淺談中考中常見的幾類最值問題的解決方法

劉曉霞

一、二次函數(shù)最值的求法

二、幾何形最值問題

例1（2013·新疆）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD的周長最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若點(diǎn)E是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析：

（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，直線AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D；

（3）根據(jù)直線AC的解析式，設(shè)出過點(diǎn)E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0時(shí)，△ACE的面積最大，然后求出此時(shí)與AC平行的直線，然后求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該直線與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，再求出AF，再根據(jù)直線l與x軸的夾角為45°求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解。

本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，亮點(diǎn)在第三問，解法一利用軸對(duì)稱確定最短路線問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，利用平行線確定點(diǎn)到直線的最大距離問題.解法二構(gòu)造二次函數(shù)表示出線段DE及的S△AEC函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求面積的最大值。

三、商品利潤最值問題

例2 （2010武漢）某賓館有50個(gè)房間供游客住宿，當(dāng)每個(gè)房間的房價(jià)為每天180元時(shí)，房間會(huì)全部住滿。當(dāng)每個(gè)房間每天的房價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑。賓館需對(duì)游客居住的每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用。根據(jù)規(guī)定，每個(gè)房間每天的房價(jià)不得高于340元。設(shè)每個(gè)房間的房價(jià)每天增加x元（x為10的正整數(shù)倍）。

（1） 設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；

（2） 設(shè)賓館一天的利潤為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3） 一天訂住多少個(gè)房間時(shí)，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？

答：一天訂住34個(gè)房間時(shí)，個(gè)房間時(shí)， 賓館每天利潤最大，最大利潤是10880元。

本題根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)造二次函數(shù)，并非僅通過二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求最值，而是在給定自變量取值范圍內(nèi)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及圖像求二次函數(shù)的最值。