數(shù)學(xué)解題，“三審”題目

李菁菁　高明

摘要：高中數(shù)學(xué)競賽和高考試題內(nèi)容具有廣泛性與深刻性的特點(diǎn)，其解答也包含著豐富的機(jī)智思想，制定“三審”題目的策略有助于擴(kuò)展知識、拓展視野、延展思維、深化解題方法、提高解題技巧，以及培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力。

關(guān)鍵詞：審條件；審結(jié)論；審方法

中圖分類號：G634.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：2095-9214（2015）06-0037-01

波利亞在《怎樣解題》中提到解題的第一個環(huán)節(jié)是“弄清問題”，它是對問題表征進(jìn)行認(rèn)識的過程，通過審條件、審結(jié)論、審方法三方面去理解題意，抓住關(guān)鍵信息，明確命題的意圖，進(jìn)而找到解題的突破口，“三審”是成功解決問題的前提。

一、審條件

條件是解題的基礎(chǔ)和依據(jù)。審條件就是要充分利用題目中的已知條件，將條件進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)化、組合，挖掘隱含信息，找到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時要抓住關(guān)鍵特征，明確命題的意圖，尋找解題的突破口。

例1、若實(shí)數(shù)x，y滿足方程組（x-1）2011+（x-1）2009+2010x=4020（y-1）2011+（y-1）2009+2010y=0，則

x+y=.（2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆維吾爾自治區(qū)預(yù)賽）

分析與解答：條件是關(guān)于變量x，y的高次方程，單獨(dú)解出x，y非常困難。抓住題目中的隱含條件，即方程的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)量特征，將其變形為：

（x-1）2011+（x-1）2009+2010（x-1）=2010（y-1）2011+（y-1）2009+2010（y-1）=-2010，

觀察可發(fā)現(xiàn)這兩個方程有較明顯的特征，兩式的左邊結(jié)構(gòu)相同，右邊的兩個數(shù)互為相反數(shù)。此時可構(gòu)造函數(shù)f（t）=t2011+t2009+2010t，再利用相關(guān)性質(zhì)：

（1）函數(shù)f（t）為奇函數(shù)，有f（x-1）=-f（y-1）=f（1-y）；

（2）函數(shù)f（t）為R的單調(diào)遞增函數(shù)，則由f（x-1）=f（1-y）可得x-1=1-y。

故x+y=2。

二、審結(jié)論

結(jié)論的證明或解答是解題的目的、落腳點(diǎn)。審結(jié)論就是在解題前要知道題目求的是什么，明確解題方向。而對于某些選擇題，往往可以從結(jié)論入手，將結(jié)論分成互斥的類型，從而尋找到解決問題的思路。

例2、設(shè)函數(shù)f（x）=ex+x-a（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線y=sinx上存在點(diǎn)（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，則a的取值范圍是（）.（2013四川高考數(shù)學(xué)，理10）

A.1，eB.e-1-1，1C.1，e+1D.e-1-1，e+1

分析與解答：從結(jié)論入手，可發(fā)現(xiàn)A、C選項(xiàng)不含0元素，B、D選項(xiàng)含有0元素，則將選項(xiàng)分為兩類：A、C與B、D。

（1）當(dāng)a=0時，f（x）=ex+x，為增函數(shù)。則f（0）=1，有f（f（0））=e+1>1，不滿足要求，排除B、D。而對于A、C選項(xiàng)，只要考慮a=e+1是否滿足要求即可。

（2）當(dāng)a=e+1時，f（x）=ex+x-e-1，有f（0）=1，而f（f（1））=-e無意義，排除C，故答案選A。

三、審方法

方法就是解題的手段、技巧，是解題的重要工具。審方法就是挖掘題目中的條件，可以利用數(shù)學(xué)公式、定理等來得到解決問題的思路。多角度、全方面地思考如何利用這些條件來解決問題，有助于提高人的思維能力。

例5、函數(shù)f（x）=3x-6+3-x的值域是.（2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽江西賽區(qū)預(yù)賽）

分析與解答：

方法1（函數(shù)的性質(zhì)）函數(shù)的定義域?yàn)?，3，由連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)必有最值，且通常在端點(diǎn)處或極值點(diǎn)處取得，而f（2）=1，f（3）=3，f′（114）=0，f（114）=2，因此f（x）的值域?yàn)?，2。

方法2（數(shù)形結(jié)合法）由于涉及根式運(yùn)算，較復(fù)雜，可考慮使用換元法。令3x-6=a，3-x=b，原函數(shù)變?yōu)閥=a+b，又有a2+3b2=3，即a23+b2=1（a≥0，b≥0）?，F(xiàn)考慮直線b=-a+y與橢圓a23+b2=1（a≥0，b≥0）的位置關(guān)系。（如圖2），利用數(shù)形結(jié)合思想可知：直線與橢圓第一象限有交點(diǎn)，故y最小在點(diǎn)（0，1）處取，此時y=1，y最大滿足a23+b2=1b=-a+y，由其判別式為0，可解得y=2處取得，所以y∈1，2，即f（x）的值域?yàn)?，2。

方法3（三角代換法）由于變數(shù)3x-6與3（3-x）之和為定值，聯(lián)想到三角函數(shù)的性質(zhì)。因?yàn)?≤3-x≤1，令3-x=cos2α，α∈0，π2，則3x-6=3sin2α。

原函數(shù)變?yōu)閒（α）=3sinα+cosα=2sin（α+π3），又π3≤α+π3≤5π6

則f（α）∈1，2。

（作者單位：西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院）