一類非線性微分方程耦合系統(tǒng)無窮邊值問題解的存在性

張海燕，李耀紅

（宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 宿州 234000）

令（E，‖·‖）是Banach空間，考慮E中一階非線性微分方程耦合系統(tǒng)無窮邊值問題：

這里J=[0 ,+∞),f,g∈C[J×E×E,E],α,β＞ 1.

近年來，微分方程耦合系統(tǒng)受到廣泛關(guān)注，獲得許多有價值的結(jié)果.如在無窮區(qū)間上，文［1-4］獲得了微分方程耦合系統(tǒng)解的存在性或多解性；在分?jǐn)?shù)階情形下，文［5-8］也獲得許多微分方程耦合系統(tǒng)的可解性結(jié)論.但上述文獻(xiàn)中微分方程系統(tǒng)的耦合性主要是指非線性項中變量的耦合，對邊值條件的耦合性研究相對較少.注意到耦合邊值條件在反擴散問題、熱學(xué)問題、流體力學(xué)等應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.本文將利用M?nch不動點定理，結(jié)合一個新的比較結(jié)果，研究非線性微分方程耦合系統(tǒng)無窮邊值問題（1），其非線性項和邊值條件均具有耦合性.

1 預(yù)備知識和引理

記C［J，E］={u：J→E|u（t）連續(xù)}，C1［J，E］={u：J→E|u（t）連續(xù)且一階可微}.令BC［J，E］={u∈C［J，E］|X=BC[J,E]×BC[J,E], 則 易 知BC[J,E]和X分 別 在 范 數(shù)和‖(u,v)‖X=‖u‖B+‖v‖B下為一Banach空間.定義算子T：X→X如下

其中

若（u，v）∈X且滿足（1），則稱（u，v）為邊值問題（1）的解.對Banach空間中的有界集C，用α（C）衷示Ku?ratowski非緊性測度［9］.另記Br={(u,v)∈X|‖ (u,v‖X≤r}(r＞ 0).

為方便下文，給出幾個需要用到的引理.

引理1若f,g∈C[J×E×E,E]，則 (u,v)∈BC[J,E]?C1[J,E]×BC[J,E]?C1[J,E]是耦合系統(tǒng)（1）的解有且僅當(dāng)(u,v)是T(u,v)=(u,v)在X中的不動點.

證明若(u,v)是耦合系統(tǒng)（1）的解，則直接對耦合系統(tǒng)（1）前兩式兩邊直接從0到t積分，可知

令t?∞，則有

將邊值條件u(∞)=αv(0),v(∞)=βu(0)代入式（6），直接解方程組計算可知

將式（7）（8）代入式（5），易知u(t)=T1(u,v),v(t)=T2(u,v)，即 (u,v)是T(u,v)=(u,v)的不動點.反之，若 (u,v)是T(u,v)=(u,v)的不動點，則對等式兩邊求導(dǎo)，容易驗證(u,v)滿足系統(tǒng)（1）.命題得證.

引理2［2］若m(t),γ(t)∈C[J,J],m(t)是有界函數(shù)，，且有

其中M1≥0,M2,M3＞0，則

引理 3［9］若H是C[J0,E](J0=[0,b]?J)中的可數(shù)可測集，對任給x∈H，存在ρ(t)∈L[J0,J]，使得‖x(t)‖≤ρ(t),t∈J0，則有α(H(t))∈L[J0,J]，且

引理4［10］若B={un}?C[J,E](n=1,2,…)，存在ρ(t)∈L[J,J]，使得 ‖u‖n(t)≤ρ(t)(t∈J,n=1,2,…)，則有α(B(t))在J上可積，并且

引理5［10］設(shè)下文（A1）成立，H是E中的有界集，則，其中αE(TiH)表示TiH(i=1,2)在E中的非緊性測度.

注1由（2）式及引理5易知，αE(TH)≤αE(T1H)+αE(T2H).

引理6［11］（M?nch定理）設(shè)E是Banach空間，Ω?E是有界開集，θ∈Ω,A:E→E是一個連續(xù)算子，且滿足下列條件：

（1）x≠λAx,?λ∈[0,1],x∈ ?Ω；

（2）由H?可數(shù)及H?({θ}?A(H))可推出H為相對緊集.則A在Q中至少有一個不動點.

引理7［12］設(shè)D和F是E中的有界集，則α(D×F)=max{α(D),α(F)}，其中α和α分別為E×E和E中的Kuratowski非緊性測度.

2 主要定理

為方便，先給出下列假設(shè)：

（A1）f,g∈C[J×E×E,E]，且存在ai(t),bi(t)∈L[J,J](i=1,2,3)，使得

（A2）對 ?t∈J和H1,H2?Br，存在ci(t),di(t)∈L[J,J](i=1,2)，使得

定理1若條件（A1）-（A2）成立，則耦合系統(tǒng)（1）在BC[J,E]?C1[J,E]×BC[J,E]?C1[J,E]中至少有一個解.

證明由引理l知，只需證明算子T在X中至少有一個不動點.首先證明

是X中的有界集.事實上，對任給的(u,v)∈Ω0，則相應(yīng)地存在0≤λ0≤1，使得

當(dāng)t∈J=[0,+∞)時，由式（3）（4）（9）及假設(shè)（A1）得

故由引理2知

令R＞M，取

則Ω是X中的有界開集，且(θ,θ)∈Ω.由R的取法可知，對任何(u,v)∈?Ω,(u,v)≠λT(u,v),?λ∈[0,1].即引理6的條件（1）滿足.

下面驗證引理6 的條件（2）滿足.設(shè)H?為可數(shù)集且由非緊性測度的性質(zhì)，結(jié)合引理3-4，引理7及假設(shè)（A2），可知

這里ρ(s)=c1(s)+c2(s),w(s)=d1(s)+d2(s).

由H的定義及引理5有

于是由引理l知，α(H(t))=0,t∈J.即H是Ω中的相對緊集，于是引理6的條件（2）滿足.又注意f,g的連續(xù)性，顯然T是連續(xù)算子.故由引理6知，算子T在Ω內(nèi)至少有一個不動點.從而耦合系統(tǒng)無窮邊值問題（1）至少有一個解.證畢.

例1考慮一階非線性微分方程耦合系統(tǒng)無窮邊值問題：

則耦合系統(tǒng)無窮邊值問題（12）至少有一個解.

證明令E={x=(x1,x2,…,xn,…)|xn∈J,xn→0}，對x∈E，令顯然耦合系統(tǒng)（12）可轉(zhuǎn)化為X中的系統(tǒng)

其中

而

顯然f,g∈C[J×E×E,E].

則可令

［1］CHEN Xu，ZHANG Xingqiu.Existence of positive solutions for singular impulsive differential equations with integral boundary conditions on an infinite interval in Banach spaces［J］.Electron J Qual Theory Differ Eq，2011（29）：1-18.

［2］張海燕，張祖峰.Banach 空間中一階非線性微分方程組無窮邊值問題解的存在性［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2011，45（4）：529-533.

［3］湯小松，王志偉，羅節(jié)英.Banach空間中一階脈沖微分方程組的無窮邊值問題解的存在性唯一性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，35（6）：802-808.

［4］李耀紅，張祖峰.無窮區(qū)間上一階非線性脈沖微分方程組邊值問題的多個正解［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，48（2）：171-175.

［5］LI Yaohong，WEI Zhongli.Positive solutions for a coupled systems of mixed higher-order nonlinear singular fraction?al differential equations［J］.Fixed Point Theory，2014，15（1）：167-178.

［6］申騰飛，宋文耀.一類分?jǐn)?shù)階微分方程系統(tǒng)邊值問題正解的存在性［J］.常熟理工學(xué)院學(xué)報，2012，26（4）：28-34.

［7］程玲玲，劉文斌.帶有p-Laplace 算子分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題解的存在性［J］.湖北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2013（1）：48-51.

［8］曹競文，胡衛(wèi)敏.兩點分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題的解［J］.江漢大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，42（3）：23-26.

［9］GUO Dajun，LAKSHMIKANTHAM V，LIU Xinzhi.Nonlinear integral equations in abstract spaces［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publisher，1996.

［10］劉振斌，劉立山.Banach 空間中一階非線性微分方程組無窮邊值問題解的存在性［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，2007，50（1）：97-104.

［11］DEIMLING Klaus.Nonlinear functional analysis［M］.Berlin：Spring-Verlag，1985.

［12］GUO Dajun，LAKSHMIKANTHAM V.Coupled fixed points of nonlinear operators with applications［J］.Nonlinear Analy?sis：TMA，1987，11（5）：623-632.