☉廣東省東莞市東莞中學(xué) 龐進發(fā)
從2015年廣東高考文數(shù)21題的解決挖掘其教育價值
☉廣東省東莞市東莞中學(xué) 龐進發(fā)
一年一度的高考已結(jié)束,全國的高考試題成為教師們關(guān)注和研究的熱點.高考試題主要由高校的學(xué)科專家命制而成,深刻地體現(xiàn)了其選拔性,以及高校對中學(xué)教學(xué)的期望和學(xué)生知識能力的要求,并且給中學(xué)的教學(xué)及高三備考指明了方向.例如,2015年廣東高考數(shù)學(xué)試題,注重數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)本質(zhì)及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,意在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視知識的形成過程、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,重視數(shù)學(xué)教材的示范作用,回到教材.而教師們對高考試題的研究,更多的是停留在數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用及數(shù)學(xué)問題的解決上,思考其教育價值的不多.本文筆者從2015年廣東高考文數(shù)21題(下文簡稱“試題”)的解決挖掘其教育價值.
試題:設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).
(1)若f(0)≤1,求a的取值范圍;
(2)討論f(x)的單調(diào)性;
本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、零點等性質(zhì),以帶絕對值的二次函數(shù)為背景,考查了推理論證和運算求解能力,以及分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.本題看似容易,實際想拿到高分或滿分,必須對數(shù)學(xué)概念非常清晰,深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法,需要考生具備很強的邏輯思維能力,以及良好的解題習(xí)慣.從廣東省文科考生的答卷情況看,本題很好地體現(xiàn)了其選拔性,同時在解決的過程中,也蘊含著深刻的教育價值.
通常解決一個數(shù)學(xué)問題,首先需要結(jié)合問題情景聯(lián)想所學(xué)的數(shù)學(xué)知識,然后在數(shù)學(xué)知識與問題情景的理解中認知數(shù)學(xué)問題,進而進行合理的數(shù)學(xué)推理、運算,尋找問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系或矛盾.因此深刻理解數(shù)學(xué)概念、本質(zhì),對于數(shù)學(xué)問題的解決尤為重要.“試題”考查了絕對值的概念及函數(shù)零點存在性定理的概念.從答卷的情況發(fā)現(xiàn),文科考生是在初中學(xué)習(xí)了絕對值,并且要求不高,對絕對值的概念理解不透徹,在高中又沒有進一步學(xué)習(xí),所以很多考生不能正確地去掉絕對值符號,以致解決“試題”第(1)問時沒有對a的正負進行討論,直接去掉絕對值進行運算.典型錯誤如:f(0)=(0-a)2+|0-a|-a(a-1)=a2+a-a2+a≤1,2a≤1,得.還有函數(shù)零點存在性定理,絕大部分文科考生在高一學(xué)習(xí)時都是在形的方面進行直觀的了解,缺乏對存在零點時函數(shù)值關(guān)系的深刻理解,導(dǎo)致在判斷零點的個數(shù)時,由一個最值點就得出零點個數(shù)的結(jié)論,而忽略了對單調(diào)區(qū)間另一個端點函數(shù)值正負的判斷.如解決“試題”第(3)問時,設(shè)證明得到F(x)在(0,a]上單調(diào)遞減,在[a,+∞)上單調(diào)遞增,得到F(x)的最小值為F(a),因為a> 2,所以F(a)=a2-2a2+a+所以在(0,+∞)內(nèi)有兩個零點.錯誤原因在于沒有分別判斷在單調(diào)區(qū)間(0,a]和[a,+∞)中另一個端點函數(shù)值的正負號.正確的表述應(yīng)該補充上F(1)=1-2a-1+這也啟發(fā)我們,在高一、高二的數(shù)學(xué)教學(xué)中,要注重數(shù)學(xué)概念知識的形成過程,深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),為數(shù)學(xué)問題的解決打下堅實的基礎(chǔ).而避免高一、高二教學(xué)“高三”化,數(shù)學(xué)概念教學(xué)蜻蜓點水,做大量的題型練習(xí).
華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院劉秀湘教授在2014年廣東高考數(shù)學(xué)評卷總結(jié)中提到:“在教學(xué)中,教師應(yīng)該以問題為驅(qū)動,培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力;教師自身要有研究問題的意識,在教學(xué)中提出問題、分析問題和解決問題,特別是講清楚問題或者解題方法的來龍去脈及其規(guī)律,交給學(xué)生一把鑰匙——數(shù)學(xué)的思想,只有它才能真正帶領(lǐng)學(xué)生叩開數(shù)學(xué)的大門.”可見數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的.因此,在教學(xué)中要善于挖掘數(shù)學(xué)問題解決過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法,特別是一些經(jīng)典的高考試題的解決.如“試題”第(3)問,不同的解決過程,就蘊含著多種數(shù)學(xué)思想方法.
1.由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法
由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法就是對于某個一般性的數(shù)學(xué)問題,如果一時難以解決,那么可以先解決它的特殊情況,即從研究對象的全體轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繉儆谶@個全體中的一個對象或部分對象,然后再把解決特殊情況的方法、結(jié)論應(yīng)用或者推廣到一般問題上,從而獲得一般性問題的解答.“試題”第(3)問是對于a≥2的情況下討論f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的零點個數(shù),可以先對于a= 2特殊的情形進行討論,由于函數(shù)去掉絕對值后是一個分段函數(shù),因此分別在(0,2]和(2,+∞)兩個區(qū)間上討論其零點的個數(shù).接著再對更一般的情形a>2進行討論,類比上述的研究方法,分別在(0,a]和(a,+∞)兩個區(qū)間上討論其零點的個數(shù),從而得到問題的解答.
又因為F(2)=0,故有唯一零點x=2.
(Ⅱ)當a>2時,
①當0 ②當x>a時,因為F′(x)=2x-(2a-1)-所以F(x)在[a,+∞)上為增函數(shù). 2.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)形結(jié)合即數(shù)形滲透,兩者相互推進,層層深入,這樣就能使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題直觀化,是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的解題思想和方法,經(jīng)常應(yīng)用在研究函數(shù)、解析幾何等問題中.“試題”第(3)問,也可以把內(nèi)的零點個數(shù)問題等價于函數(shù)在 a|-a(a-1)與圖像在(0,+∞)內(nèi)的交點個數(shù)問題,結(jié)合幾何圖形直觀快捷地得出答案. 圖1 因為f(x)在[a,+∞)上是增函數(shù),在(-∞,a]上是減函數(shù),所以當x=a時,f(x)取得最小值fmin(x)=f(a)=-a2+ a. 3.化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法 化歸與轉(zhuǎn)化的思想就是將未知解法或難以解決的問題,通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程,選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行變換,化歸為在已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的數(shù)學(xué)思想.化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想,解題的過程實際就是轉(zhuǎn)化的過程.“試題”第(3)問,把在(0,+∞)內(nèi)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為xf(x)+4在(0,+∞)內(nèi)零點個數(shù)問題,當x≥a時,g(x)=x3+(1-2a)x2+4有零點又等價于在[a,+∞)上有交點,通過分離參數(shù),化歸為研究在[a,+∞)上的值域問題,更容易解答. 當x≥a時,g(x)=x3+(1-2a)x2+4有零點等價于在[a,+∞)上的交點個數(shù). 因為x≥a≥2,所以h′(x)≥0恒成立,所以h(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞增. 又a≥2,所以a-2≥0. 當0 Δ=4(1+2a)2-4×3×2a=4(4a2-2a+1)>0. 由g′(x)<0,解得x0 由g′(x)>0,解得0 所以g(x)在(0,x0]上遞增,在[x0,a)上遞減. 當a=2時,因為g(0)=4>0且g(2)=23+(1-2×2)×22+4= 0,所以g(x)=xf(x)+4在(0,2)內(nèi)沒有零點. 當a>2時,因為g(0)=4>0且g(a)=a3+(1-2a)a2+4= -(a-2)(a2+a+2)<0,所以由根的存在性定理,g(x)=xf(x)+4在(0,a)內(nèi)有且只有1個零點. 4.整體的數(shù)學(xué)思想方法 整體思想,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時,通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,從而對問題進行整體處理的解題方法.從整體上去認識問題、思考問題,常常能化繁為簡、變難為易,同時又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性.“試題”第(3)問,首先從整體上研究F(x)的單調(diào)性,得出F(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在[a,+∞)上單調(diào)遞增,求出F(x)的最小值F(a),然后判斷F(a)的正負,結(jié)合函數(shù)圖像,依據(jù)零點存在性定理,得出結(jié)論. 解法4:f(x)=x2-2ax+|x-a|+a,設(shè)F(x) 當x≥a時,F(xiàn)(x)=x2-2ax+x則F′(x)=2x-2a+1- 當0 所以F(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在[a,+∞)上單調(diào)遞增. 所以Fmin(x)=F(a)=a2-2a2+a+0(a≥2). “試題”從文科考生答卷反饋的情況估計得5分以上的考生只有0.34%,有51%考生得0分,體現(xiàn)了“試題”有很好的選拔性,同時也暴露了學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的缺失. 1.尋找問題切入點意識薄弱 “試題”從得0分的考生比例可見,學(xué)生尋找問題切入點意識比較薄弱.解決數(shù)學(xué)問題重要的是能準確找到解題的切入點,而尋找切入點的關(guān)鍵是緊扣數(shù)學(xué)的有關(guān)概念.如“試題”中,就是緊扣絕對值的概念,進行分類討論解決;緊扣函數(shù)的概念,首先研究函數(shù)的定義域,再研究函數(shù)的模型結(jié)構(gòu)及其性質(zhì).典型的錯誤如:“試題”的第(2)問分類去掉絕對值判斷單調(diào)性時沒有緊扣函數(shù)的定義域,當x>a時,f′(x)=2x-2a+1>0,所以f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當x 在教學(xué)中,我們要善于挖掘數(shù)學(xué)問題的教育價值,做到精講精練.這樣既能減輕學(xué)生的負擔(dān),又能很好地促進學(xué)生的發(fā)展,進一步提高課堂效率.上述只是從數(shù)學(xué)問題解決中涉及的數(shù)學(xué)概念、本質(zhì)的理解,蘊含的數(shù)學(xué)思想方法,暴露學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的缺失等方面挖掘“試題”的教育價值.而數(shù)學(xué)問題的教育價值還有很多方面,不同的數(shù)學(xué)問題又蘊含著不同的教育價值,有待進一步探討. 2.存在解題定勢思維 數(shù)學(xué)解題思維定勢是指解題者在解決數(shù)學(xué)問題的思維過程中表現(xiàn)出來的思維的定向預(yù)備狀態(tài).在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中,需要克服定勢思維.“試題”第(1)問估計有6%的文科考生進行去絕對值求導(dǎo),如:因為f(x)=x2-2ax+a+x-a,所以f′(x)=2x-2a+1,當f′(x)=0時,…….文科考生形成了拿到函數(shù)問題就求導(dǎo)的定勢思維.這也啟發(fā)我們在教學(xué)中要教會學(xué)生分析問題的一般方法,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性,避免思維的固化. 3.運算推理能力欠缺 據(jù)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn),目前部分高中學(xué)生運算推理能力的狀況很差,嚴重影響其高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),這部分學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一講就懂,一做就錯,結(jié)果出現(xiàn)“會而不對,對而不全”的情形.文科考生在“試題”的解答過程中,運算推理能力欠缺暴露無遺.典型的錯誤,如:第(1)問代入后不知道如何化簡或化簡出錯,若f(0)≤1,則f(0)=(0-a)2+|0-a|-a(a-1)≤1,得f(0)=a2+|a|≤1,當a≥0時,2a+a≤1,得 1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)[M].北京:人民教育出版社,2003. 2.何小亞.與新課程同行:數(shù)學(xué)學(xué)與教的心理學(xué)[M].廣州:華南理工大學(xué)出版社,2003. 3.王林全.當代中小學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展[M].廣州:廣東教育出版社,2006. 4.章建躍,陶維林.概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程[J].數(shù)學(xué)通報,2010(1). 5.劉秀湘.在穩(wěn)定中注重數(shù)學(xué)概念和思維的考查[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2014(8). 6.【美】G.波利亞,著.怎樣解題[M].涂泓,馮承天,譯.上海:上??萍冀逃霭嫔?,2007.三、暴露學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的缺失