的方法（如2檢驗(yàn)法，K-S檢驗(yàn)法等）進(jìn)行非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)．

1.2.1 威布爾分布的圖檢驗(yàn)法

圖檢驗(yàn)法與統(tǒng)計(jì)分析的方法相比具有簡(jiǎn)單易行、使用方便、直觀易懂、容易掌握的特點(diǎn)，可以直觀的對(duì)失效數(shù)據(jù)是否符合威布爾分布進(jìn)行檢驗(yàn)．但作圖法準(zhǔn)確度較差，所得的結(jié)果往往因人而異，甚至有時(shí)難以得到一個(gè)確切的結(jié)論．

下面用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法即曲線擬合的最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)．

根據(jù)威布爾分布的特點(diǎn)及威布爾概率紙的原理可知，對(duì)于不同的失效時(shí)刻ti有

|r|=1時(shí)，所有點(diǎn)都在回歸直線上，此時(shí)稱x與y完全線性相關(guān)，但實(shí)際失效數(shù)據(jù)很少見到這種情形．

表1 相關(guān)系數(shù)臨界值表（p r＞r=）Tab.1The critical value of the correlation coefficient

對(duì)r的檢驗(yàn)的臨界值可通過(guò)查表1得到．當(dāng)r＞r時(shí)，可認(rèn)為回歸效果顯著，即可以接受曲線擬合后的回歸直線方程；當(dāng)r＜r時(shí)，認(rèn)為x與y的相關(guān)性較差，不能接受曲線擬合后的回歸直線方程．表中n 2是自由度，n為失效數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．

1.2.2 威布爾分布的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法

作圖法驗(yàn)證失效數(shù)據(jù)符合威布爾分布的方法可能會(huì)因?yàn)槿藶橐蛩卦斐勺鲌D誤差，導(dǎo)致判斷不精確．因此，用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法驗(yàn)證失效數(shù)據(jù)滿足威布爾分布顯得尤為重要．常用的方法有皮爾遜2檢驗(yàn)、柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢驗(yàn)（K-S檢驗(yàn)）以及對(duì)威布爾分布的F檢驗(yàn)法．但由于x2檢驗(yàn)法和K-S檢驗(yàn)法需要預(yù)先對(duì)理論分布函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，對(duì)于威布爾分布的檢驗(yàn)較為不利，因而本文采用F檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)．過(guò)程如下：

對(duì)于定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)，設(shè)截尾時(shí)間為t0，將故障時(shí)間從小到大排列，則r個(gè)故障時(shí)間為0＜t1t2t3…trt0，設(shè)xi=lnti，建立假設(shè)則拒絕原假設(shè)，該批數(shù)據(jù)不是來(lái)自威布爾分布的總體，反之則接受．

此方法適用于定時(shí)截尾和定數(shù)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)．其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算時(shí)不用查找特殊的專用表格，只使用普通常見的F分布表，列表計(jì)算也較為方便．

2 威布爾分布可靠性特征量的估計(jì)

2.1 威布爾分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值

在威布爾分布的圖檢驗(yàn)法中，介紹了參數(shù)的最小二乘估計(jì)法，用于計(jì)算點(diǎn)估計(jì)值．文獻(xiàn)[12]利用威布爾分布的均值和方差計(jì)算參數(shù)的估計(jì)值．下面本文介紹用極大似然估計(jì)法計(jì)算威布爾分布的參數(shù)．

將式(3)代入式(2)得

式中：ti代表每個(gè)參加試驗(yàn)產(chǎn)品的試驗(yàn)時(shí)間，n為試驗(yàn)樣品數(shù)，r為失效數(shù)．另外，此方法求出的m的極大似然估計(jì)值存在且唯一[14]．

2.2 威布爾分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

當(dāng)用極大似然估計(jì)法計(jì)算威布爾分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值時(shí)，本文采用下面的方法計(jì)算威布爾分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)．它適用于完全樣本及定數(shù)、定時(shí)試驗(yàn)子樣．設(shè)有n個(gè)試樣進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)截止時(shí)間為tr，共有r個(gè)產(chǎn)品故障，故障時(shí)間為t1t2t3…tr．設(shè)由極大似然估計(jì)法得到的參數(shù)點(diǎn)估計(jì)值為m^和^．

2.2.1 參數(shù)m的區(qū)間估計(jì)

式中：A1、A2為系數(shù)，其計(jì)算分為完全樣本（n=r）和截尾樣本（r＜n）兩種情況．首先計(jì)算以下常數(shù)

2.3 可靠性特征量的區(qū)間估計(jì)

2.3.1 可靠壽命tR的估計(jì)

對(duì)可靠度為R時(shí)的可靠壽命，在參數(shù)點(diǎn)估計(jì)已知時(shí)，由式(6)得其點(diǎn)估計(jì)

2.3.3 失效率的估計(jì)

由式(5)和式(3)可以得到

本文中給出的部分計(jì)算公式是通過(guò)數(shù)值計(jì)算后，用擬合法得到的，其誤差一般在1%～2%以下，滿足工程計(jì)算要求．

3 算例

采用具體算例研究對(duì)1組失效數(shù)據(jù)進(jìn)行威布爾分布類型的檢驗(yàn)及相關(guān)可靠性特征量的估計(jì)．總共有15臺(tái)接觸器（n=15）同時(shí)進(jìn)行試驗(yàn)直到全部失效．其失效時(shí)間（r=15）見表2．

3.1 威布爾分布的圖檢驗(yàn)法

首先檢驗(yàn)表2中的數(shù)據(jù)是否滿足威布爾分布，由公式(10)計(jì)算F ti計(jì)算結(jié)果如表2．在威布爾概率紙上，按（ti,F ti）描點(diǎn)，其軌跡如圖1所示．

從圖1中可以看出，其軌跡近似為一條直線，可以認(rèn)為接觸器的失效數(shù)據(jù)服從威布爾分布．從軟件分析結(jié)果可以看出，形狀參數(shù)和真尺度參數(shù)的值分別為m=4.347，=2149130．

取可靠度R=0.9，則F=1 R=0.1，在威布爾概率紙（圖1）F t尺上找到F ti=0.1的點(diǎn)向右作水平線與回歸直線相交，再由交點(diǎn)向下作垂線，此垂線與t尺交點(diǎn)的讀數(shù)即為可靠度為0.9時(shí)的可靠壽命t0.9的估計(jì)值即=1 265 000（次），由=63.38得到擬合曲線方程為

至此，根據(jù)在威布爾概率紙上得到的（ti,F ti）的軌跡為一條直線，證明失效數(shù)據(jù)服從威布爾分布．然后，得到了威布爾分布的形狀參數(shù)和真尺度參數(shù)m，的估計(jì)值，并計(jì)算出擬合后的曲線方程(62)．下面，通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的最小二乘法計(jì)算擬合曲線方程，并通過(guò)相關(guān)系數(shù)r檢驗(yàn)直線的線性相關(guān)程度．

表2 F ti的計(jì)算結(jié)果Tab.2The value of F (ti)

3.2最小二乘法曲線擬合

將失效數(shù)據(jù)代入式(9)、式(10)，計(jì)算xi，yi．由式(12)、式(13)計(jì)算．結(jié)果為=3.908，=57，r=0.998 8．

根據(jù)計(jì)算結(jié)果由式(11)得到曲線擬合的線性回歸方程為

由計(jì)算結(jié)果得到r=0.998 8＞r=0.513 9，可以認(rèn)為線性回歸效果顯著．

比較式(62)、式(63)可以看出，用最小二乘法得到的擬合曲線方程與圖估計(jì)法得到的結(jié)果接近，但存在一定的偏差，這是由于軟件繪圖計(jì)算的結(jié)果是基于直線的整體走向確定的，會(huì)忽略偏離直線較遠(yuǎn)的點(diǎn)．而最小二乘法是基于所有失效數(shù)據(jù)確定的，由于偶然因素導(dǎo)致個(gè)別數(shù)據(jù)偏離直線較大，其對(duì)參數(shù)的計(jì)算會(huì)產(chǎn)生影響．因此，通過(guò)軟件繪圖從直線整體走向計(jì)算的結(jié)果相對(duì)最小二乘法更精確．在計(jì)算精度要求不高的條件下，兩種方法得到的計(jì)算結(jié)果都可以用來(lái)估計(jì)可靠性特征量，同時(shí)，兩者也都可以說(shuō)明失效數(shù)據(jù)近似為威布爾分布．

圖1 威布爾分布中位秩回歸直線Fig.1Plot of Weibull median rank regression

3.3 失效分布類型的統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)法（F檢驗(yàn)法）由1.2.2節(jié)所述，在驗(yàn)證失效數(shù)據(jù)符合威布爾分布時(shí)，通常采用F檢驗(yàn)法進(jìn)行驗(yàn)證，過(guò)程如下：將失效數(shù)據(jù)代入式(22)～式(23)，其中r=15，計(jì)算結(jié)果如下

3.4 分布參數(shù)的確定

對(duì)于已經(jīng)證實(shí)符合威布爾分布的失效數(shù)據(jù)，要進(jìn)行威布爾分布參數(shù)的確定．首先，由極大似然估計(jì)法（MLE）計(jì)算參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值．對(duì)于算例中的失效數(shù)據(jù)，n=r，則式(28)可表達(dá)為式(64)

本文采用二分法求解參數(shù)m，令

3.5.4 可靠度的估計(jì)

對(duì)于實(shí)際產(chǎn)品使用過(guò)程中任意時(shí)刻的可靠度，其點(diǎn)估計(jì)值可將時(shí)刻t代入式(54)求得Q1=0.866，時(shí)刻t的可靠度下限可由式(55)求出．

3.5.5 失效率的估計(jì)

4 結(jié)論

本文對(duì)基于威布爾分布的失效數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)方法以及威布爾分布參數(shù)和可靠性特征量的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)進(jìn)行了全面細(xì)致的研究，提出了對(duì)失效數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的具體方法，為日后進(jìn)一步的可靠性研究奠定了基礎(chǔ)．

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[責(zé)任編輯 代俊秋]

Weibull modelling and parameter estimation method of failure data

GU Guoliang，WANG Jingqin

(School of Electrical Engineering,HeBei University of Technology,Tianjin 300130,China)

The reliability evaluation of is very important since low voltage electrical appliances are closely related to the production andliving.Analysing thefailure data isa goodaccess tothat.Weibulldistributionisa common lifedistribution，the failure data of low voltage electrical appliances conform to Weibull distribution,but they have different parameters. In this paper,we do research on data processing of failure data which is based on Weibull distribution.Firstly we study the figure testmethod of Weibulldistribution and use theleast square method to calculate thefittinglineequation and linear correlation.Secondly,we use F test method to verify that the failure data conform to the Weibull distribution.If the failure data fit for Weibull distribution.We use maximum likelihood estimation(MLE)to calculate the point estimation of Weibull parameters and we use it to calculate the interval estimation of the Weibull parameters and reliability characteristics.At last,we use the failure data of contactors to do the Weibull modelling and calculate the related parameters.

weibulldistribution;dataprocessing;maximumlikelihoodestimation(MLE);pointestimate;intervalestimate

TM930

A

1007-2373(2015)03-0007-10

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.03.002

2015-01-13

國(guó)家自然科學(xué)基金（51077039）；河北省自然科學(xué)基金（E2012202111）；河北省“百千萬(wàn)人才工程”人才培養(yǎng)資助項(xiàng)目（A2013007001）作者簡(jiǎn)介：顧國(guó)梁（1990-），男（漢族），碩士生．通訊作者：王景芹（1964-），女（漢族），教授，博士生導(dǎo)師．

數(shù)字出版日期：2015-06-16數(shù)字出版網(wǎng)址：http://www.cnki.net/kcms/detail/13.1208.T.20150616.0928.004.html