構(gòu)造法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

陳冬君，張 云

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

所謂構(gòu)造法就是在研究有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，需要構(gòu)造并解出一個(gè)合適的輔助問題，從而用它來求得一條通向表面看來難于接近問題的通道的一種解答問題的方法.構(gòu)造法是解決數(shù)學(xué)問題的一種基本且行之有效的方法，具有兩個(gè)特點(diǎn)，即直觀性和有效性.歷史上利用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)難題的例子層出不窮，例如古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得利用構(gòu)造法巧妙給出數(shù)論中最基本定理“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無窮的”：又如，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉利用構(gòu)造圖論的模型解決著名的哥尼斯堡七橋問題.目前，構(gòu)造法在各個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)課程方面的教學(xué)研究論文很多，見文獻(xiàn)［1-4］.

數(shù)學(xué)菲爾茲獎(jiǎng)得主丘成桐博士曾經(jīng)說過，“不等式是分析的精華”.不等式在數(shù)學(xué)研究中的地位和作用可見一斑.本文主要目的是在線性代數(shù)的觀點(diǎn)下，通過恰當(dāng)合理地構(gòu)造矩陣且結(jié)合矩陣的特征值、奇異值等一些經(jīng)典結(jié)果給出一些經(jīng)典不等式的簡(jiǎn)潔證明，從而體會(huì)在線性代數(shù)的觀點(diǎn)下，讓學(xué)生感受到構(gòu)造法在證明一些經(jīng)典不等式中的精妙之處.

首先給出關(guān)于矩陣的一些基本概念和定理.

我們用Cn和Rn分別表示全體n維復(fù)向量和實(shí)向量組成的線性空間.記Mm,n為m×n階復(fù)矩陣的全體，特別地，Mn,n被簡(jiǎn)記為Mn表示n階方陣的全體.用Hn表示n階Hermite矩陣構(gòu)成的集合，對(duì)于A∈Hn總是將它的特征值按降序排列并記為λ1(A)≥λ2(A)≥…≥λn(A)且記λ(A):=(λ1(A),…,λn(A)).A∈Mn的奇異值定義為A*A的特征值的非負(fù)平方根，稱為A的絕對(duì)值，因此A的奇異值就是|A|的特征值.我們總是用s1(A)≥s2(A)≥…≥sn(A)表示A∈Mn的奇異值且記s(A):=(s1(A),(s2(A),…,sn(A)).對(duì)于任意的A∈Mn及任意的酉矩陣U,V∈Mn，有s(UAV)=s(A).因此，對(duì)于正規(guī)矩陣而言，它的奇異值就是它的特征值的模.特別地，對(duì)于半正定矩陣，奇異值和特征值是一樣的.

用表示n維非負(fù)實(shí)向量.在本文的多數(shù)情形下將Rn中的向量看成是行向量.但是，當(dāng)它們和矩陣相乘時(shí)則被看成是列向量，這種差別聯(lián)系上下文可以看出，不會(huì)引起混淆.將向量x=(x1,x2,…,xn)∈Rn的分量重新排序?yàn)閤[1]≥x[2]≥…≥x[n].下面給出向量的優(yōu)超和對(duì)數(shù)優(yōu)超的概念［5-6］.

設(shè)x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈Rn，若

則稱x被y弱優(yōu)超，記為x?wy.若x?wy可且則稱x被y優(yōu)超，記為x?y.

設(shè)x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈，若

則稱x被y弱對(duì)數(shù)優(yōu)超，記為x?wlogy，若x?wlogy且，則稱x被y對(duì)數(shù)優(yōu)超，記為x?logy.

1 構(gòu)造矩陣巧證加強(qiáng)的算術(shù)-幾何平均值不等式

一個(gè)熟知的事實(shí)是弱對(duì)數(shù)優(yōu)超蘊(yùn)涵弱優(yōu)超，

引理1［5-6］設(shè)x,y∈.則

引理2［5-6］設(shè)n階方陣A的特征值為λ1,λ2,…,λn.則

回顧算術(shù)-幾何平均值不等式的內(nèi)容：對(duì)任意的n個(gè)正實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，都有

利用構(gòu)造法給出如下的加強(qiáng)版本的算術(shù)-幾何平均值不等式.

定理3對(duì)任意的n個(gè)正實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，且x1≥x2≥…≥xn，則對(duì)于任意的正整數(shù)k，滿足1≤k≤n都有

證明構(gòu)造n階方陣A滿足在(i,i+1)位置的元素為xi,i=1,2,…,n-1和(n,1)位置的元素為xn，其余位置的元素都為0.通過直接計(jì)算可得，它的每個(gè)特征值的模都相等且都為

另一方面，根據(jù)奇異值的酉不變性，即對(duì)于任意的A∈Mn及任意的酉矩陣U,V∈Mn，有s(UAV)=s(A).容易知道s(A)=(x1,x2,…,xn).根據(jù)引理2知

容易驗(yàn)證上述對(duì)數(shù)優(yōu)超不等式中的兩個(gè)向量都屬于.因此，由引理1可得

由弱優(yōu)超的定義知，不等式（3）得證.證畢.

推論4對(duì)任意的n個(gè)正實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，且x1≥x2≥…≥xn，則對(duì)于任意的正整數(shù)k，滿足1≤k≤n都有

證明根據(jù)定理3的證明過程知，

由對(duì)數(shù)優(yōu)超的定義知，不等式（4）得證，證畢.

2 構(gòu)造矩陣巧證置換不等式

引理5［5-6］設(shè)A和B是任意的兩個(gè)n階方陣，則

定理6設(shè)x1≥x2≥…≥xn≥0,y1≥y2≥…≥yn≥0.若 π(1),π(2),…,π(n)是1，2，…，n的任意置換，則對(duì)于任意的正整數(shù)k，滿足1≤k≤n都有

證明設(shè) π(1),π(2),…,π(n)是l，2，…，n的任意給定置換.構(gòu)造n階對(duì)角矩陣A滿足

和n階對(duì)角矩陣B滿足

直接計(jì)算可得，

由引理5知，不等式（5）得證.證畢.

注1記當(dāng)k=n時(shí)，即為［3］中引理3.3的結(jié)果.

3 結(jié)束語

構(gòu)造法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)研究之中，該方法使用得當(dāng)能夠起到將問題化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用.文中利用構(gòu)造矩陣的方法結(jié)合線性代數(shù)中矩陣的優(yōu)超理論給出兩個(gè)新的不等式的證明.通過構(gòu)造法的訓(xùn)練能夠讓我們拓寬研究的思路，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，逐步讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的美妙之處，文章通過這些例子，讓學(xué)生體會(huì)如何恰當(dāng)使用構(gòu)造法解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng).讓學(xué)生通過線性代數(shù)的學(xué)習(xí)，逐步看到線性代數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題的作用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的積極性和主動(dòng)性，提高該課程的教學(xué)質(zhì)量.

［1］朱愛玲.構(gòu)造法在計(jì)算方法教學(xué)中的應(yīng)用［J］.山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008（2）：12 5-126.

［2］劉銀萍.構(gòu)造法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006（3）：85-86.

［3］李家彬.淺析用構(gòu)造法解數(shù)學(xué)題［J］.云南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009（2）：551-554.

［4］鄔洪濤，何平.構(gòu)造法在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào)（高教版），2009（11）：84-85.

［5］HORN R A，JOHNSON C R.Topics in Matrix Analysis［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1991.

［6］ZHAN X.Matrix Theory，Graduate Studies in Mathematics 147［M］.American Mathematical Society，Providence R I，2013.

［7］孫繼廣.矩陣擾動(dòng)分析［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.