淺談“無棱”二面角的解法

王 丹

(鄂南高級(jí)中學(xué)，湖北 咸寧 437100)

淺談“無棱”二面角的解法

王 丹

(鄂南高級(jí)中學(xué)，湖北 咸寧 437100)

二面角問題是歷年高考考查的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)。求二面角的基本步驟是作、證、算，即先作出一個(gè)平面角，再證明這個(gè)角就是所求二面角的平面角，最后將這個(gè)平面角放在一個(gè)三角形中計(jì)算求解，其中作出二面角的平面角是關(guān)鍵。所謂“無棱”二面角，是指所給二面角的兩個(gè)面直觀上只有一個(gè)公共點(diǎn)，而不是一條公共直線(即二面角的棱)，這就大大增加了求二面角的難度。本文通過一道例題介紹“無棱”二面角的常規(guī)求法，以供參考。

例：如圖1所示,在邊長(zhǎng)為ɑ的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是AB、C1D1的中點(diǎn)，求平面ADD1A1與平面DEB1F所成的二面角(銳角)的余弦值。

一、由“無棱”向“有棱”轉(zhuǎn)化

法1(補(bǔ)形法) 找(作)出二面角的棱的常用方法是兩點(diǎn)法(根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，找到所求二面角的棱)

解析：延長(zhǎng)B1F、A1D1，設(shè)兩延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連DG、A1D、B1D，則DG為平面ADD1A1與平面DEB1F的交線。

∵A1D1=D1G=D1D且D1D⊥A1G，

∴A1D⊥DG，∵A1B1⊥ 面A1D1DA，

∴A1B1⊥DG，∴DG⊥A1B1DDG⊥DB1，

∴∠A1DB1就是所求二面角的平面角。

評(píng)注：將“無棱”問題轉(zhuǎn)化為“有棱”問題，實(shí)際上是將難求二面角問題轉(zhuǎn)化為易求二面角問題。

法2(平移法) 根據(jù)“兩平面平行，同位二面角或內(nèi)錯(cuò)二面角相等”可以將“無棱”二面角的一個(gè)面平移到適當(dāng)位置，得到一個(gè)與所求二面角相等或互補(bǔ)的有棱二面角，然后找(作)出該二面角的平面角即可。

評(píng)注：尋找面面平行是關(guān)鍵，而面面平行常由線線平行得到。

二、避開找棱問題

評(píng)注:找(作)出一個(gè)半平面內(nèi)的三角形(或四邊形)在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影，再利用面積射影定理求解。關(guān)鍵是找射影及求面積。

法4(公垂面法) 其理論依據(jù)是：作出二面角ɑ-l-β兩半平面的垂面γ，或證明平面γ是α、β的公垂面，可由公垂面γ與二面角兩半平面α、β交線的夾角求得二面角的大小。

評(píng)注：證得面面垂直是關(guān)鍵。

法5(向量坐標(biāo)法) 借助向量工具，將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩半平面的法向量的夾角問題研究。

評(píng)注：利用向量坐標(biāo)法求解時(shí)，首先應(yīng)合理建立空間直角坐標(biāo)系，找兩個(gè)半平面的法向量是關(guān)鍵，一定要將二面角的平面角與兩個(gè)半平面法向量夾角的關(guān)系弄清(相等還是互補(bǔ))，坐標(biāo)法將嚴(yán)密的邏輯推理轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)計(jì)算，一般很少添加輔助線，但計(jì)算繁瑣且易出錯(cuò)。

事實(shí)上，無棱二面角并不可怕，它還有其它的求法，如補(bǔ)體法、垂線法等，我們要根據(jù)題型，選擇合適的解法。求解無棱二面角問題時(shí)，可按如下步驟進(jìn)行：先通過補(bǔ)形或平移面的方式尋找二面角的棱，再利用二面角的定義或三垂線定理(或逆定理)作二面角的平面角，求得二面角的大小。若作棱有難度，可考慮面積射影法、公垂面法、空間向量坐標(biāo)法等。值得注意的是，利用三垂線定理或面積射影定理都只能求銳二面角，所以，要清楚所求的是銳二面角還是鈍二面角以及得到的角的大小與所求二面角的大小關(guān)系(相等或互補(bǔ))，這樣，才能準(zhǔn)確求出問題中的二面角的大小。

[1]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2(必修A版)[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2]周遠(yuǎn)方，孫延洲.高中課堂教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)及教學(xué)實(shí)例[M].武漢：湖北教育出版社，2013.

[3]吳天德.從一道高考題中探究無棱二面角的求法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012(11).

[4]何建民.例談無棱二面角的求法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究月刊，2005，(11).

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2015-03-15