一類(lèi)中立型Emden-Fowler方程的區(qū)間振動(dòng)準(zhǔn)則

余晉昌 鄧立虎

(1．東莞理工學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東東莞 523808;2．東莞理工學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部，廣東東莞 523808)

討論一類(lèi)二階中立型Emden-Fowler方程

的區(qū)間振動(dòng)準(zhǔn)則，其中x(t)=y(t)+c(t)y(t－τ)?？偧俣ǚ匠?(1)中的函數(shù)和參數(shù)滿(mǎn)足下列條件:

(A1)參數(shù)τ，σ及δ為非負(fù)常數(shù)，且α，β及γ是滿(mǎn)足0＜α＜γ＜β的正常數(shù);

(A3)函數(shù) p，q ∈ C(［t0，∞)，R+);

(A4)函數(shù)c∈C(［t0，∞)，R)，且存在常數(shù)c0，使 －1＜c0≤c(t)≤1．

定義1 稱(chēng)方程 (1)的解為是振動(dòng)的，若它具有任意大的零點(diǎn);否則稱(chēng)它為是非振動(dòng)的。

定義2 稱(chēng)方程 (1)為是振動(dòng)的，若方程 (1)的所有解都是振動(dòng)的;否則稱(chēng)它為是非振動(dòng)的。

目前為止，關(guān)于中立型時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性已有許多結(jié)果［1－6］，但這些文獻(xiàn)所得到的振動(dòng)準(zhǔn)則都涉及到c，p，q在整個(gè)區(qū)間 (半直線)的積分，而c，p，q在整個(gè)區(qū)間不具有這些性質(zhì)時(shí)，這些準(zhǔn)則就不適用。本文利用文獻(xiàn) ［8－10］的方法及積分平均技巧和Riccati變換，得到了方程 (1)的新的振動(dòng)準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則不同于已知的依賴(lài)于整個(gè)［t0，∞)性質(zhì)的結(jié)果，而是僅依賴(lài)于［t0，∞)的子區(qū)間列的性質(zhì)。

1 主要結(jié)果

在函數(shù)c(t)滿(mǎn)足條件0≤c(t)≤1及 －1＜c0≤c(t)≤0下建立方程 (1)的Kong－型的區(qū)間振動(dòng)準(zhǔn)則，結(jié)果推廣并包含了文獻(xiàn) ［8－10］的結(jié)果。

首先給出一些記號(hào)與術(shù)語(yǔ)．設(shè)Φ∈C1(［t0，∞)，R+)，定義

如果H∈C(D，［0，∞))，其中D={(t，s):－∞ ＜s≤t＜∞}，且H滿(mǎn)足下列條件:

(H1)H(t，t)=0 且 H(t，s)＞ 0 對(duì) t ＞ s;

其中h1，h2∈Lloc(D，R)。則稱(chēng)函數(shù)H(t，s)屬于函數(shù)集，表為H∈。

下面的引理對(duì)我們建立區(qū)間振動(dòng)準(zhǔn)則非常重要，它的證明可參見(jiàn)文獻(xiàn) ［10］。

引理1 設(shè) A0，A1，A2∈C(［t0，∞)，R)且A2＞ 0 ，又設(shè)w∈C1(［t0，∞)，R)。如果存在區(qū)間(a，b)?［t0，∞)使得

則對(duì)任意的c∈(a，b)，

對(duì)任意的H∈ 成立，其中

定理2 若對(duì)任意的T≥t0，存在H∈ ，Φ∈C1(［t0，∞)，R+)及常數(shù)a，b，c∈R+使得T≤a＜c＜b有下面的結(jié)論之一成立:

(C1)0≤c(t)≤1時(shí)，

(C2)－1＜c0≤c(t)≤0時(shí)，

其中

則方程 (1)振動(dòng)。

證明 首先，考慮條件0≤c(t)≤1成立的情形。假設(shè)y(t)是方程 (1)的一個(gè)非振動(dòng)解。不失一般性，我們可以設(shè)y(t)＞0對(duì)t≥t0(y(t)＜0的情形可類(lèi)似證明)。進(jìn)一步，可設(shè)存在t1≥t0使得

類(lèi)似于文獻(xiàn) ［9］的引理1(1)的證明，對(duì)某個(gè)t2≥t1，得

根據(jù) (7)，并注意到x(t)≥y(t)，有

y(t)≥x(t)－c(t)x(t－ τ)≥［1 －c(t)］x(t)，t≥t2．

因此，對(duì)t≥t3=t2+ρ，有

y(t－σ)≥［1－c(t－σ)］x(t－σ)≥［1－c(t－σ)］x(t－ρ)，

及

y(t－ δ)≥［1 － c(t－ δ)］x(t－ δ)≥［1 － c(t－ δ)］x(t－ ρ)，

由 (1)，得到

定義

(9)式兩邊求導(dǎo)并利用 (8)，得到

因?yàn)?r(t)(x'(t))γ)'＜ 0，所以r(t)(x'(t))γ≤r(t－ ρ)(x'(t－ ρ))γ，(10)推出

由 Yong 不等式［7，定理61］，得到

從而，

由 (11)及 (13)，有

比較 (14)和 (2)，得到

下面證明微分不等式 (8)的非平凡解在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。否則，不失一般性，假設(shè)(8)存在一個(gè)解x(t)＞0，t∈(a，b)，在 (14)中應(yīng)用引理1，得到

這與 (4)矛盾。因此，(8)的非平凡解在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。

取序列{Ti}?［t0，∞)使得Ti→∞(i→∞)，則對(duì)任意i∈N，存在ai，bi，ci∈R+使得Ti≤ai＜ci＜bi，用ai，bi，ci分別代替 (4)中a，b，c，得 (8)的非平凡解x(t)在(ai，bi)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)ti。注意到ti＞ai≥Ti，i∈N，得到 (8)的解有任意大的零點(diǎn)，這與y(t)是方程 (1)的非振動(dòng)解，從而x(t)是 (8)的最終正解相矛盾。因此，方程 (1)的所有解振動(dòng)。

其次，來(lái)證明條件 －1＜c0≤c(t)≤0成立的情形。假設(shè)y(t)是方程 (1)的一個(gè)非振動(dòng)解。不失一般性，可以設(shè)y(t)＞0對(duì)t≥t0(y(t)＜0的情形可類(lèi)似證明)。進(jìn)一步，可設(shè)存在t1≥t0使得 (6)成立。類(lèi)似于文獻(xiàn) ［9］的引理1(2)的證明，對(duì)某個(gè)t2≥t1，得

注意到y(tǒng)(t)≥x(t)，得到y(tǒng)(t－σ)≥x(t－σ)≥x(t－ρ)，y(t－δ)≥x(t－δ)≥x(t－ρ)對(duì)t≥t3。從而方程 (1)變?yōu)?

考慮 (9)定義的函數(shù)w(t)。類(lèi)似于 (14)的證明，得到

余下的證明完全類(lèi)似于0≤c(t)≤1時(shí)的情形，這里不再贅述。定理2證完。

由定理2，有下面的

定理3 假設(shè)φ1，φ2由定理2給出，又設(shè)對(duì)任意的T≥t0，存在函數(shù)H∈，Φ∈C1(［t0，∞)，R+)，以及序列{an}，{bn}，{cn}滿(mǎn)足T≤an＜cn＜bn使下面的條件之一成立:

(C3)0≤c(t)≤1時(shí)，

(C4)－1＜c0≤c(t)≤0時(shí)，

則方程 (1)振動(dòng)。

定理4 假設(shè)φ1，φ2由定理2給出，又設(shè)對(duì)任意的T≥t0，使下面的條件之一成立:

(C5)0≤c(t)≤1時(shí)，

(C6)－1＜c0≤c(t)≤0時(shí)，

則方程 (1)振動(dòng)。

證明 只證條件 (C5)成立時(shí)的情形，條件 (C6)成立時(shí)的情形類(lèi)似可證。在 (20)中取T=an，則存在cn＞an使得

在 (21)中取T=cn，則存在bn＞cn使得

由 (22)及 (23)，得 (24)。由定理3，方程 (1)振動(dòng)。定理證完。

選取恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)H，可以由定理4得到一系列的關(guān)于方程 (1)的振動(dòng)準(zhǔn)則。特別地，當(dāng)H:=H(t－s)∈，有h1(t－s)=h2(t－s)，這時(shí)記為h(t－s)。由所有的H(t－s)組成的的子集記為0。令

由定理4，得到下面的Kamenev－型的振動(dòng)準(zhǔn)則。

定理5 如果對(duì)任意的T≥t0及某個(gè)λ=max{1，γ}，下列條件之一成立:

(C7)0≤c(t)≤1時(shí)，

(C8)－1＜c0≤c(t)≤0時(shí)，

則方程 (1)振動(dòng)。

證明 只證條件 (C7)成立時(shí)的情形，條件 (C8)成立時(shí)的情形類(lèi)似可證。設(shè)H(t，s)如 (24)所定義，且Φ(t)=1/r(t－ρ)對(duì)t≥t0，有

由λ＞γ推出

根據(jù) (27)及 (28)，有

從而有 (20)成立。類(lèi)似地，(28)及 (32)推出 (21)成立。由定理4，方程 (1)振動(dòng)。定理證完。

2 例子

其中x(t)=y(t)+c0y(t－1)，－1 ＜ c0＜ 1，0 ＜ α ＜ γ ＜ β，又設(shè) γ =(α +β)/2及p，q∈C(［3，∞)，R+)且滿(mǎn)足p(t)q(t)≥(υ/tγ+1)2。當(dāng)0≤c0＜ 1時(shí)，

這一節(jié)，通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明我們建立的振動(dòng)準(zhǔn)則的應(yīng)用。

例 考慮下面的二階中立型方程:

當(dāng) －1＜c0≤0時(shí)其中λ0=max{1，γ}?？紤]下面兩種情形:

情形1 當(dāng)0≤c0＜1時(shí)，注意到r(t)≡1，μ=2及。令λ＞λ0，則

從而推出 (27)成立。又由文獻(xiàn) ［8］的引理1知，(28)對(duì)某些λ成立。再由定理5知方程 (33)振動(dòng)。

情形2 當(dāng) －1＜c≤0時(shí)，注意到r(t)≡1，μ1=μ2=2及。余下的證明類(lèi)似于情形1，由定理5知方程 (33)振動(dòng)。

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