基于ARMA模型的山東糧食產(chǎn)量預(yù)測研究

陳霄霄+孟昭為

摘要：以1980年以來的山東糧食產(chǎn)量數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，先后通過平穩(wěn)化檢驗(yàn)及自相關(guān)與偏相關(guān)分析，建立ARMA模型，確定模型參數(shù)并對殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)。借助Eviews軟件對其走勢進(jìn)行分析研究，通過理論模型對糧食產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測，并將預(yù)測情況與山東省糧食的實(shí)際產(chǎn)量做對比，為政府及相關(guān)部門提供決策參考。

關(guān)鍵詞：ARMA模型；糧食產(chǎn)量；預(yù)測

中圖分類號：F2

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：16723198（2015）13003103

糧食產(chǎn)量的預(yù)測問題是金融及農(nóng)業(yè)領(lǐng)域長期研究的問題，面對嚴(yán)峻復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)形勢，為了尋找適合的模型，專家們已做了大量的研究。山東省作為全國產(chǎn)糧第三大省，糧食豐收可以確保國家糧食安全，保障了廣大農(nóng)業(yè)人員的生活水平，為經(jīng)濟(jì)的平穩(wěn)健康發(fā)展及社會的穩(wěn)定和諧提供了有力支撐，因此加強(qiáng)對省內(nèi)糧食產(chǎn)量變動趨勢的檢測和研究顯得尤為重要。糧食產(chǎn)量的預(yù)測是基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的。基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)測方法有很多種，最常用的技術(shù)有分解分析法、回歸分析法、移動平均法、指數(shù)平滑法、混沌時(shí)間序列法、自適應(yīng)過濾法、小波分頻技術(shù)、自回歸滑動平均模型等。ARMA模型（自回歸移動平均模型，Auto-regressive and Moving Average Model）由博克斯（Box）、詹金斯（Jenkins）于20世紀(jì)70年代創(chuàng)立，因此也稱為BJ方法，是目前最為常用的研究時(shí)間序列模型之一。本文根據(jù)山東省糧食近三十年的產(chǎn)量數(shù)據(jù)建立ARMA模型，并用Eviews軟件對其波動趨勢進(jìn)行預(yù)測分析。

1模型介紹

1.1ARMA模型

AR（p）模型也稱為自回歸模型，它的預(yù)測結(jié)果主要由過去的觀測值和現(xiàn)在的干擾值的線性組合決定。

記：

yt=c+1yt-1+2yt-2+…+pyt-p+μt（1）

c為常數(shù)，p為自回歸模型的階數(shù)，1（i=1，2，3，…，p）自回歸系數(shù)，隨機(jī)項(xiàng)ut服從均值為零，方差為σ2μ的正態(tài)分布，通常標(biāo)記為μt～WN（0，σ2t），μt是相互獨(dú)立的白噪聲序列。

MA（q）模型也稱為移動平均模型。其預(yù)測方式是通過過去的干擾值和現(xiàn)在的干擾值的線性組合預(yù)測。

記：

yt=μt-θ1ut-1-θ2ut-2-…-θqμt-q（2）

其中θi（i=1，2，3，…，q）為移動平均系數(shù)，q為移動平均階數(shù)。

模型的構(gòu)成基礎(chǔ)為自回歸模型（模型）與移動平均模型（模型）的組合，其基本原理是，將預(yù)測指標(biāo)隨時(shí)間推移而形成的數(shù)據(jù)序列看作是一個(gè)隨機(jī)序列，雖然單個(gè)序列值具有不確定性，但整個(gè)序列的變化卻是存在一定規(guī)律的，可以用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型近似描述：

yt=c+1yt-1+2yt-2+…+pyt-p+μt-θ1μt-1-θ2μt-2-…-θqμt-q（3）

ARMA模型要求用于預(yù)測的時(shí)間序列是隨機(jī)平穩(wěn)的。平穩(wěn)性（Stationarity）是一個(gè)重要的簡化假設(shè)，它要求過程處于某個(gè)特別的“統(tǒng)計(jì)平衡”狀態(tài)。假如一個(gè)隨機(jī)過程的性質(zhì)不受時(shí)間起點(diǎn)變化的影響，那么我們稱它為絕對平穩(wěn)。ARMA模型與其他預(yù)測模型相比，其特點(diǎn)主要體現(xiàn)于：

（1）ARMA模型只需考慮時(shí)間歷史數(shù)據(jù)所包括和顯示的信息，對其他相關(guān)的指標(biāo)不需多做考慮；

（2）ARMA模型尤其適用于對時(shí)間歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行短期預(yù)測；

（3）ARMA模型不考慮其他相關(guān)變量的影響，因此預(yù)測方法簡明易行，由于其預(yù)測精度較高，預(yù)測結(jié)果準(zhǔn)確，因此在對金融時(shí)間序列做預(yù)測工作時(shí)被大量采用。

1.2模型建立準(zhǔn)則

對于滯后長度的確定有一定的標(biāo)準(zhǔn)，滯后階數(shù)通常根據(jù)AIC準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則判斷。

AIC準(zhǔn)則是赤池信息準(zhǔn)則，該項(xiàng)準(zhǔn)則運(yùn)用下式的統(tǒng)計(jì)量評價(jià)模型的好壞：AIC=-2L/n+2K/n，其中L是對數(shù)似然值，n是觀測值數(shù)目，K是被估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)，AIC的大小取決于L和K，選取標(biāo)準(zhǔn)是：K取值越小，AIC越小；L取值越大，AIC值越小。K小意味著模型簡潔，L大意味著模型精確。SC準(zhǔn)則是施瓦茲準(zhǔn)則，其檢驗(yàn)思想也是通過比較不同分布滯后模型的擬合優(yōu)度來確定合適的滯后期長度。檢驗(yàn)過程是：在模型中逐期增加滯后變量，直到SC值不再降低時(shí)為止，此時(shí)選取的則為使SC值達(dá)到最小的滯后期K。因此，AIC和SC的準(zhǔn)則要求其越小越好。具體檢驗(yàn)方法為：多取幾次滯后建立模型，各模型都會有一個(gè)AIC和SC統(tǒng)計(jì)量，取其最小的統(tǒng)計(jì)量所對應(yīng)的階數(shù)（原值最小化原則）。

因此，建模思想可分為四個(gè)步驟：一是序列的預(yù)處理，對建模序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，若為非平穩(wěn)序列則通過差分處理得到平穩(wěn)條件；二是根據(jù)自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)系數(shù)（PACF），結(jié)合AIC和SC準(zhǔn)則，確定ARMA模型的階數(shù)p和q；三是估計(jì)模型待定參數(shù)并進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，若通過檢驗(yàn)，則可確定ARMA模型，若未通過檢驗(yàn)，則需重新選取模型后擬合；四是結(jié)合軟件對數(shù)據(jù)的下一步走勢進(jìn)行預(yù)測。

2模型建立

模型建立的方法通常使用由Box和Jenkins（1976）所建議的方法，其實(shí)質(zhì)是：將某個(gè)時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)（SACF）和樣本偏自相關(guān)函數(shù)（SPACF）的行為與各種理論ACF和PACF的行為相匹配，從中挑選出最優(yōu)匹配，估計(jì)模型的未知參數(shù)μt～WN（0，σ2t），通過檢查從模型擬合得到的殘差，以發(fā)現(xiàn)并有效排除可能出現(xiàn)的建模錯誤。在此基礎(chǔ)上，我們選取另一種更為直觀的建模方法：考慮模型的p值和q值，在最大建模范圍的值和值的基礎(chǔ)上選擇一組模型，對每個(gè)可能的模型依次進(jìn)行估計(jì)，最后是模型的選擇，標(biāo)準(zhǔn)是將某個(gè)以擬合度為基礎(chǔ)的選擇標(biāo)準(zhǔn)最小化。

表1自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)與模型類型的關(guān)系

ACF

PACF截尾拖尾

截尾MA

拖尾ARARMA

2.1數(shù)據(jù)的選取

選取山東1980—2014年的糧食產(chǎn)量（OUTPUT），數(shù)據(jù)來自《山東統(tǒng)計(jì)年鑒》、山東省農(nóng)業(yè)廳，用ARMA模型進(jìn)行實(shí)證分析。糧食產(chǎn)量的走勢圖如圖1所示。

圖1糧食產(chǎn)量走勢圖

2.2數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

自相關(guān)函數(shù)與過程的均值和方差一起，共同表現(xiàn)了平穩(wěn)隨機(jī)過程的特征。因此，自相關(guān)函數(shù)通過測量過程的某個(gè)值與歷史值的相關(guān)程度，顯示了過程的“記憶”長度和力度。

用Eviews軟件對歷史數(shù)據(jù)檢驗(yàn)，得到AC和PAC的相關(guān)系數(shù)圖，如圖2。

圖2output的自相關(guān)分析

由圖2可知糧食產(chǎn)量經(jīng)歷了“增長-下降”的演變軌跡，即OUTPUT序列存在明顯的上升趨勢，故可初步判斷不是平穩(wěn)時(shí)間序列。

圖3output的ADF驗(yàn)結(jié)果

由圖3也可以看出序列沒有通過ADF檢驗(yàn)，OUTPUT序列為非平穩(wěn)序列。

可以通過差分的方法使其平穩(wěn)化，對OUTPUT一階差分（Δoutput）后，再用ADF法進(jìn)行檢驗(yàn)，Δoutput序列通過檢驗(yàn)，可認(rèn)為差分后序列Δoutput是平穩(wěn)的，如圖4。

圖4Δoutput的ADF檢驗(yàn)結(jié)果

2.3模型的定階

（1）對序列output進(jìn)行一階差分消除趨勢變?yōu)槠椒€(wěn)序列，得到相關(guān)圖。

圖5Δoutput的自相關(guān)分析

從圖5中我們看出ACF和PACF值均沒有明顯的截尾性，故我們選用ARMA模型，p和q的值則需用AIC準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則判斷確定。

（2）根據(jù)AIC準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則最小化來確定模型ARMA（p，q）。

利用Eviews軟件分析，經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)，ARMA（2，1）過程的AIC=13.76595和SC=13.94734都是最小的（見圖6），故選取ARMA（2，1）模型作為預(yù)測模型，計(jì)算得出的估計(jì)結(jié)果如下：

output=4217.345+1.6387outputt-1-06723outputt-2+μt-0.9605μt-1

（4）

R2=0.8570，DW=2.00，F(xiàn)=57.94

圖6ARMA（2，1）的參數(shù)估計(jì)

估計(jì)結(jié)果表明，R2，DW值，F(xiàn)檢驗(yàn)的相伴隨概率均符合要求，說明模型擬合度較好。

3模型檢驗(yàn)

選取ARMA（2，1）模型后，還應(yīng)對其殘差序列進(jìn)行檢驗(yàn)。

圖7殘差的自相關(guān)性

圖8ARMA模型的殘差檢驗(yàn)圖

從圖7和圖8中可得知，殘差序列不存在自相關(guān)

的概率達(dá)92%，已達(dá)到90%以上。對其殘差的AC值和Q統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其殘差自相關(guān)系數(shù)基本在0附近，且Q值基本通過檢驗(yàn)，殘差不存在相關(guān)性，說明殘差序列是白噪聲序列。因此模型基本符合要求。

4模型預(yù)測和分析

根據(jù)模型對山東省糧食產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測，Eviews軟件提供了動態(tài)預(yù)測和靜態(tài)預(yù)測兩種預(yù)測方法，考慮到ARMA模型預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性，我們采用一步向前靜態(tài)預(yù)測方法。預(yù)測結(jié)果如圖9所示。

圖9預(yù)測值與實(shí)際觀測值對比圖

從圖9中可以看出，預(yù)測值與實(shí)際觀測值的平均相對誤差（MAPE）為4.3277<10，符合標(biāo)準(zhǔn)要求，說明模型預(yù)測的精度較好。利用ARMA模型并借助相應(yīng)軟件可以對某些時(shí)間序列問題進(jìn)行研究和預(yù)測分析，針對分析結(jié)果提出合理的決策和建議，從而保障市場的平穩(wěn)運(yùn)行和消費(fèi)者生活的穩(wěn)定。

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