創(chuàng)意平板折疊桌的設計

張鴻鋒，梁斌夢，盧結(jié)玲，李 健

（汕頭大學數(shù)學系，廣東 汕頭 515063）

創(chuàng)意平板折疊桌的設計

張鴻鋒，梁斌夢，盧結(jié)玲，李 健

（汕頭大學數(shù)學系，廣東 汕頭 515063）

本文是對2014年全國大學生數(shù)學建模競賽B題的解答，通過建立解析幾何和多目標規(guī)劃模型，對折疊桌的外形、動態(tài)變化過程等進行數(shù)學描述，并求出了給定形狀和高度的折疊桌的最優(yōu)設計參數(shù).在問題1中，將折疊桌抽象為幾何圖形，利用解析幾何知識建立理論模型，再根據(jù)實際桌子的情況，對理論模型進行修正.在問題2中，先對三個目標進行量化，并根據(jù)實際情況確定約束條件，建立多目標規(guī)劃模型，然后分別采用權系數(shù)法和進化算法NSGA-II求出多目標規(guī)劃的最優(yōu)解，得到給定折疊桌的最優(yōu)設計參數(shù).在問題3中，先用數(shù)學方程描述桌面邊緣線和桌腳邊緣線的形狀，再利用問題1的理論模型得到符合客戶要求的桌子，最后沿用問題2的目標建立多目標規(guī)劃模型，求出最優(yōu)設計加工參數(shù)和平板材料的形狀尺寸，使其既滿足客戶期望又滿足產(chǎn)品的設計指標.

折疊桌；加工參數(shù)；解析幾何；多目標規(guī)劃；多目標進化算法

0 引 言

現(xiàn)代生活中，人們對家具的要求不僅只限于它原始的功能，更注重家具的審美價值與時代精神.平板折疊桌因其存放方便、造型美觀的特點，深受人們的喜愛，折疊桌在實際生活中的應用很廣.本文根據(jù)2014年全國大學生數(shù)學建模競賽B題給定的折疊桌外形要求以及折疊過程的動態(tài)視頻，嘗試解決以下問題：

問題一：給定長方形平板尺寸為120cm×50cm×3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm.要求建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，并給出此折疊桌的設計加工參數(shù)（如桌腿木條開槽的長度）和桌腳邊緣線的數(shù)學描述.

問題二：折疊桌的設計應做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少.要求對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設計加工參數(shù)（如平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等）.對于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設計加工參數(shù).

問題三：要求開發(fā)一種折疊桌設計軟件，根據(jù)客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設計加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀.要求給出這一軟件設計的數(shù)學模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個自己設計的創(chuàng)意平板折疊桌.要求給出相應的設計加工參數(shù)，畫出至少8張動態(tài)變化過程的示意圖.

注：題目和折疊桌的外形可到全國大學生數(shù)學建模競賽官方網(wǎng)站http://www.mcm.edu.cn下載

1 模型的假設

為了方便研究，在不改變題目要求的前提下，我們對模型作以下假設：

（1）假設桌腿木條間無縫隙.

（2）鋼筋始終保持直線形態(tài)，且能自由地在木條空槽中光滑移動.

（3）忽略鋼筋的粗細程度對木條空槽長度的影響.

（4）桌腿木條的空槽長度能使桌子固定時剛好達到穩(wěn)定狀態(tài).

（5）兩組木條的長度一一對應相等，且沒有發(fā)生磨損和移位.

2 模型的建立與求解

2.1 問題一的分析

本文研究的折疊桌是：折疊前為長方形平板，折疊后的桌面近似為圓形，桌腿近似形成直紋曲面.折疊桌的動態(tài)過程可以看成從平放時的平板形狀開始，隨著桌腿木條與桌面夾角的變化，對桌腿木條和桌面等位置的描述，可用多個傾斜度對應的圖形進行展示.加工參數(shù)中的木條開槽長度可用折疊過程中鋼筋相對于所在木條的最大位移確定.本文的解答思路為：先基于解析幾何對問題進行研究，將折疊桌的桌面當成一個圓，將桌腿抽象為無數(shù)條線段，建立理論模型；然后基于理論模型，將圓形桌面外圍的齒輪形狀、桌腿的寬度和厚度、桌腿與桌面的連接位置等因素考慮進去，修正理論模型，形成實際模型.

2.1.1 模型一：理論模型

理論模型的建立過程中，本文忽略圓形桌面外圍的齒輪形狀、桌腿木條的寬度及木條與桌面的連接位置，以線段代替木條.

1）坐標系的建立

根據(jù)桌子的對稱性，我們建立右手系空間直角坐標系如圖1所示，同時也得到平放時長方形平板在xOy平面的對應坐標示意圖（見圖2）.由于折疊桌關于x軸對稱，我們只對其中圖2中位于y軸正向一組線段即圓的右面線段進行描述.容易知道，在折疊過程中，線段的長度、各點的x軸坐標、鋼筋在外側(cè)線段的中點位置不發(fā)生改變.

2）直紋曲面參數(shù)方程的建立

（1）確定線段長度與坐標軸的對應關系

假設線段的上端點（即線段與圓形桌面相交處）坐標為P0=（x0，y0，z0）,該點位于桌面圓周上，得到，線段長度l與其所對應的x軸坐標的關系：

圖1 空間直角坐標系示意圖

圖2 平放狀態(tài)下坐標系與對應參數(shù)示意圖

（2）線段的方向與鋼筋的位置

在桌子折疊的過程中，鋼筋保持直線狀態(tài)且始終與yOz平面垂直（如圖3所示），并且受外側(cè)線段牽動，所以每條線段上鋼筋的位置均可由外側(cè)線段上鋼筋的位置來確定.當折疊到最外側(cè)線段與y軸的夾角為θ，鋼筋位置在y、z坐標上長度分量由圖4可得.

圖3 折疊過程中鋼筋位置的變化

圖4 外側(cè)線段鋼筋位置示意圖

由此得到線段上的鋼筋位置P1、線段的方向和線段的上端點到鋼筋距離分別為：

（3）線段下端點坐標

對于空間線段，由上端點、線段方向和長度，即可得到下端點坐標（x，y，z）為

當P0取遍整個右（左）半圓周時，即x0取遍［-R，R］，上式確定了一條曲線.

（4）直紋曲面的參數(shù)方程

設線段上的任何點可由上端點與下端點加權得到：

當λ取遍［0，1］，表示線段P0P1，P0也取遍右（左）半圓周時，確定了整個直紋曲面.

（5）直紋曲面的一般方程

此方程揭示了用平行于桌面的平面（即固定z）截取曲面得到的圖形形狀為橢圓形.

2.1.2 模型二：實際模型

對于實際的折疊桌，基于理論模型，考慮圓形桌面外圍的齒輪形狀、桌腿的寬度和厚度、桌腿與桌面的連接位置等因素，修正理論模型，從而得到實際模型.

1）問題一的進一步分析

桌腿部分的高度為桌子高度h與桌面厚度H之差，大小為h1=50 cm.長方形平板的寬度為50 cm，每根桌腿寬度為2.5 cm，則兩組桌腿各有木條20根.

2）預處理

對于寬度為2.5 cm的木條，先假定鉸鏈連接桌腿和桌面的位置在桌面上以R為半徑的圓周，該點也為木條的中軸線（如圖5），由此可根據(jù)解析幾何知識得到每根木條的長度.但由于外側(cè)木條與桌面的接合處偏離桌面中線（x軸）較遠，此時外側(cè)木條的長度（52.2 cm）與桌面高度（50 cm）差異小，使得對應的折疊后外側(cè)木條的傾斜角接近于直角.為了使桌子更美觀，本文對最外側(cè)木條作出如圖6所示的簡單修正，使得最長的木條長度達55 cm，即l0=10 cm，l1=55 cm，圖6即為修正后對應圖形.

圖5 木條長度的確定與修正

圖6 修正后平放木板與坐標軸的對應

3）木條長度的坐標表示

假設木條上端的坐標為（x0，y0，z0），除了外側(cè)兩根木條長度為l1=55cm外，其他內(nèi)側(cè)木條長度均可表示為

4）鋼筋位置與開槽長度的確定

與理論模型相比，雖然鋼筋仍在外側(cè)木條中間位置，但由于外側(cè)木條上端點的坐標向y軸正向移動了所以鋼筋的y軸坐標是木條在xOz投影長度加上5，因此當傾斜角θ時木條上鋼筋的位置為

開槽長度可用鋼筋移動范圍的長度來確定，即開槽長度為：

根據(jù)每根木條與桌面連接點的坐標，筆者通過上式求出了右側(cè)桌腿從外到靠近y的10根木條的開槽長度，如表1所示.

表1 木條的開槽長度 cm

5）折疊桌動態(tài)過程的描述

動態(tài)過程的描述即隨傾斜角θ的變化，y軸正向木條坐標的變化.其中

外側(cè)2根木條軌跡方程為

內(nèi)側(cè)18根木條的軌跡方程為

利用MATLAB軟件[1]，我們繪出折疊桌的動態(tài)過程（傾斜角θ=0°，15°，30°，65.38°）如圖7所示。

圖7 折疊桌的動態(tài)變化過程

6）折疊桌的設計加工參數(shù)

由上述分析可得到，折疊桌的設計加工參數(shù)如表2所示.

表2 折疊桌的設計加工參數(shù)表 cm

7）桌腳邊緣曲線的描述

由式子（1）-（4）可得，桌腳邊緣線的參數(shù)方程如下：

代入上式，即可得到邊緣線的20個點，右側(cè)桌腳邊緣線形狀如圖8所示.

圖8 桌腳邊緣線圖示

2.2 問題二的分析

問題二是一個多目標規(guī)劃問題，要求確定折疊桌同時滿足穩(wěn)固性好、加工方便和用材最少三個目標的最優(yōu)設計加工參數(shù)，并給出桌高70cm，桌面直徑80cm折疊桌的最優(yōu)設計加工參數(shù).對此可先將三個目標分別討論，求出每個目標的設計參數(shù)后，可以引入權系數(shù)求取多目標的最優(yōu)參數(shù)，也可以用進化算法求解.由于桌高和桌面直徑是給定的，則本文折疊桌的桌高和桌面直徑均是已知變量.

2.2.1 多目標非線性規(guī)劃模型的建立

1）目標函數(shù)的確定

（1）目標一：穩(wěn)固性好

“穩(wěn)固性”可用四個桌腳圍成的方形區(qū)域面積與高度的比值來衡量，由于高度已給定，故可用方形區(qū)域面積來衡量，面積越大穩(wěn)固性越好，則目標函數(shù)為

（2）目標二：加工方便

“加工方便”的評判準則為加工的總槽長最短.將槽長從外側(cè)到內(nèi)側(cè)的變化簡化為由0到最大槽長的等差數(shù)列，n為木條的數(shù)量，ρ為外側(cè)木條上端到鋼筋距離占外側(cè)木條長度l1的比例，則目標函數(shù)為

（3）目標三：用材較少

“用材較少”轉(zhuǎn)化為長方形平板的體積最小，故目標函數(shù)是長、寬和厚之積.

2）約束條件的選取與確定

（1）桌面邊緣具有較長的方形區(qū)域，是受力的主體，需留有較大面積，可設定兩組桌腿木條的最外側(cè)木條至少有l(wèi)0（l0＞0為已知參數(shù)）的距離：L-2l1≥l0；

（3）桌子的高度為折疊后桌腿高度與桌面厚度之和：l1sinθ+H=h；

（4）開槽的長度要小于最短木條的長度：

（5）兩組桌腿木條的任兩根桌腳不會相撞：

（7）對于桌高為70 cm的桌子，為節(jié)約木材，厚度應小于5 cm，故最外側(cè)木條長度大于65 cm；最外側(cè)木條長度過大使得傾角小，不具實用性.即本文考慮的最外側(cè)木條的長度范圍：l1∈［65，100］；

（8）考慮占地和桌子美觀效果，設定最外側(cè)木條折疊后與桌面所在平面的夾角：θ∈［50°，85°］.

2.2.2 權系數(shù)法求解多目標規(guī)劃[2]

該目標函數(shù)的約束條件與單目標時約束條件相同.

編寫MATLAB程序[2，4]，將已知的參數(shù)l0=10 cm，h=70cm，D=80cm代入，通過改變權系數(shù)的大小，得到對應最優(yōu)解時的參數(shù)值如下表3所示.

表3 權系數(shù)與參數(shù)取值對應表

對于桌高為70 cm，桌面直徑為80 cm的折疊桌，由于篇幅限制，這里只對權系數(shù)為α=β=γ=1/3列出最優(yōu)設計加工參數(shù)，即編號為7的情況（見表4）.

表4 折疊桌最優(yōu)設計參數(shù)表 cm

2.2.3 進化算法求解多目標規(guī)劃問題[3]

上述使用權系數(shù)法時權重和最優(yōu)時參數(shù)的收斂性無法準確得到.因此我們運用具有全局收斂性的進化算法求解多目標規(guī)劃問題.通過求解該多目標優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解集，讓客戶對三個目標的權重有選擇的余地.

為了得到近似Pareto最優(yōu)解集，我們利用NSGA-II算法逼近Pareto邊界，算法流程如下：

Step1：初始化

群體pop的規(guī)模為500，進化次數(shù)為100；

Step2：遺傳操作

群體通過交叉、突變變異得到新群體pop_new；

Step3：選擇操作

把pop、pop_new合并成新群體，基于目標空間中格子的序和格子的密度選擇500個個體作為下一代；

Step4：判斷進化次數(shù)，循環(huán)運算Step2、Step3；

Step5：獲得Pareto近似最優(yōu)解.

運用上述算法流程思想，我們編寫MATLAB程序，得到了目標值進化過程如圖9所示，這說明目標值具有良好的收斂性，可由此求出最優(yōu)設計加工參數(shù).

圖9 非支配解的進化過程

2.3 問題三的分析

本問要求根據(jù)客戶給定的折疊桌高度、桌面和桌腳邊緣線的形狀三個要求，求解出最優(yōu)設計參數(shù)和平板尺寸.可先將桌腳邊緣線形狀用數(shù)學公式表示，再建立起邊緣形狀與各設計參數(shù)的關系.由于具有對稱桌腿的桌子兩側(cè)受力情況均勻，現(xiàn)實生活中的家具大多數(shù)也都是對稱形狀的，故我們研究的對象都是對稱、折疊固定后只有最外側(cè)4個桌腳與地面接觸的折疊桌.類似問題一，建立右手系空間直角坐標系.由于桌子的厚度與上述三個已知參數(shù)關系不大，我們將厚度固定為H=3 cm.人們觀察桌腳邊緣的角度通常是俯視角度的，因此我們只考慮該視角下的桌腳邊緣線形狀.

2.3.1 模型的建立

設桌面邊緣線方程為y=f（x），桌腳邊緣線在xOy平面投影方程為y=g（x）.

1）折疊桌設計參數(shù)的方程描述：

（1）最外側(cè)木條長度為；l1=（h-H）/sinθ

（3）為了從y=f（x）和y=g（x）得到平板的設計參數(shù)，亦即確定桌腿長，我們設桌腿放立時桌腳的坐標為（xi，g（xi），zi），根據(jù)木條方向與木條始末端連線向量（xi-xi， g（xi）-f（xi），zi-0）方向相同，得到值為

并由此可以得到第i根木條的長度為

（4）客戶給定的桌腳邊緣形狀方程g′（x）與g（x）的關系為

2）目標函數(shù)的確定

為了尋求最優(yōu)設計參數(shù)，類似問題二，我們考慮下列三個目標

（1）目標一：穩(wěn)固性好min（l1cosθ+f（x1））；

3）約束條件的選取

我們考慮以下三個約束情況：開槽的范圍不超過木條的底端、鋼筋位置坐標應大于桌面在y軸正半軸對應長度、折疊后桌腳不會相碰，則約束條件為

2.3.2 模型的求解

對于上述多目標規(guī)劃問題，將三個目標的權重取為1/3轉(zhuǎn)化單目標規(guī)劃問題，求出達到最優(yōu)解時θ、l1、ρ的值，進而設計出桌面邊緣形狀和桌腳邊緣形狀分別為棱形和三角形、八邊形和三角形、雙曲線和橢圓、長方形和余弦曲線等的折疊桌.

取折疊桌高度為100 cm，桌面形狀為棱形，桌腳邊緣線為三角形.進一步得到桌面邊緣線方程為桌腳邊緣線方程為，運用上述方法得到該平板折疊桌的動態(tài)變化過程如圖10所示.

圖10 棱形和三角形折疊桌動態(tài)變化過程

折疊桌放穩(wěn)時其俯視圖如圖11所示，桌面形狀為棱形，桌腳邊緣線形狀為三角形.

圖11 棱形和三角形折疊桌俯視圖

3 總結(jié)

本文通過建立了解析幾何和多目標規(guī)劃模型，完整解決了問題一、二、三.對于問題一，我們將實際折疊桌巧妙地轉(zhuǎn)化為解析幾何模型，并用數(shù)學語言進行描述得到具有一般適應性的理論模型，對之循序漸進地修正，建立符合實際折疊桌的模型.對于問題二，我們建立多目標規(guī)劃模型，一是通過設置權重轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃的求解，二是運用進化算法求解多目標規(guī)劃問題的Pareto最優(yōu)解集，后者結(jié)果更具有實用性.對于問題三，我們結(jié)合實際設計出符合客戶要求的折疊桌.本文所用到的方法應用性很強，可以推廣到相似的生產(chǎn)制造之中.

［1］蔡旭暉，劉衛(wèi)國，蔡立燕.MATLAB基礎與應用教程[M].北京：人民郵電出版社，2009.

［2］趙靜，但琦.數(shù)學建模與數(shù)學實驗[M].3版.北京：高等教育出版社，2008.

［3］鄭金華.多目標進化算法及其應用[M].北京：科學出版社，2007.

［4］卓金武.MATLAB在數(shù)學建模中的應用[M].北京：北京航空航天大學出版社，2011.

Design of Creative Folding Tables

ZHANG Hongfeng，LIANG Binmeng，LU Jieling，LI Jian
（Department of Mathematics,Shantou University,Shantou 515063,Guangdong,China）

A solution is shown in this paper for the Problem B of Contemporary Undergraduate Mathematical Contest in Modeling in 2014.Analytic geometry and multi-objective programming models are built to express mathematically the shape and dynamic process of the folding table. The optimal design parameters are shown for the folding table whose shape and height are given. For Question 1,an abstract geometric figure is built and the theoretical model is established by using the analytic geometry knowledge.The theoretical model is modified according to the actual situation of the table.For Question 2,three goals are quantified at first and the constrains are determined according to the actual situation.Multi-objective programming models are built. Optimal solutions of the multi-objective programming model are found to get optimal design parameters for the folding table by the weighted coefficient method and NSGA-II evolutionary algorithm respectively.For Question 3,the equation is used to describe the shape of edge lines from table top and legs.The theoretical models of Question 1 are used to find the folding table met the requirements of the customer.Multi-objective programming model is built by the method such as in Question 2.The optimal design parameters and the shape and size of flat are obtained, which is suitable for the customer’s expectations and product’s design indexes.

foldingtable；designparameters；analyticgeometry；multi-objectiveprogramming model；multi-objectiveevolutionaryalgorithm.

O29

A

1001-4217（2015）03-0031-121210

2014-12-03

張鴻鋒（1995一），男，廣東高州人，汕頭大學數(shù)學系2012級本科生；

李健（1985一），男，博士，講師，研究方向：拓撲動力系統(tǒng)與遍歷理論.E-mail：lijian@stu.edu.cn

汕頭大學青年科研基金資助項目（YR13001）