隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用

黃基廷

摘 要：本文結(jié)合實(shí)際例子闡述了數(shù)學(xué)期望在投資、求職、試驗(yàn)等決策方面中的應(yīng)用，展示了數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策中的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望；隨機(jī)變量；經(jīng)濟(jì)決策；應(yīng)用

數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量一種數(shù)字特征，它代表著隨機(jī)變量總體取值中的平均水準(zhǔn).因?yàn)闆Q策方案問題就是將數(shù)學(xué)期望最大的方案當(dāng)作最佳方案并加以決策的問題，所以數(shù)學(xué)期望也越來(lái)越多的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)決策中。本文擬結(jié)合實(shí)例講解數(shù)學(xué)期望在投資、求職、試驗(yàn)等決策方面中的應(yīng)用，展示經(jīng)濟(jì)決策中數(shù)學(xué)期望的作用。

1.投資中的應(yīng)用

無(wú)論是從計(jì)劃還是決策觀點(diǎn)來(lái)看數(shù)學(xué)期望都是極其重要的。假設(shè)知道任一方案Aj（j=1，2，…，m）在每一自然狀況（影響因素）Si（i=1，2，…，n）發(fā)生的情形中，實(shí)施方案Aj后產(chǎn)生的盈利值p（Si，Aj），和各自然狀況發(fā)生的概率p（Si），則可以對(duì)各個(gè)方案的期望盈利作出比較：Εp（Aj）=∑ni=1p（Si）p（Si，Aj）（j=1，2，…，m），選擇出最佳方案，即期望盈利最高的。

1.1 最佳進(jìn)貨量的問題

如果在每個(gè)月初，商業(yè)大廈儲(chǔ)存某一商品y個(gè)單位，且每售出一個(gè)單位可以得到c元利潤(rùn)，但若到月末有一單位售不出去，則虧損e元。假設(shè)這個(gè)需求量是一個(gè)不定的變量ε，且接近于服從均勻分布，即：

ε～p（x）=1b-a，a≤x≤b0，其它

那么該商業(yè)大廈每月初需儲(chǔ)存多少單位該商品才可將利潤(rùn)的期望值達(dá)到最大？

分析 設(shè)該商品儲(chǔ)存的單位量為y，利潤(rùn)則為L(zhǎng)=f（ε），那么：

L=f（ε）=cy，ε≥ycε-e（y-ε），ε

所以，利潤(rùn)的期望值為：

E（L）=∫+∞-∞f（x）p（x）dx=1b-a∫baf（x）dx=1b-a[∫ya（cε-e（y-ε））dx+∫bycydx]

=1b-a[（ea+bc）y-12（c+e）（y2-a2）]

由于[Ε（L）]′y=1b-a[（ea+bc）-y（c+e）]。令[Ε（L）]′y=0，得y0=a+c（b-a）c+e。

又因?yàn)閇Ε（L）]″y<0，所以當(dāng)y=y0=a+c（b-a）c+e時(shí)，期望利潤(rùn)值取最大值。

例1 設(shè)某一百貨商場(chǎng)經(jīng)銷的某種商品，每月的需求量x在100到300范圍內(nèi)等可能取值，該商品也在100到300范圍內(nèi)等可能的取值（每月只在月初進(jìn)一次貨）。商場(chǎng)每銷售一單位的商品可以獲得500元的利潤(rùn)。但是，若供大于求，則削價(jià)處理，每處理一單位的商品虧損100元；如果供不應(yīng)求，可從外單位調(diào)撥，此時(shí)一單位商品可以獲得的利潤(rùn)為300元?，F(xiàn)在要做的是估計(jì)進(jìn)貨量為多少的時(shí)候，商場(chǎng)可以獲得最佳的利潤(rùn)？而且最大利潤(rùn)的期望值是多少？

分析 由于這種商品的需求量x是不確定的，即是一個(gè)隨機(jī)變量，而且它在區(qū)間[100，300]上均勻分布，而銷售該商品的利潤(rùn)值y是x的函數(shù)，所以這也作為隨機(jī)變量之一。題目所牽涉到的最佳利潤(rùn)僅僅是利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，即平均利潤(rùn)的最大值。因此，這個(gè)問題的求解過程是，先確定y和x的函數(shù)關(guān)系，再求出y的期望值Εy，最后利用極值的方法求出Εy的極大值點(diǎn)以及極大值。

先假設(shè)每月的進(jìn)貨量為a，則

y=500a+300（x-a），當(dāng)x≥a500x-100（a-x），當(dāng)x

利潤(rùn)y的數(shù)學(xué)期望為：

Εy=1200∫a100（600x-100a）dx+1200∫300a（200a+300x）dx

=-0.75a2+350a+52500

令dΕyda=-1.5a+350=0 得：a=7003≈233

所以maxΕy=-0.75×70032+350×7003+52500≈93333（元）

由以上結(jié)果可知，月最佳進(jìn)貨量為233單位。最大利潤(rùn)的期望值為93333元。

1.2 機(jī)器故障問題

現(xiàn)今是科技日益發(fā)展的時(shí)代，越來(lái)越多的工廠已經(jīng)或正在完全機(jī)械化。在投資生產(chǎn)的時(shí)候，不得不考慮機(jī)器出故障的可能性，以及在故障出現(xiàn)后的損失情況，以便計(jì)算在一段時(shí)間內(nèi)可能獲得的利潤(rùn)值。這些都可通過數(shù)學(xué)期望來(lái)解決。

例2 假設(shè)一部機(jī)器某天中發(fā)生故障的概率為0.2，該機(jī)器一旦發(fā)生故障將全天停工，如果每個(gè)星期5個(gè)工作日該機(jī)器均無(wú)故障，工廠能獲得利潤(rùn)10萬(wàn)元，發(fā)生一次故障可獲利5萬(wàn)元，發(fā)生2次故障不盈利也沒有虧損，而發(fā)生3次及以上次數(shù)的故障，工廠虧損2萬(wàn)元，求工廠每周的期望利潤(rùn)。

所以該工廠每個(gè)星期的期望利潤(rùn)是5.216萬(wàn)元。

1.3 保險(xiǎn)問題

例3 某保險(xiǎn)公司有對(duì)摩托車作出保險(xiǎn)，設(shè)已知每年賠償該保險(xiǎn)用戶一萬(wàn)元的概率是0.0002，賠償五千元的概率為0.02，賠償2500元的概率為0.06，假設(shè)不考慮其它費(fèi)用，該保險(xiǎn)公司預(yù)期平均每一保險(xiǎn)用戶需繳納多少的保險(xiǎn)費(fèi)比較合適？

分析 如果這個(gè)保險(xiǎn)公司對(duì)每個(gè)保險(xiǎn)用戶的補(bǔ)償金額為ε（單位：元），則ε是隨機(jī)變量，且這個(gè)分布列為：

ε的數(shù)學(xué)期望值為：

這表示保險(xiǎn)公司預(yù)期對(duì)每哥參保客戶戶賠償?shù)钠骄痤~是252元。假設(shè)保險(xiǎn)公司預(yù)期從每個(gè)參?？蛻羯砩掀骄嗌伲敲疵磕昃驮撌杖∶總€(gè)參保客戶保險(xiǎn)費(fèi)應(yīng)收取盈利額加上期望值。當(dāng)然也要考慮保險(xiǎn)用戶的接受程度。

1.4 股票問題

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，一種與之息息相關(guān)的產(chǎn)業(yè)也相應(yīng)的得到了飛速的發(fā)展，那就是股票。炒股的利潤(rùn)吸引了很多人都投入到炒股中來(lái)，并隨著股市的浮沉而或喜或憂。在購(gòu)買股票的時(shí)候，不可避免的會(huì)考慮到經(jīng)濟(jì)形勢(shì)帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)問題，一時(shí)難以做出選擇。利用數(shù)學(xué)期望可幫助人們作出一些決策。

例4 某人投資100萬(wàn)元，期限一年。有兩種方法可以投資：一種是將這100萬(wàn)購(gòu)買股票；二是將這100萬(wàn)存入銀行從而產(chǎn)生利息。買股票的收益由經(jīng)濟(jì)形勢(shì)而決定，如果經(jīng)濟(jì)形勢(shì)樂觀能夠收益40萬(wàn)元，形勢(shì)中等的話能夠收益10萬(wàn)元，形勢(shì)不好的話則會(huì)虧損20萬(wàn)元。如果將這一百萬(wàn)元存入某銀行，假設(shè)利率為百分之八，那么利息就有8萬(wàn)元，再假設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)樂觀、中等、不良的概率分別為30%、50%、20%。試問選擇哪一種投資方案能夠使投資的利潤(rùn)達(dá)到最大化？

分析 由該命題可知，在經(jīng)濟(jì)形勢(shì)樂觀和中等的情況下，購(gòu)買股票進(jìn)行投資是最合理的選擇；然而，假設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)低迷，那么存入銀行的這種投資方案就顯得相對(duì)保險(xiǎn)。然而現(xiàn)實(shí)社會(huì)當(dāng)中不可能僅僅出現(xiàn)一種形勢(shì)，我們也不知道哪種情況會(huì)出現(xiàn)，因此，要選擇獲利效益大的方案，就要比較這兩種方案的投資獲利的期望值的大小。

存入銀行獲利的期望是：Ε1=8（萬(wàn)元）。

購(gòu)買股票的概率分布列為：

經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好不好差

獲利（萬(wàn)元）4010-20

概率0.30.50.2

則它的獲利期望是：Ε2=40×0.3+10×0.5+（-20）×0.2 =13（萬(wàn)元）

因?yàn)棣?>Ε1，所以相對(duì)而言購(gòu)買股票的期望收益大于存入銀行，這時(shí)就應(yīng)該將這一百萬(wàn)元投入股票購(gòu)買。

2.求職決策中的應(yīng)用

面對(duì)日益慘烈的求職競(jìng)爭(zhēng)，誰(shuí)都希望少走彎路，少用時(shí)間，盡可能快地?fù)Q來(lái)更高的成功率。利用數(shù)學(xué)期望可幫助人們做足功課，避免盲目，從而更加有針對(duì)性地進(jìn)行求職。

例5 假設(shè)三家單位都為某一本科畢業(yè)生提供了面試的機(jī)會(huì)，將面試的時(shí)間進(jìn)行排序，這三家單位分別分為A，B，C，每家單位都有極好，好和一般的三種職位，每家單位根據(jù)面試的情況來(lái)決定給以面試人哪一種職位或是拒絕其求職。如果規(guī)定求職與面試雙方需在面試之后立即決定某種職位是否提供接受和拒絕，且規(guī)定不可以毀約。咨詢專家，評(píng)測(cè)該畢業(yè)生的學(xué)業(yè)成績(jī)和綜合素質(zhì)后認(rèn)為，他能夠獲得極好、好、一般職位的可能性分別為0.2、0.3、0.5。三家公司的工資數(shù)據(jù)如下：

這位畢業(yè)生如果把獲得工資數(shù)大小看做首要條件的話，那么他在每家公司面試時(shí)，對(duì)這些公司提供的各種職位要做出哪些對(duì)策？

分析 由于每個(gè)公司的面試時(shí)間有先后順序，而且從A公司起，使得這個(gè)畢業(yè)生在選擇A公司三種職位時(shí)必須考慮后面B，C公司提供的工資待遇。同樣在B公司面試后，也一定要想到之后C公司的情況，如此就要先從C公司開始分析。由于C公司的工資期望值為：

Ε1=4000×0.2+3000×0.3+2500×0.4+0×0.1=2700（元）

再分析B公司。由于B公司的一般職位的這種工資只有二千五百元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司極好及好的職位，否則就到C公司應(yīng)聘，如此決策時(shí)，他的工資的期望值為：

Ε2=3900×0.2+2950×0.3+2700×0.5=3015（元）

最后考慮A公司。由于A公司只有極好職位的工資超過三千零一十五元，所以他只能接受A公司的極好這種職位，否則就到B公司去應(yīng)聘。

他的總決策是這樣的：先去A公司應(yīng)聘，若A公司提供極好的職位就接受，否則就去B公司應(yīng)聘；若B公司提供極好或好的職位就接受；否則去C公司應(yīng)聘，接受C公司提供的任何職位。在這一策略下，他的工資的期望值為：

Ε3=3500×0.2+3015×0.8=3112（元）

3.試驗(yàn)決策中的應(yīng)用

在實(shí)驗(yàn)決策問題中，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)的結(jié)果只有兩種：成功或者失敗。但是由于成功的實(shí)驗(yàn)和失敗的實(shí)驗(yàn)的花費(fèi)并不是一樣的。而且不同的實(shí)驗(yàn)花費(fèi)不同，結(jié)果也不盡相同。可利用數(shù)學(xué)期望可分析各種方案的期望值。再根據(jù)期望值的大小選擇方案。

例 6 如果成功投資生產(chǎn)某一新的工藝流程能夠獲利三百萬(wàn)元，但在投入生產(chǎn)以前，必須通過小型實(shí)驗(yàn)還有中型試驗(yàn)，經(jīng)費(fèi)分別需要小型實(shí)驗(yàn)二萬(wàn)元和中型實(shí)驗(yàn)三十六萬(wàn)元。小型試驗(yàn)成功概率為百分之七十。若連續(xù)兩次進(jìn)行，那么成功概率將提升至百分之八十，在小型試驗(yàn)之基礎(chǔ)上進(jìn)行的中型試驗(yàn)的成功率是百分之七十。如果直接搞中型試驗(yàn)的成功率為百分之五十。應(yīng)如何決策，才能獲利最多？

分析 （1）進(jìn)行一次小型實(shí)驗(yàn)和進(jìn)行一次中型試驗(yàn)，這時(shí)這個(gè)工程的所有可能出現(xiàn)的情況及和概率解析如下：

（2）兩次小型試驗(yàn)和一次中型試驗(yàn)，此時(shí)工程的所有可能情況及其概率如下：

（3）若急功近利，舍去小型試驗(yàn)，直接開始中型試驗(yàn)，那么這個(gè)工程的全部可能出現(xiàn)的情況及其概率如下：

綜合上面三種方案，比較可以得到Ε2>Ε1>Ε3。即第二方案的數(shù)學(xué)期望值是最大的，顯然，這時(shí)采取第二方案最有利。

從以上例子可看出，許多經(jīng)濟(jì)決策問題通過數(shù)學(xué)期望都可迎刃而解，數(shù)學(xué)期望已是經(jīng)濟(jì)決策中不可缺少的一部分。（作者單位：河池學(xué)院數(shù)統(tǒng)學(xué)院）

[資助項(xiàng)目]廣西高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目立項(xiàng)2014JGA209、廣西教育廳科研立項(xiàng)項(xiàng)目201010LX464、河池學(xué)院碩士專業(yè)學(xué)位建設(shè)基金課題2015YTB003

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