線性流形上埃爾米特自反矩陣反問(wèn)題的最小二乘解及其最佳逼近

王學(xué)鋒 王江濤

(1．東莞理工學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東東莞 523808;2．華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)系，廣州 510641)

在震動(dòng)理論、電學(xué)、光學(xué)和自動(dòng)控制等領(lǐng)域提出了最小二乘問(wèn)題，而線性系統(tǒng)的檢測(cè)和復(fù)原過(guò)程中，由于資料的不完整性或者要求對(duì)已有的資料進(jìn)行校正時(shí)，又提出了矩陣的最佳逼近問(wèn)題。關(guān)于最小二乘問(wèn)題和最佳逼近問(wèn)題的研究已取得了一系列重要成果，見(jiàn)文獻(xiàn) ［1－11］。例如，孫繼廣在文獻(xiàn)［1］中利用矩陣分析的方法研究了實(shí)對(duì)稱矩陣的最小二乘問(wèn)題，并給出了其解的一般表達(dá)式;戴華在文獻(xiàn) ［2］中研究了線性流形上實(shí)對(duì)稱矩陣的最佳逼近問(wèn)題;廖安平等在文獻(xiàn) ［3］中對(duì)線性流形上實(shí)對(duì)稱半正定矩陣的一類逆特征值問(wèn)題進(jìn)行了研究;周富照等在文獻(xiàn) ［4］中則研究了線性流形上對(duì)稱正交對(duì)稱矩陣逆特征值問(wèn)題，并給出了最佳逼近解。將討論線性流形上埃爾米特自反矩陣的最小二乘問(wèn)題與最佳逼近。

首先，引入一些符號(hào)和概念。令Cm×n表示m×n型復(fù)矩陣集合，Rm×n表示m×n型實(shí)矩陣集合，Ⅰk表示k階單位矩陣，HCn×n表示n階埃爾米特矩陣集合，UCn×n表示n階酉矩陣集合。A，B∈Cm×n分別表示A的Moore-Penrose廣義逆與共軛轉(zhuǎn)置，rank(A ) ，tr(A ) 分別表示A的秩與。對(duì)于矩陣A，B∈Cm×n，A*B表示A與B的Hadamard積，[A，B]表示A與B的內(nèi)積，其定義為[A，B]=tr( BHA ) ，由此內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)為

顯然，上述范數(shù)是Frobenius范數(shù)，且Cm×n構(gòu)成一個(gè)完備的內(nèi)積空間。GRCn×n表示n階廣義反射矩陣組成的集合，即

定義 給定P∈GRCn×n，稱A∈Cn×n為關(guān)于P的埃爾米特自反矩陣，如果它滿足:

AH=A， PAP=A．

令

其中

本文所考慮問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述如下:

問(wèn)題Ⅰ 給定X，B∈Cn×m，求A∈S使得

問(wèn)題Ⅱ 對(duì)任意給定的A*∈Cn×n，求 A^∈SX，B使得

其中SX，B是問(wèn)題Ⅰ的解集合。

本文結(jié)構(gòu)如下:在第二節(jié)，推導(dǎo)線性流形S的一般表達(dá)式;第三節(jié)，建立線性矩陣方程在線性流形上可解的充分必要條件，并推導(dǎo)問(wèn)題Ι解的一般表達(dá)式;在第四節(jié)，證明問(wèn)題Ⅱ解的存在惟一性，并推導(dǎo)這個(gè)惟一解的表達(dá)式。

1 線性流形S的一般表示形式

由矩陣P1和P2的性質(zhì)以及埃爾米特自反矩陣的定義，不難證明下面兩個(gè)引理。

引理2 令

于是有S1=( P ) 。

反之，對(duì)任意的A∈S，則存在矩陣M1∈HCr×r和矩陣M2∈HC(n-r)×(n-r)使得

直接計(jì)算得

因此，

顯然有AH=A。因此，A∈(P)。證畢。

引理3［1］對(duì)給定的矩陣X，B∈Cn×m，且X有奇異值分解如下

其中 U= ［U1U2］∈ UCn×n，V= ［V1V2］∈ UCm×m，k=rank(X ) ，Σ =diag(σ1，σ2，…，σk)，

σi＞ 0，i=1，2，…，k，且 Φ =(φij)∈ Ck×k，

則有下面結(jié)論:

1)矩陣方程AX=B在集合HCn×n中有解的充要條件是

BX+X=B，XHB=BHX ．

而且，當(dāng)上式子成立時(shí)，其一般解可表示為

其中A22∈HC( n-k)×( n-k)為任意的。

其中E∈HC( n-k)×( n-k)為任意的。

引理4 令

且假設(shè)矩陣Z1和Z2的奇異值分解分別是

其中 W=(W1W2)∈UCr×r，G=(G1G2)∈UCm×m，N=(N1N2)∈UC(n-r)×(n-r)，L= ( L1L2)∈UCm×m，Ω1=diag ( α1，α2，…，αk1)，Ω2=diag ( β1，β2，…，βk2)，k1=rank( Z1)，k2=rank( Z2)，Zi，Yi，i=1，2 i=1，2由 (2)式定義。于是由 (1)式定義的集合S可表示為

于是方程AZ=Y等價(jià)于下列方程

分別在 HCr×r和 HC( n-r)×( n-r)中有解。

由引理3可知，矩陣方程M1Z1=Y1在HCr×r中和方程M2Z2=Y2在HC(n-r)×(n-r)中有解的充分必要條件是

而且，當(dāng)條件 (10)式成立時(shí)，矩陣方程 (8)和 (9)的解可分別表示為

和

將 (12)、(13)式代入 (5)式中可得到 (8)式。證畢。

不難證明，S是一個(gè)非空的線性流形。

2 問(wèn)題I的解的一般表達(dá)式

由上面給出的線性流形S的一般表達(dá)式，關(guān)于問(wèn)題Ⅰ有如下結(jié)論。

定理1 給定X，B∈Cn×m，令

于是問(wèn)題I的解可表示為

證 對(duì)任意的矩陣A∈S，由引理4和 (14)，(15)式以及F范數(shù)的正交不變性可得到，

由引理3中2)可知，問(wèn)題 (20)、(21)的解可分別表示為 (18)、(19)式，分別將 (18)，(19)式代入到 (8)式，即可得到問(wèn)題Ⅰ的解 (17)式。證畢。

由引理3和引理4，容易證明下面的定理。

定理2 設(shè)X，B∈Cn×m，并假設(shè)條件以及符號(hào)與定理1相同，于是方程AX=B在S中可解的充分必要條件是

而且，在上述條件成立時(shí)，其解可表示為公式 (17)，其中

定理3 給定 X∈Cn×m，Λ =diag (λ1，λ2，…，λm) ，Γ =diag (μ1，μ2，…，μm)且在定理1中令B=XΛ，在S中令Y=ZΓ，其它條件和符號(hào)與定理1同，則方程AX=XΛ在S中有解的充要條件是

由定理2，進(jìn)一步可得到線性流行S上的埃爾米特自反矩陣的逆特征值問(wèn)題。

此時(shí)，問(wèn)題的解可表示為公式 (17)，其中E與F可分別表示為公式 (22)與 (23)。

3 問(wèn)題Ⅱ解的一般表達(dá)式

在本節(jié)中，將證明問(wèn)題Ⅱ解的存在性與惟一性，并推導(dǎo)其惟一解的表達(dá)式。

引理5［12］設(shè) C，D ∈ Cn×n，若 D=DH，則有

定理4 假設(shè)條件和符號(hào)與定理1同，對(duì)于任意給定的A*∈Cn×n，且記

于是問(wèn)題Ⅱ有惟一解，且這個(gè)解可表示為

其中

證 由 (17)、(18)、(19)式不難證明，問(wèn)題Ⅰ的解集合SX，B是Hilbert空間Cn×n中的一個(gè)閉凸集。因此，對(duì)于任意給定的矩陣A*∈Cn×n，由逼近定理可知，在SX，B中存在惟一的最佳逼近。

且由 (18)式得到

由引理5可知 (32)的解為

同樣由引理5可知 (34)的解為

分別將 (33)、(35)代入 (18)、(19)式即可得到問(wèn)題Ⅱ的解 (25)。證畢。

［1］孫繼廣．實(shí)對(duì)稱矩陣的兩類逆特征值問(wèn)題［J］．計(jì)算數(shù)學(xué)，1988(3):282－290．

［2］戴華．線性流形上實(shí)對(duì)稱矩陣最佳逼近［J］．計(jì)算數(shù)學(xué)，1993(4):478－488．

［3］廖安平，郭忠．線性流形上實(shí)對(duì)稱半正定矩陣的一類逆特征值問(wèn)題［J］．計(jì)算數(shù)學(xué)，1996(3):279－284．

［4］周富照，胡錫炎，張磊．線性流形上對(duì)稱正交對(duì)稱矩陣逆特征值問(wèn)題［J］．計(jì)算數(shù)學(xué)，2003，25(3):281－292．

［5］張磊，謝冬秀．一類逆特征值問(wèn)題［J］．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1993，13:94－99．

［6］張忠志，胡錫炎，張磊．線性流形上反埃爾米特廣義漢密爾頓矩陣的最小二乘問(wèn)題與最佳逼近問(wèn)題［J］．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2006，26 A(6):978－986．

［7］謝冬秀．線性流形上的逆特征值問(wèn)題［J］．高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1993(4):374－380．

［8］趙麗君，胡錫炎，張磊．線性流形上復(fù)對(duì)稱矩陣的最小二乘問(wèn)題［J］．工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25(4):605－610．

［9］曹建勝．線性流形上的兩類矩陣的最佳逼近［J］．計(jì)算數(shù)學(xué)，1998，20(2):147－152．

［10］Xie D X．least-squares solution for inverse Eigenpaitrpobem of nonnegative definite matrices［J］．Computers and Mathematics with Applications，2000，40:1241 －1251．

［11］Deng Y B，Hu X Y，Zhang L．The symmetric and symmetric positive semidefinite solutions of linear matrix equationBTXB=Don linear manifolds matrix［J］．Numercial Mathematics:A Journal of Chinese Universities，2003，12(2):186 －192．

［12］Fan K，Hoffman J A．Some metric inequalities in the space of matrices［J］．Proc Amer Math Soc，1955(6):111 －116．