高壓輸電線下三維工頻電場(chǎng)的矩量法數(shù)學(xué)計(jì)算

王敬曉，李 斌，高艷霞

深圳大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，深圳 518060

【電子與信息科學(xué) / Electronics and Information Science】

高壓輸電線下三維工頻電場(chǎng)的矩量法數(shù)學(xué)計(jì)算

王敬曉，李 斌，高艷霞

深圳大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，深圳 518060

基于模擬電荷法與矩量法，考慮弧垂和檔距等因素的影響，建立超高壓輸電線路工頻電場(chǎng)三維仿真計(jì)算模型，研究超高壓輸電線路工頻電場(chǎng)的分布．以500 kV單回三相水平排列線路為例，對(duì)型號(hào)為4×LGJ-400/35(外徑為26.82 mm，分裂間距為450 mm)，懸掛點(diǎn)對(duì)地高度為20 m，導(dǎo)線間距為8 m，呈懸鏈線的導(dǎo)線進(jìn)行模擬計(jì)算．結(jié)果表明，考慮導(dǎo)線弧垂后，隨著檔距增大，弧垂加大，導(dǎo)線對(duì)地距離減小，導(dǎo)線下方的場(chǎng)強(qiáng)增大．在垂直檔距中央的橫向分布上，懸鏈線模型與二維模型計(jì)算結(jié)果接近，曲線形狀基本一致．導(dǎo)線形狀的差異會(huì)導(dǎo)致沿導(dǎo)線走向的場(chǎng)強(qiáng)分布存在很大差異．研究可供電網(wǎng)建設(shè)和生產(chǎn)運(yùn)行參考．

電磁學(xué)；工頻電場(chǎng)；模擬電荷法；矩量法；檔距；高壓輸電線路

模擬電荷法以鏡像法為基礎(chǔ)，基于電磁場(chǎng)的唯一性定理，將電極表面連續(xù)分布的自由電荷或介質(zhì)分界面上連續(xù)分布的束縛電荷，用位于無(wú)效區(qū)域的一組離散化的模擬電荷來(lái)等值代替[1-2]．而矩量法是基于加權(quán)余量法或定義泛函內(nèi)積等方法，將待求的積分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)矩陣方程問(wèn)題，借助計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解，從而在所得激勵(lì)源分布的數(shù)值解基礎(chǔ)上得到場(chǎng)的分布[3-4]．用模擬電荷法分析較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，模擬電荷的數(shù)量、大小和位置配置將變得十分復(fù)雜，以致影響問(wèn)題的求解．本研究利用等效原理，使模擬電荷不再是整體均勻分布而是分段均勻分布，由此建立積分方程，并利用矩量法[4]中的點(diǎn)匹配法，使積分方程離散為滿(mǎn)足場(chǎng)的唯一性定理的矩陣方程．

1 理論模型

為了分析方便又不失合理性，假設(shè)導(dǎo)線懸掛形狀是“懸鏈線”[5]、視工頻電磁場(chǎng)為準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)[6]、模擬電荷的位置在高壓輸電線的中心軸線上．簡(jiǎn)化線路為圓柱導(dǎo)線，導(dǎo)線半徑Ri用等效半徑代替，運(yùn)用有效值相量表示其電壓和電流，以額定電壓的1.05倍作為計(jì)算電壓[7]．

現(xiàn)以三相(A相、B相和C相)水平排列線路為例進(jìn)行分析．

導(dǎo)線方程即懸鏈線方程[8]為

(1)

其中，H為導(dǎo)線懸掛點(diǎn)高度；a為導(dǎo)線水平應(yīng)力系數(shù)，a=γL/σ0，σ0為導(dǎo)線水平應(yīng)力，γ為導(dǎo)線比載；L為檔距；x為導(dǎo)線上任意點(diǎn)的橫坐標(biāo)；z為該點(diǎn)對(duì)地高度．

以圖1單回路三相線路A相為例，將導(dǎo)線沿x軸等間距地分割成N段，D為A相和B相間的水平距離，線電荷密度為τi(i=1，2，…，N)； 類(lèi)似地，鏡像導(dǎo)線也等間距地剖分為N段，線電荷密度為τi′(i=1，2，…，N)，則有τi′=-τi， B相和C相采用同樣的剖分[9]．

圖1 懸鏈線模型Fig.1 Catenary model

三相導(dǎo)線采用連續(xù)編號(hào)，則離散積分方程為

(2)

采用點(diǎn)匹配計(jì)算模式[10]，基于式(2)得

(3)

其中，j=1，2，…，3N．將式(3)記為矩陣形式為

λτ=g

(4)

其中，λ是電位系數(shù)組成的矩陣，為3N×3N的方陣；τ為線電荷密度組成的矩陣，為3N×1的列向量；g為3N×1的矩陣，其列向量元素皆為4πε0φ0．

(5)

當(dāng)j=i時(shí)的電位系數(shù)為

(6)

綜上可得，任意場(chǎng)點(diǎn)P(x，y，z)處的電位為

φ(x，y，z)=

(7)

任意場(chǎng)點(diǎn)P(x，y，z)處的電場(chǎng)強(qiáng)度分量為

(8)

(9)

(10)

2 典型工程算例與分析

2.1 懸鏈線分布模型

以500 kV單回三相水平排列線路為例，相關(guān)參數(shù)為：導(dǎo)線型號(hào)為4×LGJ-400/35(外徑為26.82 mm，分裂間距為450 mm)，導(dǎo)線懸掛點(diǎn)對(duì)地高度h=20 m，導(dǎo)線呈懸鏈線分布，導(dǎo)線間距d=8 m，導(dǎo)線水平應(yīng)力σ0=11.84 N/mm2，導(dǎo)線比載γ=3.577×10-3N/(m·mm2)．

在中央弧垂的yOz平面上(x=0)， 模擬計(jì)算中心導(dǎo)線兩側(cè)50 m范圍(間距為0.5 m)內(nèi)，離地高度為1.5 m(約為人體心臟的高度)處，檔距分別為100 m和400 m時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度，結(jié)果如圖2至圖4．其中，圖2是水平方向的場(chǎng)強(qiáng)分布曲線；圖3是垂直方向的場(chǎng)強(qiáng)分布曲線；圖4是合場(chǎng)強(qiáng)的分布曲線．圖中，橫軸y0為計(jì)算場(chǎng)點(diǎn)與中心導(dǎo)線的水平距離.

圖2 Ey分布曲線Fig.2 (Color online) Distribution curve of Ey

圖3 Ez分布曲線Fig.3 (Color online) Distribution curve of Ez

圖4 E分布曲線Fig.4 (Color online) Distribution curve of E

從圖2至圖4可見(jiàn)，輸電線路以水平方式排列時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)的水平、垂直以及合場(chǎng)強(qiáng)分布曲線均于z軸對(duì)稱(chēng)，場(chǎng)強(qiáng)極大值分布在兩邊相導(dǎo)線下方附近，且合場(chǎng)強(qiáng)主要由垂直方向分量決定．

本例檔距為100 m時(shí)，導(dǎo)線的最大弧垂為0.38 m；而當(dāng)檔距達(dá)到400 m時(shí)，弧垂增至6.04 m．弧垂隨檔距的增大而變大，使導(dǎo)線對(duì)地距離減小，因此導(dǎo)線下方的場(chǎng)強(qiáng)也增大，可從圖4得到驗(yàn)證．檔距為400 m時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)明顯大于檔距為100 m時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)，其中央弧垂處場(chǎng)強(qiáng)極小值增大了1 830 V/m，而場(chǎng)強(qiáng)極大值也增大了2 680 V/m．所以，隨著檔距增大，導(dǎo)線下方的場(chǎng)強(qiáng)也增大．

2.2 二維模型與懸鏈線模型比較

以500 kV單回三相水平排列線路為例，兩模型采用相同的數(shù)據(jù)．中央弧垂(檔距取400 m)g=L/a×[cosh(a/2)-1]=6.04 m，弧垂最低點(diǎn)對(duì)地高度h′=h-g=14 m，離地1.5 m處的場(chǎng)強(qiáng)分布曲線如圖5至圖8．其中，y0為垂直導(dǎo)線方向，計(jì)算場(chǎng)點(diǎn)與中心導(dǎo)線的水平距離；x0為沿導(dǎo)線方向，計(jì)算場(chǎng)點(diǎn)與導(dǎo)線中心的水平距離.

圖5 二維模型的場(chǎng)強(qiáng)分布曲面圖Fig.5 (Color online) Distribution of electric field intensity surface of two-dimensional model

圖6 懸鏈線模型的場(chǎng)強(qiáng)分布曲面圖Fig.6 (Color online) Intensity distribution of electric field of catenary model

圖7 兩種模型在yOz平面上的比較Fig.7 (Color online) Comparison of two models in yOz plane

圖8 中央導(dǎo)線正下方場(chǎng)強(qiáng)分布Fig.8 (Color online) Electric field right below the middle wire

圖5和圖6分別是用二維模型(無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線)和懸鏈線模型計(jì)算得到的場(chǎng)強(qiáng)分布曲面圖．從圖7可見(jiàn)，在yOz平面上，曲線形狀基本一致；但在xOz平面上，場(chǎng)強(qiáng)的分布曲線卻存在很大差異(如圖8)．

圖7是在yOz平面(x=0)上場(chǎng)強(qiáng)的分布曲線，實(shí)線、虛線分別是用二維模型和懸鏈線模型得到的場(chǎng)強(qiáng)分布曲線，兩條曲線形狀基本一致．在二維模型中，為計(jì)算地面場(chǎng)強(qiáng)的最大值，通常取導(dǎo)線的最小對(duì)地高度，因此在yOz平面(x=0)處，兩種模型采用的是相同的導(dǎo)線對(duì)地高度．從兩條曲線可見(jiàn)，用二維模型得到的場(chǎng)強(qiáng)極大值、極小值比懸鏈線模型的結(jié)果分別小180 V/m和80 V/m，但相差不大，說(shuō)明在反映實(shí)際工程的主要因素上，兩種模型均可行．

圖8是沿導(dǎo)線走向中央導(dǎo)線正下方場(chǎng)強(qiáng)的分布曲線，實(shí)線和虛線分別是用二維模型和懸鏈線模型得到的場(chǎng)強(qiáng)分布曲線，兩條曲線存在很大差異，這是由于兩種模型中對(duì)導(dǎo)線的形狀采用不同的簡(jiǎn)化所導(dǎo)致的．如表1，比較兩條曲線不同場(chǎng)點(diǎn)p(間距50 m)處的場(chǎng)強(qiáng)大?。杀?可見(jiàn)，在懸鏈線模型中，場(chǎng)強(qiáng)隨著距離的增大迅速衰減，當(dāng)距離s達(dá)到200 m時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)就比二維模型的場(chǎng)強(qiáng)小2 202 V/m．這是因?yàn)樵诙S模型中，導(dǎo)線簡(jiǎn)化為無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，因此檔距對(duì)場(chǎng)強(qiáng)沒(méi)有影響，沿導(dǎo)線走向上的場(chǎng)強(qiáng)分布是不變的；而在懸鏈線模型中，考慮了檔距，導(dǎo)線對(duì)地距離減小，所以檔距影響場(chǎng)強(qiáng)的分布，在一個(gè)檔距內(nèi)，場(chǎng)強(qiáng)由中央向兩側(cè)衰減．

表1 場(chǎng)點(diǎn)p處場(chǎng)強(qiáng)的比較Table 1 Comparison of electric fields at point p V/m

二維模型所計(jì)算的場(chǎng)強(qiáng)僅對(duì)檔距中央處符合，是對(duì)場(chǎng)強(qiáng)總體水平的一個(gè)估計(jì)．在實(shí)際工程測(cè)量中，尤其是在輸電線路的檔距很大時(shí)，很難用肉眼辨別出檔距中央位置，測(cè)量結(jié)果和仿真結(jié)果就會(huì)出現(xiàn)較大的偏差．而懸鏈線模型考慮了弧垂和檔距等因素的影響，因此可以得到線路任意位置下方的場(chǎng)強(qiáng)分布；同時(shí)，懸鏈線模型還考慮了氣象條件的變化(即當(dāng)時(shí)的氣溫和風(fēng)速條件等)，使仿真結(jié)果更精確，與測(cè)量實(shí)際值更相符．

本研究雖然是以500 kV單回三相水平排列線路為例進(jìn)行的研究，但對(duì)其他或者更高的電壓等級(jí)、不同線路回路以及線路排列的情況，此方法仍然適用．只是當(dāng)輸電線路較復(fù)雜，或電壓為750、1 000 kV等特高壓時(shí)，需要考慮更多的影響因素．比如，在離導(dǎo)線檔距中央較遠(yuǎn)處，如果計(jì)算場(chǎng)點(diǎn)靠近鐵塔等特殊位置，這時(shí)除了考慮檔距的影響外，還應(yīng)該考慮鐵塔、附近建筑物等對(duì)電場(chǎng)分布的影響；而對(duì)于特高壓輸電線路，還應(yīng)該考慮電暈放電等可能影響場(chǎng)強(qiáng)分布的因素．限于篇幅，對(duì)于特高壓的情況我們將另文詳述．

結(jié) 語(yǔ)

本研究利用模擬電荷-矩量法，對(duì)輸電線下的工頻電場(chǎng)建立懸鏈線模型進(jìn)行模擬分析．將模擬電荷法和矩量法結(jié)合起來(lái)，有效提高了仿真模擬結(jié)果的精確度，使仿真結(jié)果與實(shí)際測(cè)量值更相符．

通過(guò)二維模型與懸鏈線模型的比較，在垂直檔距中央的橫向分布上，兩者計(jì)算結(jié)果十分接近，曲線形狀基本一致，但由于對(duì)導(dǎo)線形狀采取不同的簡(jiǎn)化方式，沿導(dǎo)線走向的場(chǎng)強(qiáng)分布曲線存在很大差異．二維模型忽略弧垂和檔距等因素的影響，僅能對(duì)輸電線路下方場(chǎng)強(qiáng)總體水平予以評(píng)估．而懸鏈線模型不僅考慮導(dǎo)線形狀的改變對(duì)場(chǎng)強(qiáng)的影響，還考慮氣象條件的變化，使仿真結(jié)果更加精確．從這兩種模型的仿真結(jié)果可見(jiàn)，導(dǎo)線離地高度能明顯影響線下場(chǎng)強(qiáng)的分布情況，所以適當(dāng)增加導(dǎo)線對(duì)地高度，可有效減少線下最大場(chǎng)強(qiáng)．建立高壓輸電線下三維工頻電場(chǎng)的計(jì)算模型，可為有效預(yù)測(cè)與評(píng)估復(fù)雜輸電線路周?chē)臻g的場(chǎng)強(qiáng)分布，更合理地架設(shè)輸電線路提供理論依據(jù)．

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【中文責(zé)編：英 子；英文責(zé)編：雨 辰】

2014-12-12；Accepted：2015-04-14

Mathematical calculation of 3D power frequency electric field under high voltage transmission lines based on moment method

Wang Jingxiao, Li Bin, and Gao Yanxia?

College of Physics Science and Technology, Shenzhen University, Shenzhen 518060, P.R.China

By using the charge simulation and the moment method and taking the effects of sag and span into account according to the practical engineering circumstances, we propose a simulation model to analyze the three-dimensional distribution of power frequency electric field under high voltage power transmission lines. This model is applied on a horizontally arranged 500 kV three-phase single loop line, in which the wire (4×LGJ-400/35 with outer diameter of 26.82 mm and bundle spacing of 450 mm) is suspended at the height of 20 m in catenary with wire spacing of 8 m. Simulation results show that the span and sag increase with the decrease of distance between wires and the ground, leading to the strengthened field intensity under the wires. The transverse distribution of the field intensity in the middle of span calculated by the funicular curve model is analogous to that by the two-dimensional model. However, the field intensity distribution along the wire varies according to the different shapes of wires. This result can offer guidance for the power grid construction and operation.

electromagnetism; power frequency electric field; charge simulation method; the method of moments; span; high voltage transmission line

：Wang Jingxiao，Li Bin，Gao Yanxia．Mathematical calculation of 3D power frequency electric field under high voltage transmission lines based on moment method[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2015, 32(3): 290-295.(in Chinese)

TM 743

A

10.3724/SP.J.1249.2015.03290

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61275101)

王敬曉(1989—)，女(漢族)，河南省獲嘉縣人，深圳大學(xué)碩士研究生．E-mail：515179833@qq.com

Foundation：National Natural Science Foundation of China(61275101)

? Corresponding author：Professor Gao Yanxia．E-mail：gyx@szu.edu.cn

引 文：王敬曉，李 斌，高艷霞．高壓輸電線下三維工頻電場(chǎng)的矩量法數(shù)學(xué)計(jì)算[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報(bào)理工版，2015，32(3)：290-295.