嫦娥三號軟著陸預(yù)測及優(yōu)化模型

吳永峰，葉 鳴，姚浩祺，韋才敏

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063）

嫦娥三號軟著陸預(yù)測及優(yōu)化模型

吳永峰，葉 鳴，姚浩祺，韋才敏

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063）

本文是對2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題的解答.本文利用動力學(xué)模型，基于變推力發(fā)動機(jī)結(jié)合螺旋搜索等算法解決了嫦娥三號軟著陸預(yù)測及優(yōu)化問題.在問題一中，首先建立物理學(xué)模型，解出嫦娥三號著陸準(zhǔn)備軌道近、遠(yuǎn)月點速度大??；然后在主減速階段，建立了主減速變推力動力學(xué)模型，對主減速階段嫦娥三號所經(jīng)過的極角θ進(jìn)行求解，加以考慮月球自轉(zhuǎn)帶來的影響，確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠(yuǎn)月點的位置以及嫦娥三號在近、遠(yuǎn)月點的速度方向.在問題二中，建立變推力發(fā)動機(jī)燃耗優(yōu)化模型對于問題一中的主減速階段進(jìn)行優(yōu)化；以安全半徑與速度增量為指標(biāo)建立綜合評價模型，求出粗避障式安全的降落范圍；精避障階段以保證安全為前提，建立評價指標(biāo)為不平坦程度與平均坡度的綜合評價模型確定精確降落區(qū)域.最后根據(jù)對每個階段建立的力學(xué)模型，進(jìn)行求解.最后綜合起來確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略.在問題三中，建立誤差模型對設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析，并且利用單因素敏感性分析對主減速階段與剩余4階段進(jìn)行自變量與因變量敏感度計算.

主減速動力學(xué)模型；變推力；螺旋搜索算法

0 引 言

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中，航空航天技術(shù)仍扮演著不可或缺的重要角色，月球作為離地球最近的天體，自古以來一直吸引著人們.要是想對月球進(jìn)行近距離乃至實地勘測，著陸器及相關(guān)軟著陸軌道設(shè)計是不可缺少的.之前成功實現(xiàn)月球軟著陸的國家也僅有美國及前蘇聯(lián)，其他國家在此方面的技術(shù)仍不算成熟.

此次由我國研制的首次裝有變推力發(fā)動機(jī)的嫦娥三號也于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道.然而參考國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)，對于恒推力發(fā)動機(jī)的月球登陸器的軌道設(shè)計的文獻(xiàn)仍占大多數(shù)，而對于變推力發(fā)動機(jī)的相關(guān)文獻(xiàn)較少.

本文依據(jù)2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題所給出的嫦娥三號的參數(shù)及所設(shè)計著陸月球前的著陸軌道的相應(yīng)基本要求，根據(jù)文獻(xiàn)[1]和[2]提出一種針對裝有變推力發(fā)動機(jī)的月球登陸器如何設(shè)計軟著陸登陸軌道的算法，建立數(shù)學(xué)模型嘗試解決以下問題：

（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠(yuǎn)月點的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向.

（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略.

（3）對于設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析.

注：題目和相關(guān)附件可到全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽官方網(wǎng)站http://www.mcm.edu.cn下載

1 基本假設(shè)

1）主減速階段，嫦娥三號按著預(yù)定著陸點方向減速.

2）所用的數(shù)據(jù)均能客觀有效地反映嫦娥三號的狀態(tài).

2 模型的建立與求解

2.1 問題一的分析

問題一要確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠(yuǎn)月點的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)的速度與方向，主要由以下步驟組成:

步驟一：計算嫦娥三號在軌道近、遠(yuǎn)月點的速度；

步驟二：首先確定著陸準(zhǔn)備軌道的位置，建立主減速動力學(xué)模型，通過該模型，判斷近、遠(yuǎn)月點的位置，以月球經(jīng)緯度進(jìn)行表示.

2.1.1 計算嫦娥三號在軌道近、遠(yuǎn)月點的速度大小[3]

由于嫦娥三號在軌道運動中只受到月球萬有引力作用，所以此時遵循機(jī)械能守恒定律，并且根據(jù)開普勒第二定律的角動量守恒定律可得出以下方程：

已知嫦娥三號的著陸準(zhǔn)備軌道為橢圓軌道，設(shè)為：

所以，ν1=1.692 2×103m/s，ν2=1.613 9×103m/s，即近日點速度為1.692 2×103m/s，遠(yuǎn)日點速度為1.613 9×103m/s.

2.1.2 確定近、遠(yuǎn)月點的位置

（1）著陸準(zhǔn)備軌道的確定

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[4]，了解到月球只有一面始終對準(zhǔn)地球，為保證探測器在月面著陸后可以連續(xù)與地面通信，著陸區(qū)應(yīng)該選擇在月球正面，且是由近月點位置下降到達(dá)著陸區(qū)，此時可以確定，嫦娥三號著陸準(zhǔn)備軌道的近月點一定位于月球與地球之間，其著陸準(zhǔn)備軌道的大致圖像為圖2.且嫦娥三號的著陸準(zhǔn)備軌道為與月球赤道傾角為90度的極軌道，可以經(jīng)過預(yù)定著陸點為（19.51W，44.12N）.說明嫦娥三號著陸準(zhǔn)備軌道的大概位置是：位于月球上一條緯度位置為19.51W的經(jīng)線上方.環(huán)月方向為：西半球自南向北，東半球自北向南.

圖1 著陸準(zhǔn)備軌道坐標(biāo)圖

圖2 著陸準(zhǔn)備軌道與地、月之間的位置

（2）建立主減速動力學(xué)模型

Step1.建立力學(xué)方程

因為，著陸準(zhǔn)備軌道近月點的高度遠(yuǎn)小于月球平均半徑，此時可以看做近月點均位于月球表面，由萬有引力公式可得月球?qū)τ阪隙鹑栁挥诮曼c的引力：

同理，由萬有引力公式可以得出，當(dāng)嫦娥三號位于著陸準(zhǔn)備軌道時，地球與其之間的引力最大為8N，遠(yuǎn)小于此時月球?qū)ζ涞囊?，因此，可以無需在模型中考慮地球重力對于嫦娥三號的影響.

根據(jù)假設(shè)，主減速階段嫦娥三號在向著預(yù)定著陸區(qū)域進(jìn)行減速，從而到達(dá)預(yù)定著陸點上空，此時嫦娥三號運動軌跡如圖3所示.

對于本文討論的變推力重力轉(zhuǎn)彎軟著陸的情況，有α-γ＝180°，且要求推力加速度a=F/m保持不變，于是可得到如下動力方程：

其中，α，γ分別為推力矢量F和下降速度矢量ν與當(dāng)?shù)厮椒较虻膴A角，從νθ軸開始演逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正.由圖2可知γ≤0，h0，hm分別重力轉(zhuǎn)彎軟著陸階段的嫦娥三號距離月面的初始和終端高度.

同時，在速度方向上有：

根據(jù)軟著陸下降的飛行路徑s和矢徑r之間的關(guān)系，如圖4所示，可以得出：

其中，V代表速度矢量的模.

圖3 嫦娥三號軟著陸下降軌道示意圖

圖4 飛行路徑與矢徑的關(guān)系

Step2.求解反推加速度a

在飛行過程中，嫦娥三號的瞬時機(jī)械能為：

結(jié)合（2）式，可以得到單位時間內(nèi)機(jī)械能的變化量

且由著陸器路程sf的表達(dá)式：

并根據(jù)重力轉(zhuǎn)彎段的終端條件：s=sf，r=rf=rm+h1，可以得到如下方程：

此時解出方程便可以得到重力拐彎階段所需要的推力加速度a.

Step3. 求解下降飛行的極角θ

下降飛行的極角θ是指嫦娥三號從初始下降點（近月點）與月心的連線開始到著陸點上空與月心的連線所劃過的角度（見圖3），求得這一角度，不僅可以利用公式得到下降飛行時的月面距離，還可根據(jù)著陸點的經(jīng)緯度，對嫦娥三號初始下降點經(jīng)緯度進(jìn)行推算.

由圖3可知，嫦娥三號的瞬時動量矩H=rVcos γ＝rνθ，結(jié)合（1）式可得到單位時間的動量矩變化量：

考慮初始條件s=0，H=H0：同時帶入重力拐彎段下降的終端條件：s=sf，θ=θf，即可得到下降飛行的極角θ：

通過式（9）就可以求解出嫦娥三號下降飛行所劃過的極角θ.

（3）主減速動力學(xué)模型求解

考慮到預(yù)定著陸點的海拔為-2 641 m，所以模型中的h1=3 000-2 641=359 m.我們令γ0∈[-89°，-1°]，以1°為步長，搜索關(guān)于極角θ的解，約束條件有：

利用MATLAB軟件對該主減速動力模型求解，求出滿足解的結(jié)果如下表1：

表1 主減速動力學(xué)模型滿足解結(jié)果

表格中的結(jié)果均滿足式（7）有解的情況，從結(jié)果可以得出，所消耗的燃料相差無幾，可以近似地看成所有的策略均滿足最低能耗.從實際考慮，嫦娥三號在主加速階段所用時間應(yīng)較短，則此時γ0=-6°時，時間為567.959 7 s，此時所走路程4.805 5×105m，同樣也為全局最小.則可以確定γ0=-6°為主減速動力模型最優(yōu)解.此時，變推力加速度a=3.008 6 m/s2，極角θ＝0.272 4 rad.

（4）嫦娥三號著陸準(zhǔn)備軌道近、遠(yuǎn)月點位置確定

由已知得，預(yù)定著陸點為（19.51W，44.12N），嫦娥三號著陸準(zhǔn)備軌道位于月球上一條緯度位置為19.51W的經(jīng)線上方.主減速階段時極角θ＝0.2724·180/π≈15.61°，即此時近月點（減速下降點）位置為月球上坐標(biāo)（19.51W，59.73N）上空15 km處或者處于坐標(biāo)（19.51W，28.51N）上空15 km處.

由于嫦娥三號在軌道上環(huán)月方向為西半球自南向北，所以（19.51W，61.60N）坐標(biāo)不符合實際情況，為錯解.另外由于月球進(jìn)行自轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)周期為27.32天，自轉(zhuǎn)方向自西向東，所以在主減速階段621.194 5s，月球已經(jīng)轉(zhuǎn)過經(jīng)度0.09°.

綜上所述，近月點（動力下降點）位置處于月球經(jīng)緯度坐標(biāo)（19.42W，28.51N）上方15 km處，近月點速度方向垂直于嫦娥三號所受重力方向.遠(yuǎn)月點位置處于月球坐標(biāo)（160.58E，28.51S）上方100 km，遠(yuǎn)月點速度方向垂直于嫦娥三號所受重力方向.

2.2 問題二的模型建立與求解

問題二要確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略，主要由以下步驟組成：

步驟一：首先對6個階段分別建立模型，求解出各自的最優(yōu)控制策略；

步驟二：將6個最優(yōu)控制策略進(jìn)行合理性結(jié)合，目的是得出嫦娥三號的著陸軌道.

2.2.1 對6個階段最優(yōu)控制策略模型的建立與求解

（1）著陸準(zhǔn)備軌道

如圖5所示，著陸準(zhǔn)備軌道下的近月點坐標(biāo)（19.51W，28.51N），從近月點開始動力下降時，速度與水平方向的夾角大小為6°，遠(yuǎn)月點坐標(biāo)（160.58E，28.51S）.

圖5 著陸準(zhǔn)備軌道示意圖

（2）主減速階段

嫦娥三號在月球表面實行軟著陸，由于月球表面不具有大氣，無法通過大氣阻力減速，須用發(fā)動機(jī)進(jìn)行制動，因此燃耗最少就成為了一個重要的優(yōu)化指標(biāo)，由于主減速階段的耗燃占整個軟著陸過程的大部分，基于第一問的變推力發(fā)動機(jī)的主減速動力模型，提出了一種在不考慮月球自轉(zhuǎn)影響下，用變推力發(fā)動機(jī)進(jìn)行減速下降的優(yōu)化方法[5].

1.運動方程

在月心慣性坐標(biāo)系中，采用變推力發(fā)動機(jī)，使得嫦娥三號加速度隨時間而呈線性變化.其加速度可以表示為：

其中ax，ay為主減速時加速度，a0，a1，b0，b1為常系數(shù)，t為時間，主減速軌道任一時刻的位置和速度分別為：

其中，（x0，y0），（νx0，νy0）分別為初始位置的坐標(biāo)的速度.

式（11）中有方程4個和變量5個，控制其中的某個參數(shù)就可以實現(xiàn)主減速的軌道優(yōu)化.如若（x0，y0），（νx0，νy0）分別為著陸點的要求坐標(biāo)和主減速結(jié)束時要求的速度，t1為主減速段總飛行時間，則加速度系數(shù)為：

控制參數(shù)多，利于實現(xiàn)燃料的絕對最省，但不利于計算的實現(xiàn).因此，本文主要研究式（10）加速度線性變化.

2.推力加速度和燃耗

因為式（10）中加速度為推力加速度與引力加速度之和，由此可得嫦娥三號發(fā)動機(jī)需要施加的加速度：

其中：gx，gy為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?，隨位置而變，且apx，apy為推力加速度，是時間的函數(shù)，且：

若嫦娥三號質(zhì)量為m，發(fā)動機(jī)比沖為νe，則需要的發(fā)動機(jī)推力：

F的方向可由計算的推力加速度求得，其對應(yīng)的質(zhì)量秒流量為：

因為νe為常數(shù)2 940，結(jié)合前式從而可得出：

由上述推導(dǎo)可知，當(dāng)著陸位置給定時，已知總飛行時間，即可求得需要的速度增量，進(jìn)而求得燃料消耗質(zhì)量，此時我們需要速度增量為t1的函數(shù)；當(dāng)著陸點位置未知時，需要速度增量為t1和著陸點位置的函數(shù).

3.燃耗優(yōu)化

對圖6所示的主減速軌跡，設(shè)坐標(biāo)系基準(zhǔn)平面位于初始運動平面內(nèi)，主減速制動時，因為著陸點位于初始運動平面內(nèi)而無需改變運動平面而最省能量.因此，對不定點著陸優(yōu)化，著陸點位置用以參數(shù)表示即可，即：

其中θ為初始點到著陸點的月心角（即主減速階段的行程角）.

此時給定θ，t，帶入式（10）－（13）、（17）即可求得最小速度增量Δν.

4.實際問題求解

利用MATLAB軟件，對第一問主減速階段所建立的模型進(jìn)行優(yōu)化（優(yōu)化后燃料消耗為1 053 kg，與第一問求解最優(yōu)結(jié)果燃料最小消耗1 058 kg，優(yōu)化效果極小，幾乎可以忽略不計，所以在主減速階段，我們依然采用問題一的求解結(jié)果：近月點（動力下降點）位置處于月球經(jīng)緯度坐標(biāo)（19.42W，28.51N）上方15 km處，近月點速度方向垂直于嫦娥三號所受重力方向.遠(yuǎn)月點位置處于月球坐標(biāo)（160.58E，28.51S）上方100 km，遠(yuǎn)月點速度方向垂直于嫦娥三號所受重力方向.

（3）快速調(diào)整階段

對此時的嫦娥三號進(jìn)行受力分析，如圖7所示.可以建立力學(xué)方程如下：

其中含有自變量a的關(guān)系式a＝a（φ，θ），輸入φ，θ，即可求出a的值，得出時間t= νcosφ/acosθ，以及階段結(jié)束后最終速度νf=νsinφ+（g-asinθ），Δν＝at，最后根據(jù)式（16）可得所耗燃料質(zhì)量.

圖6 主減速軌跡圖

圖7 快速調(diào)整階段嫦娥三號受力分析

（4）粗避障階段

粗避障主要目的是在較大著陸范圍（2 300 m×2 300 m）內(nèi)避開明顯危及著陸安全的危險障礙，為精避障提供較好的安全著陸點選擇區(qū)域，避免出現(xiàn)近距離精避障避無可避的風(fēng)險，整體上提高系統(tǒng)安全著陸概率.此外，還要綜合評估燃料消耗來選擇最優(yōu)位置.具體算法流程如下：

Step1.圖像分析

首先將距月面2 400 m處的數(shù)字高程圖，2 300 m×2 300 m的范圍分割成每個碎片具有范圍（100 m×100 m），共有行×列為23×23個數(shù)的碎片.分別對每一個碎片圖像進(jìn)行分析.利用MATLAB讀取每個碎片圖像，將其每一個像素點上的高度轉(zhuǎn)換成呈現(xiàn)所有像素點的高度值矩陣.我們找出所有碎片的高度眾數(shù)92，設(shè)立閥值為5，也就是說，高度值在[87，97]范圍，我們認(rèn)定其為可以實行降落的安全高度.高度不在其范圍的像素點即為危險像素點.

Step2. 采用算法確定每一個碎片的安全半徑.

基于螺旋搜索算法，我們提出了新的改進(jìn)算法：以每一個碎片的中心為起點，以一個單元格為長度，正方形為范圍，逐漸擴(kuò)大正方形的范圍，直至碰上危險區(qū)域，停止繼續(xù)擴(kuò)大搜索范圍，以之前的范圍確定安全半徑.算法示意圖如圖8：其中，R為安全半徑.

Step3.計算到達(dá)安全著陸點的速度增量

在粗避障階段，從目標(biāo)上方2 400 m到100 m時，初始具有垂直速度，水平速度為零.僅考慮水平方向時，嫦娥三號到達(dá)安全著陸點時經(jīng)歷了兩個階段，在總路程的一半前，做加速運動，當(dāng)嫦娥三號運動路程達(dá)到總路程的一半時，水平速度達(dá)到最大，此時改變推力方向，進(jìn)入減速階段，保證在到達(dá)目標(biāo)上方100 m時，水平速度為零.示意圖如圖9.

圖8 基于螺旋算法的安全半徑搜索算法

圖9 嫦娥三號粗避障運動狀態(tài)圖圖

假設(shè)加速階段與減速階段，推力大小相同，推力方向與水平面方向的夾角相同，加減速階段推力方向如圖10所示，即其中F1＝F2，β1＝β2.

因此，我們可以建立力學(xué)方程：

其中x表示嫦娥三號到安全著陸點的水平平移距離.

此時ν0為快速調(diào)整姿態(tài)下的最終速度，求出a后，則此時速度增量可知，從而確定粗避障所耗時間T=x/Δν，利用式（16）也可確定消耗燃料質(zhì)量.

Step4.建立綜合評價模型并求解，根據(jù)安全半徑和速度增量的評價值，確定最佳安全著陸點主要步驟如下：

1.評價指標(biāo)類型的一致化處理

在已建立的指標(biāo)體系中，指標(biāo)集可能同時含有“極大型”和“極小型”指標(biāo)，我們分別稱之為優(yōu)質(zhì)因子和劣質(zhì)因子，本文中速度增量為劣質(zhì)因子，安全半徑為優(yōu)質(zhì)因子，因此在評價之前必須將評價指標(biāo)的類型進(jìn)行一致化處理，即要統(tǒng)一化為極大型指標(biāo).

2.評價指標(biāo)的無量綱化處理

本文采用極差化公式對指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理，公式如下：

其中max為數(shù)據(jù)的最大值，min為數(shù)據(jù)的最小值.

3.確定評價指標(biāo)權(quán)重

以嫦娥三號安全著陸為首要任務(wù)，在此基礎(chǔ)上我們考慮令安全半徑和速度增量的權(quán)重為7比3.則此時綜合評價評分模型為0.7·R*+0.3·Δν*.

4.評價模型求解

根據(jù)該綜合評價模型利用MATLAB進(jìn)行求解，得到最優(yōu)的著陸點區(qū)域為圖像分析時將原有圖片切割為行×列為23×23時20行23列的碎片區(qū)域.

（5）精避障階段

精避障主要目的是在粗避障選取的較安全區(qū)域內(nèi)進(jìn)行精確的障礙檢測，務(wù)必識別并閃避危及安全的障礙，選擇最佳的著陸點，此時在這里不再考慮燃料消耗最優(yōu).具體算法流程如下：

Step1. 圖像分析.

首先將在距離月面100 m處懸停拍攝到的數(shù)字高程圖每個像素點的高度值讀出，將1 000×1 000（0.1 m）的范圍分割成每個碎片具有范圍40×40（0.1 m），共有行×列為25× 25個數(shù)的碎片，劃分范圍的依據(jù)為嫦娥三號著陸器直徑約為4 m，則其降落的安全半徑為20.分別對每一個碎片圖像進(jìn)行分析.

Step2. 計算每個碎片各自的高度方差diversity（不平坦程度）.

Step3.計算每個碎片各自的平均坡度.

坡度slope為兩點的高程差與其水平距離的百分比 其計算公式如下：

則平均坡度Δslope計算公式為：

Step4. 建立綜合評價模型0.5·Δslope*+0.5·diversity*，根據(jù)高度方差和平均坡度的評價值，確定最佳安全著陸點.

Step5.評價模型求解

根據(jù)該綜合評價模型利用MATLAB進(jìn)行求解，我們得到最優(yōu)的著陸點區(qū)域為圖像分析時將原有圖片切割為行×列為25×25范圍為40×40（0.1 m）的6行18列的碎片區(qū)域.

此時，精避障時嫦娥三號運動狀態(tài)如下：

嫦娥三號初速度為零，對其進(jìn)行受力分析，如圖11，建立力學(xué)方程如下

其中νf，T分別為精避障階段嫦娥三號最終速度及階段所耗時間，其中x表示嫦娥三號到安全著陸點的水平平移距離.此時輸入θ值，即可得出νf，T的結(jié)果.此時可得速度增量結(jié)果Δν＝at，利用式（16）算出所耗燃料質(zhì)量.

圖10 兩個階段嫦娥三號推力方向圖

圖11 精避障階段嫦娥三號受力分析圖

（6）緩速下降階段

在緩速下降階段，此時推力方向與重力方向相反，此時通過方程：根據(jù)精避障最終速度，可以求出緩速下降階段所耗時間和速度增量，同樣利用式（16）可算出所耗燃料質(zhì)量.

3.2.2 確定嫦娥三號著陸軌道

在著陸準(zhǔn)備軌道上，嫦娥三號由近月點（19.42W，28.51N），主減速階段初速度方向與水平方向所夾銳角為6°.第二階段主減速階段結(jié)果為第一問結(jié)果，根據(jù)3.2.1對快速調(diào)整、粗避障、精避障、緩速下降四個階段所建立的力學(xué)方程（18）-（21），以快速調(diào)整時輸入的θ1，φ及精避障時輸入的θ2為變量，考慮推力大小范圍 [1 500 N，7 500 N]，采用遍歷算法，輸出經(jīng)歷后四個階段段所用時間及所消耗燃料.

此時六個階段所耗總時間最小：Tmin=661.199 7 s，此時θ1=0，φ=85.94°，θ2=0.

所耗六個階段總?cè)剂献钌伲篢min消耗燃料=1 187.914 3 kg，此時θ1=0，φ=34.37°，θ2=0.

2.3 問題三的分析

問題三要對著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析，主要由以下步驟組成：

步驟一：建立誤差分析模型，目的對著陸軌道和控制策略進(jìn)行誤差分析；

步驟二：建立敏感性分析模型，對著陸軌道和控制策略進(jìn)行敏感性分析.

2.3.1 誤差分析模型的建立與求解

（1） 模型建立[6]

在此我們針對主減速階段引入8個常規(guī)慣性測量單元典型誤差值（數(shù)值結(jié)果表2），利用這些誤差值計算出主減速段初始測量量對應(yīng)的實際量范圍.定義初始實際量計算公式為非初始實際量計算公式為其中為實際量，為測量量，xi為初始狀態(tài)偏差（包括初始位置及速度偏差），為傳感器測量偏差（包括位置、速度和加速度測量偏差），為傳感器刻度因素誤差系數(shù)（包括位置、速度、加速度刻度因素誤差系數(shù)）.此外，當(dāng)測量量為零時，不考慮誤差.

表2 常規(guī)慣性測量單元典型誤差值

（2）實際求解：

由公式解出主減速段初始實際量范圍為：[0，15 000±100，1 700±10，0，0].

主減速段終止實際量范圍為：[469 900±1 040，359±100.718，0，57±10.57，3.008 6± 0.023 2].

2.3.2 敏感性分析模型建立與求解

（1）模型建立

由推斷可以得出主減速階段為單獨一個階段，其自變量為初速度入射角γ，因變量為燃料消耗與時間；剩下的快速調(diào)整姿態(tài)、粗避障、精避障和緩速下降階段為另一一個整體階段，其自變量為調(diào)整姿態(tài)時初速度與水平方向的夾角φ（因θ1，θ2最優(yōu)值為零，所以不做敏感性分析）.

針對每個階段的一個指標(biāo)所改變的百分?jǐn)?shù)，保持其余指標(biāo)不變，求出各因變量所改變的百分?jǐn)?shù)，然后求出所有指標(biāo)的測試結(jié)果，即可得出敏感性分析結(jié)果.

（2）模型求解

由圖12可知，當(dāng)γ增加相對自己的百分?jǐn)?shù)值時，燃料損耗敏感性低，基本沒有影響，但時間的敏感性高，時間改變相對自己的百分?jǐn)?shù)值大概與γ一樣.由圖13可知，φ的百分?jǐn)?shù)改變對時間和燃料消耗的敏感性高，呈負(fù)相關(guān)關(guān)系.

圖12 主減速階段：自變量γ對于因變量的影響圖

圖13 整體階段：自變量φ對于因變量的影響圖

3 結(jié)論

通過對以上三個問題的探討，本文研究了如何對裝有變推力發(fā)動機(jī)的月球著陸器進(jìn)行軟著陸軌道設(shè)計.在問題一中，通過對主減速階段建立動力學(xué)模型，判斷著陸器在著陸準(zhǔn)備軌道上所處的狀態(tài)及地點.在問題二中，對主減速階段所建立的模型進(jìn)行優(yōu)化，并且通過著陸軌道各個階段嫦娥三號所處狀態(tài)建立相應(yīng)模型確定各個階段的最優(yōu)控制策略，同時通過建立力學(xué)方程，將各個階段進(jìn)行合理性整合，確訂最后的著陸軌道.在問題三中建立誤差分析及敏感性分析模型，使得該軟著陸軌道設(shè)計模型具有可推廣性，可應(yīng)用于相關(guān)月球著陸器軟著陸軌道設(shè)計之中.

[1]王鵬基，張熇，曲廣吉.月球軟著陸重力轉(zhuǎn)彎軌道設(shè)計與分析 [C]//中國宇航學(xué)會深空探測技術(shù)專業(yè)委員會第二屆學(xué)術(shù)會議論文集.北京：[出版者不詳]，2005：328-333.

[2]張洪華，梁俊， 黃翔宇，等.嫦娥三號自主避障軟著陸控制技術(shù) [J]. 中國科學(xué):技術(shù)科學(xué)，2014，44（6）：559-568.

[3]王建偉，李興.近日點和遠(yuǎn)日點速度的兩種典型解法 [J].物理教師，2013，34（6）：58.

[4]王曉晨，潘晨，五軒.十問嫦娥：揭密嫦娥三號探測器 [J].中國航天，2014（1）：15-26.

[5]林勝勇.一種月球軟著陸優(yōu)化算法 [J].上海航天，2008（4）：31-34.

[6]劉浩敏，馮軍華，崔祜濤，等.月球軟著陸制導(dǎo)律設(shè)計及其誤差分析 [J].系統(tǒng)仿真學(xué)報，2009，21（4）：936-943.

Prediction and Optimization Model of Chang’e 3 Soft Landing

WU Yongfeng，YE Ming，YAO Haoqi，WEI Caimin
（Department of Mathematics，Shantou University，Shantou 515063，Guangdong，China）

In this paper,the chang’e 3 soft landing predictions and optimization problems are solved by using the dynamic model,based on the variable thrust engine with spiral search algorithm.First,physics model is established in Question 1 to work out the goddess of the moon landing to No.3 track point velocity near and far.Then,in the main reduction stage,main reduction variable thrust dynamics model is established.The polar angle of chang’e 3 was studied,taking into consideration of the effects of rotation of the moon,landing for orbit determination in recent months,the position of the point and far point,and the goddess of the moon on the No.3 in the near and far points speed direction.In Question 2,optimization model of variable thrust engine fuel consumption is established for the problem of main reduction stage optimization.Comprehensive evaluation model for safety radius and velocity increment index is established.The coarse type of obstacle avoidance is the scope of safe landing.Pure phase of obstacle avoidance is a premise to ensure safety.Evaluation index for the uneven degree and average slope of the comprehensive evaluation model are established to determine the precise landing area.The mechanical model for each stage is established.Finally,the goddess of the moon landing orbit and the optimal control strategy in the six stages are determined.In Question 3,the error model is established for the design of landing trajectory and control strategy for the corresponding error analysis.The single factor sensitivity analysis is used for calculation of independent variable and dependent variable sensitivity in main reduction phase and residual phase 4.

main reduction dynamics model；variable thrust;spiral search algorithm

V 476.3

A

1001-4217（2015）03-0018-13

2014-11-24

吳永峰（1993-），男，福建泉州人，汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系2012級本科生；

韋才敏（1977-），男，博士，教授，研究方向：隨機(jī)模型理論與方法.E-mail：wcm1234460@163.com

汕頭大學(xué)國家基金培育項目（NFC12002）