從2015年廣東高考文數(shù)21題的解決挖掘其教育價值

☉廣東省東莞市東莞中學(xué) 龐進發(fā)

從2015年廣東高考文數(shù)21題的解決挖掘其教育價值

☉廣東省東莞市東莞中學(xué) 龐進發(fā)

一年一度的高考已結(jié)束，全國的高考試題成為教師們關(guān)注和研究的熱點.高考試題主要由高校的學(xué)科專家命制而成，深刻地體現(xiàn)了其選拔性，以及高校對中學(xué)教學(xué)的期望和學(xué)生知識能力的要求，并且給中學(xué)的教學(xué)及高三備考指明了方向.例如，2015年廣東高考數(shù)學(xué)試題，注重數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)本質(zhì)及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，意在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視知識的形成過程、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，重視數(shù)學(xué)教材的示范作用，回到教材.而教師們對高考試題的研究，更多的是停留在數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用及數(shù)學(xué)問題的解決上，思考其教育價值的不多.本文筆者從2015年廣東高考文數(shù)21題（下文簡稱“試題”）的解決挖掘其教育價值.

試題：設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=（x-a）2+|x-a|-a（a-1）.

（1）若f（0）≤1，求a的取值范圍；

（2）討論f（x）的單調(diào)性；

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、零點等性質(zhì)，以帶絕對值的二次函數(shù)為背景，考查了推理論證和運算求解能力，以及分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.本題看似容易，實際想拿到高分或滿分，必須對數(shù)學(xué)概念非常清晰，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，需要考生具備很強的邏輯思維能力，以及良好的解題習(xí)慣.從廣東省文科考生的答卷情況看，本題很好地體現(xiàn)了其選拔性，同時在解決的過程中，也蘊含著深刻的教育價值.

一、強調(diào)對數(shù)學(xué)概念、本質(zhì)的透徹理解

通常解決一個數(shù)學(xué)問題，首先需要結(jié)合問題情景聯(lián)想所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，然后在數(shù)學(xué)知識與問題情景的理解中認知數(shù)學(xué)問題，進而進行合理的數(shù)學(xué)推理、運算，尋找問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系或矛盾.因此深刻理解數(shù)學(xué)概念、本質(zhì)，對于數(shù)學(xué)問題的解決尤為重要.“試題”考查了絕對值的概念及函數(shù)零點存在性定理的概念.從答卷的情況發(fā)現(xiàn)，文科考生是在初中學(xué)習(xí)了絕對值，并且要求不高，對絕對值的概念理解不透徹，在高中又沒有進一步學(xué)習(xí)，所以很多考生不能正確地去掉絕對值符號，以致解決“試題”第（1）問時沒有對a的正負進行討論，直接去掉絕對值進行運算.典型錯誤如：f（0）=（0-a）2+|0-a|-a（a-1）=a2+a-a2+a≤1，2a≤1，得.還有函數(shù)零點存在性定理，絕大部分文科考生在高一學(xué)習(xí)時都是在形的方面進行直觀的了解，缺乏對存在零點時函數(shù)值關(guān)系的深刻理解，導(dǎo)致在判斷零點的個數(shù)時，由一個最值點就得出零點個數(shù)的結(jié)論，而忽略了對單調(diào)區(qū)間另一個端點函數(shù)值正負的判斷.如解決“試題”第（3）問時，設(shè)證明得到F（x）在（0，a］上單調(diào)遞減，在［a，+∞）上單調(diào)遞增，得到F（x）的最小值為F（a），因為a> 2，所以F（a）=a2-2a2+a+所以在（0，+∞）內(nèi)有兩個零點.錯誤原因在于沒有分別判斷在單調(diào)區(qū)間（0，a］和［a，+∞）中另一個端點函數(shù)值的正負號.正確的表述應(yīng)該補充上F（1）=1-2a-1+這也啟發(fā)我們，在高一、高二的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重數(shù)學(xué)概念知識的形成過程，深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，為數(shù)學(xué)問題的解決打下堅實的基礎(chǔ).而避免高一、高二教學(xué)“高三”化，數(shù)學(xué)概念教學(xué)蜻蜓點水，做大量的題型練習(xí).

二、體現(xiàn)多種數(shù)學(xué)思想方法

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院劉秀湘教授在2014年廣東高考數(shù)學(xué)評卷總結(jié)中提到：“在教學(xué)中，教師應(yīng)該以問題為驅(qū)動，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力；教師自身要有研究問題的意識，在教學(xué)中提出問題、分析問題和解決問題，特別是講清楚問題或者解題方法的來龍去脈及其規(guī)律，交給學(xué)生一把鑰匙——數(shù)學(xué)的思想，只有它才能真正帶領(lǐng)學(xué)生叩開數(shù)學(xué)的大門.”可見數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的．因此，在教學(xué)中要善于挖掘數(shù)學(xué)問題解決過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，特別是一些經(jīng)典的高考試題的解決.如“試題”第（3）問，不同的解決過程，就蘊含著多種數(shù)學(xué)思想方法.

1.由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法

由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法就是對于某個一般性的數(shù)學(xué)問題，如果一時難以解決，那么可以先解決它的特殊情況，即從研究對象的全體轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繉儆谶@個全體中的一個對象或部分對象，然后再把解決特殊情況的方法、結(jié)論應(yīng)用或者推廣到一般問題上，從而獲得一般性問題的解答.“試題”第（3）問是對于a≥2的情況下討論f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的零點個數(shù)，可以先對于a= 2特殊的情形進行討論，由于函數(shù)去掉絕對值后是一個分段函數(shù)，因此分別在（0，2］和（2，+∞）兩個區(qū)間上討論其零點的個數(shù).接著再對更一般的情形a>2進行討論，類比上述的研究方法，分別在（0，a］和（a，+∞）兩個區(qū)間上討論其零點的個數(shù)，從而得到問題的解答.

又因為F（2）=0，故有唯一零點x=2.

（Ⅱ）當a>2時，

①當0

②當x>a時，因為F′（x）=2x-（2a-1）-所以F（x）在［a，+∞）上為增函數(shù).

2.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)形結(jié)合即數(shù)形滲透，兩者相互推進，層層深入，這樣就能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題直觀化，是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的解題思想和方法，經(jīng)常應(yīng)用在研究函數(shù)、解析幾何等問題中.“試題”第（3）問，也可以把內(nèi)的零點個數(shù)問題等價于函數(shù)在 a|-a（a-1）與圖像在（0，+∞）內(nèi)的交點個數(shù)問題，結(jié)合幾何圖形直觀快捷地得出答案.

圖1

因為f（x）在［a，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，a］上是減函數(shù)，所以當x=a時，f（x）取得最小值fmin（x）=f（a）=-a2+ a.

3.化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法

化歸與轉(zhuǎn)化的思想就是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行變換，化歸為在已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的數(shù)學(xué)思想.化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實際就是轉(zhuǎn)化的過程.“試題”第（3）問，把在（0，+∞）內(nèi)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為xf（x）+4在（0，+∞）內(nèi)零點個數(shù)問題，當x≥a時，g（x）=x3+（1-2a）x2+4有零點又等價于在［a，+∞）上有交點，通過分離參數(shù)，化歸為研究在［a，+∞）上的值域問題，更容易解答.

當x≥a時，g（x）=x3+（1-2a）x2+4有零點等價于在［a，+∞）上的交點個數(shù).

因為x≥a≥2，所以h′（x）≥0恒成立，所以h（x）在［a，+∞）上單調(diào)遞增.

又a≥2，所以a-2≥0.

當0

Δ=4（1+2a）2-4×3×2a=4（4a2-2a+1）>0.

由g′（x）<0，解得x0

由g′（x）>0，解得0

所以g（x）在（0，x0］上遞增，在［x0，a）上遞減.

當a=2時，因為g（0）=4>0且g（2）=23+（1-2×2）×22+4= 0，所以g（x）=xf（x）+4在（0，2）內(nèi)沒有零點.

當a>2時，因為g（0）=4>0且g（a）=a3+（1-2a）a2+4= -（a-2）（a2+a+2）<0，所以由根的存在性定理，g（x）=xf（x）+4在（0，a）內(nèi)有且只有1個零點.

4.整體的數(shù)學(xué)思想方法

整體思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題方法．從整體上去認識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性．“試題”第（3）問，首先從整體上研究F（x）的單調(diào)性，得出F（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在［a，+∞）上單調(diào)遞增，求出F（x）的最小值F（a），然后判斷F（a）的正負，結(jié)合函數(shù)圖像，依據(jù)零點存在性定理，得出結(jié)論.

解法4：f（x）=x2-2ax+|x-a|+a，設(shè)F（x）

當x≥a時，F(xiàn)（x）=x2-2ax+x則F′（x）=2x-2a+1-

當0

所以F（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在［a，+∞）上單調(diào)遞增.

所以Fmin（x）=F（a）=a2-2a2+a+0（a≥2）.

三、暴露學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的缺失

“試題”從文科考生答卷反饋的情況估計得5分以上的考生只有0.34%，有51%考生得0分，體現(xiàn)了“試題”有很好的選拔性，同時也暴露了學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的缺失.

1.尋找問題切入點意識薄弱

“試題”從得0分的考生比例可見，學(xué)生尋找問題切入點意識比較薄弱.解決數(shù)學(xué)問題重要的是能準確找到解題的切入點，而尋找切入點的關(guān)鍵是緊扣數(shù)學(xué)的有關(guān)概念.如“試題”中，就是緊扣絕對值的概念，進行分類討論解決；緊扣函數(shù)的概念，首先研究函數(shù)的定義域，再研究函數(shù)的模型結(jié)構(gòu)及其性質(zhì).典型的錯誤如：“試題”的第（2）問分類去掉絕對值判斷單調(diào)性時沒有緊扣函數(shù)的定義域，當x>a時，f′（x）=2x-2a+1>0，所以f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當x

在教學(xué)中，我們要善于挖掘數(shù)學(xué)問題的教育價值，做到精講精練.這樣既能減輕學(xué)生的負擔(dān)，又能很好地促進學(xué)生的發(fā)展，進一步提高課堂效率.上述只是從數(shù)學(xué)問題解決中涉及的數(shù)學(xué)概念、本質(zhì)的理解，蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，暴露學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的缺失等方面挖掘“試題”的教育價值.而數(shù)學(xué)問題的教育價值還有很多方面，不同的數(shù)學(xué)問題又蘊含著不同的教育價值，有待進一步探討.

2.存在解題定勢思維

數(shù)學(xué)解題思維定勢是指解題者在解決數(shù)學(xué)問題的思維過程中表現(xiàn)出來的思維的定向預(yù)備狀態(tài).在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中，需要克服定勢思維.“試題”第（1）問估計有6%的文科考生進行去絕對值求導(dǎo)，如：因為f（x）=x2-2ax+a+x-a，所以f′（x）=2x-2a+1，當f′（x）=0時，…….文科考生形成了拿到函數(shù)問題就求導(dǎo)的定勢思維.這也啟發(fā)我們在教學(xué)中要教會學(xué)生分析問題的一般方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性，避免思維的固化.

3.運算推理能力欠缺

據(jù)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，目前部分高中學(xué)生運算推理能力的狀況很差，嚴重影響其高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，這部分學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一講就懂，一做就錯，結(jié)果出現(xiàn)“會而不對，對而不全”的情形.文科考生在“試題”的解答過程中，運算推理能力欠缺暴露無遺.典型的錯誤，如：第（1）問代入后不知道如何化簡或化簡出錯，若f（0）≤1，則f（0）=（0-a）2+|0-a|-a（a-1）≤1，得f（0）=a2+|a|≤1，當a≥0時，2a+a≤1，得

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.何小亞.與新課程同行：數(shù)學(xué)學(xué)與教的心理學(xué)［M］.廣州：華南理工大學(xué)出版社，2003.

3.王林全.當代中小學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展［M］.廣州：廣東教育出版社，2006.

4.章建躍，陶維林.概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程［J］.數(shù)學(xué)通報，2010（1）.

5.劉秀湘.在穩(wěn)定中注重數(shù)學(xué)概念和思維的考查［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014（8）.

6.【美】G.波利亞，著.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.