2種改進的PWM方法及其在徑流區(qū)間估計中的應用

康 慧,袁永生,戴啟璠

(1.河海大學 理學院，江蘇 南京 210098; 2.江蘇省灌溉總渠管理處,江蘇 淮安 223200)

2種改進的PWM方法及其在徑流區(qū)間估計中的應用

康 慧1,袁永生1,戴啟璠2

(1.河海大學 理學院，江蘇 南京 210098; 2.江蘇省灌溉總渠管理處,江蘇 淮安 223200)

對于小樣本的時間序列應用2種改進的PWM方法，分別用修正的Bootstrap方法和隨機加權法對樣本進行再抽樣,然后根據(jù)PWM方法進行區(qū)間估計，并以潘家口水庫徑流量為例，對2種改進的PWM方法與傳統(tǒng)方法進行比較，改進的PWM方法的精度更高，在相同的置信水平下，置信區(qū)間更短.

徑流量；修正的Bootstrap法；隨機加權法；改進的PWM法；

在數(shù)理統(tǒng)計中，區(qū)間估計是一個分析問題、處理問題的極其重要的方法，由于它的簡單，易理解的特性，使得它在實際中也有非常廣泛的應用.在大樣本的情形下基于大數(shù)定理和中心極限定理的區(qū)間估計方法的理論研究和應用都已經非常成熟.但是，傳統(tǒng)的用于大樣本情形的區(qū)間估計方法在樣本數(shù)量上是有一定的要求的，從而在某種程度上并不適合于小樣本情形：原因是傳統(tǒng)的區(qū)間估計方法受異常點影響較大，當樣本較小時或存在異常點時，使用傳統(tǒng)區(qū)間估計方法易導致置信區(qū)間的精度不高，不能準確地估計位置參數(shù).

在多件情形下，樣本的觀測數(shù)目都是有限的.因此小樣本問題越來越突出，有效的小樣本區(qū)間估計在各個領域都顯得非常重要.但是，前面說過，對于小樣本數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)的區(qū)間估計方法很難或者不能取得理想的效果，在實際的應用中很難能得到我們希望的結果.因此，尋求一種與樣本數(shù)目無關的區(qū)間估計方法，既能夠適用于大樣本情形，又能夠適用于小樣本情形的區(qū)間估計方法至關重要，這個問題在實際的應用中也有非常重要意義.

1 Bootstrap方法與隨機加權法

1.1 修正的Bootstrap法

在統(tǒng)計學中，Bootstrap法[1]是指利用原始樣本數(shù)據(jù)進行再抽樣，得出新的樣本數(shù)據(jù)及統(tǒng)計量的一種樣本再生方法.Bootstrap方法[2]根據(jù)已經給定的原始樣本數(shù)據(jù)來復制原始觀測信息，該方法不需要對原始分布進行主觀假設或者增加新的樣本信息，就可以對總體的分布進行統(tǒng)計推斷.

設原始樣本為x1,x2,…,xn,修正的Bootstrap方法[3-4]的步驟：

1) 在內隨機產生n個(0,1)內的小數(shù)ri,i=1,2,…,n,其中n為原始樣本容量;

3) 以此作為一個新的樣本.如此繼續(xù)重復抽樣B次，得到B個Bootstrap樣本.

得到的新樣本通過數(shù)據(jù)分析，目前還沒有找到其存在的缺陷.文獻[4]證實了這種抽樣方法的可行性.

1.2 隨機加權法(Bayesian Bootstrap)

隨機加權法[5]是一種直接利用原始樣本數(shù)據(jù)，借助計算技術，通過對觀測數(shù)據(jù)的重新再抽樣，產生原始樣本的再生樣本，以此來模擬總體分布.該方法的優(yōu)點與Bootstrap方法類似[6-7]，都不需要對未知總體分布做相關的假設，消除主觀因素對于估計結果的影響.其主要思想表述如下：

其中對于N組Diricklet隨機向量的產生有[8]：

令ν(i)=(νi1,νi2,…,νin),i=1,2,…,N,

隨機加權法的思想實質就是重復再抽樣，對小樣本數(shù)據(jù)Borel函數(shù)進行加權處理，得到其再生樣本，從而獲得相關的分布信息.這種方法跟Bootstrap方法是并列的，當樣本量n固定時，隨機加權法實際上是一種Bootstrap的極限情況.而經過初步研究分析表明：在小樣本情況下，隨機加權法要比Bootstrap法效果好些[5].

因此，對于修正的Bootstrap方法，考慮Bootstrap方法和隨機加權法及兩者的關系，對隨機加權法取同樣的函數(shù)，建立新的改進的PWM方法[6,9].

2 改進的PWM方法

PWM方法是一種區(qū)間預測法，結果為一個區(qū)間，從而使預測的允許范圍擴大，一定程度上可滿足實際的工作需要.為了準確捕捉樣本的數(shù)據(jù)特征，PWM通過引進深度函數(shù)[10]及權函數(shù)[11]降低異常點的權重，緩解異常點對整體數(shù)據(jù)的影響，對數(shù)據(jù)進行特定的加工，充分利用樣本數(shù)據(jù)特征從而使區(qū)間估計更具穩(wěn)健性，且在相同置信水平下置信長度比其他的區(qū)間估計法更短.而改進PWM法在保留PWM優(yōu)點的基礎上，考慮了更全面的可能的數(shù)據(jù)情況，從而對不同的樣本動態(tài)調整其權重，使預測結果更可信.

2.1 改進的PWM方法1

步驟如下：

2) 定義深度函數(shù)

PD(xi,X)=

3) 定義權函數(shù)

該權函數(shù)為負指數(shù)型權函數(shù)，其中k是正整數(shù)，c是權重的控制系數(shù)，控制著相對的權重，m為影響半徑.當然也可以使用其他類型的權函數(shù).

4) 定義深度加權平均PWM

當然，可以證明PWM具有漸進正態(tài)性[11]，且有PWM(X)→u(n→∞).

5) 利用改進的Bootstrap抽樣方法對原始樣本進行抽樣，得到B個樣本，對每一個樣本都按照上述步驟，得到B個PWM值：PWM1,PWM2,…,PWMB，對這B個PWM值按照小到大進行排序，得到PWM(1),PWM(2),…,PWM(B)，然后按照百分位法截尾，得到置信水平為1-α的置信區(qū)間是

2.2 改進的PWM方法2

對于改進的PWM方法2來說，前4步同改進的PWM方法1相同,只需將其第5步修改如下：

利用隨機加權法對原始樣本進行抽樣，得到B個樣本，對每一個樣本都按照上述步驟，得到B個PWM值：PWM1，PWM2，…，PWMB,對這B個PWM值按照小到大進行排序，得到PWM(1)，PWM(2)，…，PWM(B),然后按照百分位法截尾，得到置信水平為1-α的置信區(qū)間是

3 2種改進的PWM方法之間及與經典方法和百分位法的優(yōu)良性比較

本文分別取正態(tài)總體N(0,1)，泊松分布總體P(4)及指數(shù)分布總體Exp(1/4)，運用Matlab軟件進行模擬抽樣，取出服從這3種分布的隨機樣本，令樣本數(shù)目分別為7、10、20，并且令重抽樣次數(shù)M為500.應用經典方法、百分位法以及改進的PWM方法1和改進的PWM方法2進行區(qū)間估計，程序運行一次得到的結果整理見表1.通過表1可以看出：在同一總體分布下，改進的PWM方法要比傳統(tǒng)的百分位方法和經典方法結果更好，其精度更高，也即得到的置信區(qū)間長度更短，而相比之下，應用隨機加權法的改進的PWM方法2比應用修正的Bootstrap方法的改進的PWM方法1更好，得到的置信區(qū)間平均長度最短.

表1 4種方法下正態(tài)N(0,1)、泊松P(4)、指數(shù)Exp(1/4)分布的置信水平為95%的隨機模擬500次置信區(qū)間的平均長度

4 實例分析

本文數(shù)據(jù)來自海河水利委員會的原始實測數(shù)據(jù)，使用灤河潘家口1980年至2009年30年的徑流量數(shù)據(jù)，而由于時間序列的非平穩(wěn)性，我們對其進行取對數(shù)并一階差分處理.運用經典方法和百分位法以及兩種改進的PWM方法對平穩(wěn)后的數(shù)據(jù)進行區(qū)間估計，并對其結果進行分析.取置信水平為95%，重抽樣樣本數(shù)N為500，結果見表2.

由該實例我們可驗證我們前面對于優(yōu)良性的比較結果，改進的PWM方法要比傳統(tǒng)的經典方法和百分位法的精度高，即其置信區(qū)間長度要小，這是由于對于小樣本來說異常點的影響是非常重要的，改進的PWM方法通過取動態(tài)的權函數(shù)減弱了異常點對于整個時間序列的影響，通過取深度函數(shù)放大了對結果有益的數(shù)據(jù)的作用，這大大提升了區(qū)間估計的穩(wěn)健性，對于徑流量來說，它的影響因素很多，在樣本數(shù)據(jù)上是有很大的隨機性，很容易受到異常點的影響，因此改進的PWM方法的結果會更好一些.又由表2可知改進的PWM方法2的精度要比改進的PWM方法1要高，這也證明了我們構造改進的PWM方法2的可行性.

表2 4種方法下對平穩(wěn)的潘家口徑流量數(shù)據(jù)的置信水平為95%的隨機模擬500次置信區(qū)間的平均長度

5 結語

影響徑流量變化的因素很多，有些因素屬于基本因素，它對事物的發(fā)展起決定作用，會使徑流量時間序列呈現(xiàn)一定的規(guī)律性；有些因素是屬于偶然的非基本因素，對事物的發(fā)展只起局部的非決定性作用，使徑流表現(xiàn)出不規(guī)則的波動，出現(xiàn)過大或過小異常點.本文通過時原始樣本進行重新抽樣，構造了新的改進的PWM方法，并進行了對比.修正的Bootstrap方法本身對于小樣本抽樣來說已經有其非常好的性質，隨機加權法與Bootstrap方法的本質是一樣的，只是在其對原樣本重新抽樣過程中所做的處理不同，這也是今后可以進行改進的一個方向.

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(責任編輯 梁志茂)

Two improved PWM methods and their application to theinterval estimation for runoff

KANG Hui1，YUAN Yong-sheng1，DAI Qi-fan2

(1.College of Science，Hohai University,Nanjing 211100,China;2.Administrative Office of Irrigation Canals of Jiangsu Province,Huai′an 223200,China)

For using the improved PWM,we exponentially down-weight the abnormal points to alleviate their influence and dynamically adjust the weights to the different data to gain more robustness. Meanwhile,we get a shorter confidence interval with the improved PWM than other estimation methods.So in the condition of small sample,we can use the improved PWM method of interval estimation.The two improved PWM methodsare the random weighting method and the improved bootstrap method respectively.We take PanjiakouReservoir as an example to compare the effects of the two improved PWM methodswith those of the traditional methods. The result shows that the improved PWM methods have high precision, and the confidence interval is shorter at the same confidence level.

runoff; improved Bootstrap method;random weighting method;improved PWM method

2014-11-25.

江蘇省水利科技創(chuàng)新基金(2011059) ; 河海大學自然科學基金(2009426311).

康慧(1990-) ，女，碩士研究生.主要研究方向：數(shù)理統(tǒng)計及其應用.

袁永生(1964-) ，男，教授,碩士生導師.主要研究方向：概率統(tǒng)計及工程中的數(shù)學問題.

O212

A

1672-8513(2015)04-0300-04