基于Info—Gap決策的結(jié)構(gòu)抗震穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)

唐和生+范德偉+李大偉+薛松濤

摘要：針對(duì)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中存在嚴(yán)重不確定性問(wèn)題，基于Info-Gap理論建立一種考慮地震設(shè)計(jì)譜參數(shù)不確定的結(jié)構(gòu)抗震穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.該設(shè)計(jì)方法采用Info-Gap模型來(lái)描述地震設(shè)計(jì)譜中反映地面運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度的水平地震影響系數(shù)最大值αmax和場(chǎng)地特征周期Tg的不確定，通過(guò)嵌套優(yōu)化使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)滿足結(jié)構(gòu)的臨界性能要求的同時(shí)實(shí)現(xiàn)最大化不確定的穩(wěn)健性.通過(guò)對(duì)一個(gè)6層3跨的鋼框架的抗震穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)驗(yàn)證分析表明：這種基于滿足性能的結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)需在滿足結(jié)構(gòu)性能需求和提高不確定穩(wěn)健性之間進(jìn)行權(quán)衡取舍;同時(shí)也證實(shí)該方法為在不易得到不確定性因素足夠信息情況下的基于性能結(jié)構(gòu)抗震可靠性設(shè)計(jì)提供了一條新思路.

關(guān)鍵詞：Info-Gap理論;不確定;穩(wěn)健性;抗震設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：TU318;TU323.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Info-Gap Decision for the Robust Seismic

Design Optimization of Structures

TANG He-sheng1， 2， FAN De-wei2， LI Da-wei2， XUE Song-tao2，3

（1.State Key Laboratory of Disaster Prevention in Civil Engineering， Tongji Univ， Shanghai200092， China;

2. Research Institute of Structural Engineering and Disaster Reduction， Tongji Univ， Shanghai200092， China;

3. Dept of Architecture， Tohoku Institute of Technology， Sendai982-8577， Japan）

Abstract：Seismic design for buildings is usually subject to various uncertainties， often severe， which have the potential to undermine engineering decisions. It is crucial that these uncertainties be accounted for in seismic design. We formulated a performance-based seismic design model that takes into account uncertainty in the seismic design spectrum of the αmax and Tg. We used ?info-gap theory for satisfying the critical performance requirements， while at the same time maximized the robustness to uncertainty through nested optimization. The design implications of this robust-satisfying approach were demonstrated with a three-span six-floor steel frame design example. It is shown that design preferences depend upon the performance requirements considering the trade-off between robustness to uncertainty. Also， the result reveals that the proposed method provides a novel tool for the performance-based seismic reliability design under the lack of knowledge.

Key words：Info-Gap theory; uncertainty; robust; seismic design

結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中涉及到很多不確定的因素，如中國(guó)現(xiàn)行規(guī)范中的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜便是通過(guò)對(duì)大量實(shí)際地震記錄的反應(yīng)譜進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)判斷后得到的平均譜，以地震影響系數(shù)的形式給出.建筑結(jié)構(gòu)的地震影響系數(shù)應(yīng)根據(jù)烈度、場(chǎng)地類別、設(shè)計(jì)地震動(dòng)分組和結(jié)構(gòu)的自振周期以及阻尼比等確定.而對(duì)于給定的結(jié)構(gòu)，其自振周期和阻尼比通常是確定的，進(jìn)而可直接由抗震設(shè)防烈度和場(chǎng)地特征周期來(lái)確定地震影響系數(shù)的取值[1].由此可知，規(guī)范中的反應(yīng)譜主要取決于反映地面運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度的地震影響系數(shù)最大值αmax和場(chǎng)地的特征周期Tg.而地震影響系數(shù)最大值αmax和場(chǎng)地特征周期Tg會(huì)因震源機(jī)制、傳播途徑特性及局部地質(zhì)土質(zhì)條件等不同而存在著一定幅度的變化，并不是一個(gè)確定的值.再者由于規(guī)范反應(yīng)譜的統(tǒng)計(jì)值會(huì)受到統(tǒng)計(jì)分析所用資料的完備性、計(jì)算回歸過(guò)程中數(shù)據(jù)的離散性以及各種人為的主觀性的影響，使得αmax和Tg的取值都是不確定的.

目前不確定性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)主要采用的概率和模糊方法都依賴于大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并需要對(duì)概率分布或隸屬度進(jìn)行主觀假定.研究表明概率模型參數(shù)的小偏差可導(dǎo)致結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算出現(xiàn)較大誤差[2-4].然而，很多結(jié)構(gòu)工程統(tǒng)計(jì)樣本的采集相對(duì)比較困難，難以得到不確定參量的足夠信息來(lái)確定其概率密度分布，只能得到其幅度或界限.因此，以概率方法為代表的不確定優(yōu)化方法并不完全適用于結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域[5].

20世紀(jì)90年代，Ben-Haim[2]和Elishakoff等人[6]提出并倡導(dǎo)應(yīng)用凸集合模型描述區(qū)間不確定性.凸集合模型僅需要少量不確定性參數(shù)的統(tǒng)計(jì)信息，特別適用于嚴(yán)重不確定的優(yōu)化設(shè)計(jì).Ben-Haim在文獻(xiàn)[7]中基于凸集合理論，提出了非概率可靠性的思想：若系統(tǒng)能容許不確定參量在一定范圍內(nèi)的波動(dòng)，則認(rèn)為系統(tǒng)是可靠的，并指出結(jié)構(gòu)可靠性可以用結(jié)構(gòu)在失效前能夠承受的不確定性總量來(lái)度量.在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面，文獻(xiàn)[8-9]基于凸模型將非概率可靠性理論應(yīng)用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).蘇永華等[10]基于區(qū)間數(shù)學(xué)理論，建立了深部工程圍巖力學(xué)參數(shù)及其對(duì)開(kāi)挖響應(yīng)的區(qū)間非概率分析模型.但是當(dāng)不確定性參數(shù)采用區(qū)間數(shù)或凸集合描述時(shí)，由于復(fù)雜結(jié)構(gòu)情形的可靠性問(wèn)題通常所呈現(xiàn)的非凸特性給此類方法帶來(lái)了分析計(jì)算上的困難，而且區(qū)間算法可能引起擴(kuò)張，從而使該方法的應(yīng)用受到較大限制.

在凸集合理論研究的基礎(chǔ)上，Ben-Haim提出了“嚴(yán)重不確定性”的概念，即僅能獲知不確定性參數(shù)假定的名義值，但無(wú)法獲得不確定性參數(shù)其他信息的情況;并針對(duì)這類問(wèn)題創(chuàng)立了Info-Gap決策理論（Info-Gap Decision Theory， IGDT）[11].IGDT作為一種考慮嚴(yán)重不確定性的非概率優(yōu)化方法，已經(jīng)成功地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[12]、生物保護(hù)[13- 14]、金融經(jīng)濟(jì)[15]等.一些學(xué)者也嘗試將IGDT應(yīng)用于結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域中[5， 16]，但這些研究都僅限于結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健性函數(shù)解析求解簡(jiǎn)單問(wèn)題，對(duì)復(fù)雜的嵌套優(yōu)化問(wèn)題則鮮有涉及.鑒于此，本文提出了一種將IGDT與自然計(jì)算方法相結(jié)合的優(yōu)化方法，應(yīng)用人工智能算法來(lái)處理IGDT的嵌套優(yōu)化問(wèn)題，并將該方法應(yīng)用于基于性能的結(jié)構(gòu)抗震優(yōu)化中.最后通過(guò)一例鋼框架結(jié)構(gòu)的抗震性能優(yōu)化設(shè)計(jì)，驗(yàn)證該方法處理基于性能的抗震穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效性.

1 Info-Gap不確定穩(wěn)健性優(yōu)化模型

基于非概率Info-Gap不確定模型的結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)是一種滿足性能的優(yōu)化設(shè)計(jì)，其目的是設(shè)計(jì)出滿足所有約束條件及臨界性能的穩(wěn)健性最優(yōu)的結(jié)構(gòu).其基本思想為：首先選擇一個(gè)合適的臨界性能作為約束，然后在保證結(jié)構(gòu)系統(tǒng)正常工作的前提下，最大化結(jié)構(gòu)系統(tǒng)抵抗不確定變量波動(dòng)的能力，該模型主要由以下幾部分組成.

1）設(shè)計(jì)變量：在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，首先是確定設(shè)計(jì)變量以達(dá)到理想設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)性能或其他目標(biāo).可以表示為：

q = [ q1， q2， …， qn ]T ， qmin ≤q≤qmax . （1）

式中：n為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù);qmin， qmax分別為設(shè)計(jì)變量的下限與上限.在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)變量包括幾何尺寸、形狀或結(jié)構(gòu)拓?fù)涞冉Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù).

2）不確定變量：在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，除設(shè)計(jì)變量外，還存在一些不確定變量.這些不確定變量u來(lái)源于許多方面，如外荷載、邊界條件、幾何參數(shù)以及材料參數(shù)等.圖1為一簡(jiǎn)單的Info-Gap模型，假定不確定變量的名義值為，而其真實(shí)值u未知，這兩者之間存在的差距以α來(lái)表示，且這種差距的程度是未知的.Info-Gap不確定模型將α稱為不確定性水平.

3）約束條件：通常結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題還必須考慮約束條件，以滿足設(shè)計(jì)變量空間的可行域要求.約束條件的表達(dá)式為：

gi（q）≤0，i=1，2，…，I. ?（3）

式中：I為約束條件的個(gè)數(shù).結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，約束條件通常需要考慮應(yīng)力約束和位移約束等.

4）性能函數(shù)：性能函數(shù)R（q， u） 是設(shè)計(jì)變量q和不確定變量u的函數(shù)，代表結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)或響應(yīng).性能函數(shù)可以是結(jié)構(gòu)造價(jià)、材料體積或結(jié)構(gòu)質(zhì)量，也可以是結(jié)構(gòu)柔度、節(jié)點(diǎn)位移、應(yīng)力、自振頻率或屈曲荷載等結(jié)構(gòu)性能.臨界性能rc為性能函數(shù)R（q， u）必須滿足的前提條件.這兩者構(gòu)成了非概率Info-Gap穩(wěn)健性設(shè)計(jì)過(guò)程時(shí)必須滿足的臨界性能條件（假設(shè)性能函數(shù)必須小于臨界性能rc）：

R（q，u）≤rc. ?（4）

通常情況下，性能函數(shù)是設(shè)計(jì)變量與不確定變量的隱函數(shù)，需要通過(guò)結(jié)構(gòu)分析（如有限元分析）來(lái)計(jì)算.

5）穩(wěn)健性函數(shù)：傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是將性能函數(shù)R（q， u）作為目標(biāo)函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)性能最優(yōu)化的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).而基于Info-Gap的結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的是在滿足臨界性能條件下最大化不確定性水平αi.數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

i（q，rc）=max {αi：（max R（q，u）≤rc）}，

i=1，2，…，I.（5）

式中：I為設(shè)計(jì)中所需考慮的不確定性水平的個(gè)數(shù)，當(dāng)存在多個(gè)不確定性水平時(shí)，基于Info-Gap模型的結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)變?yōu)槎嗄繕?biāo)設(shè)計(jì).穩(wěn)健性i是第i個(gè)不確定性水平αi的最大值，即結(jié)構(gòu)在滿足約束條件及臨界性能條件下所能承受的不確定變量實(shí)際值偏離其名義值的最大極限.

2基于Info-Gap理論的結(jié)構(gòu)抗震性能穩(wěn)健

性優(yōu)化設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的性能優(yōu)化設(shè)計(jì)將結(jié)構(gòu)的性能指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)，例如得到造價(jià)最小的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).在不確定性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，以概率方法為代表的性能優(yōu)化設(shè)計(jì)需要足夠充分的統(tǒng)計(jì)樣本，或?qū)Σ淮_定性參數(shù)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)假設(shè)，難以建立不確定性參數(shù)信息嚴(yán)重缺失的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型.為解決此類問(wèn)題，本文基于Info-Gap模型[11]以穩(wěn)健性函數(shù)來(lái)表示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的最大非概率不確定性水平，建立最大化穩(wěn)健性函數(shù)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)策略及優(yōu)化方法，將穩(wěn)健性函數(shù)的最大化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為考慮約束條件的嵌套優(yōu)化問(wèn)題，并采用人工智能算法處理穩(wěn)健性函數(shù)的嵌套優(yōu)化問(wèn)題.

如上所述，基于Info-Gap理論的結(jié)構(gòu)抗震性能穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)的過(guò)程就是通過(guò)公式（5）的嵌套優(yōu)化來(lái)求解穩(wěn)健性函數(shù).該優(yōu)化過(guò)程包括外優(yōu)化和內(nèi)優(yōu)化兩個(gè)部分，外優(yōu)化的目標(biāo)是求解穩(wěn)健性函數(shù)，內(nèi)優(yōu)化的目標(biāo)是求解滿足臨界性能條件的最不利性能函數(shù).嵌套優(yōu)化的復(fù)雜程度遠(yuǎn)大于單一的優(yōu)化過(guò)程，這使得精確計(jì)算結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性函數(shù)變得非常困難.因此，很多學(xué)者轉(zhuǎn)而研究可行的數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題.在Info-Gap模型的發(fā)展過(guò)程中，也是將不確定性問(wèn)題假定為滿足凸集合條件下的不確定性問(wèn)題，并針對(duì)穩(wěn)健性函數(shù)和其他部分提出了相應(yīng)的計(jì)算方法.但是在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，結(jié)構(gòu)不確定性參數(shù)采用區(qū)間數(shù)或凸集合描述時(shí)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)值域通常是非凸的，且具有不止一個(gè)局部極值點(diǎn)[17].因此，實(shí)際結(jié)構(gòu)的不確定性優(yōu)化問(wèn)題相對(duì)于單一的優(yōu)化問(wèn)題來(lái)說(shuō)更需要采用全局優(yōu)化方法.

遺傳算法（GA）[18]是模擬生物自然進(jìn)化機(jī)制的隨機(jī)優(yōu)化方法，它借用了仿真生物遺傳學(xué)和自然選擇機(jī)理，通過(guò)自然選擇、遺傳、變異等作用機(jī)制，實(shí)現(xiàn)個(gè)體的適應(yīng)性的提高，末代適應(yīng)性最高的個(gè)體作為近似最優(yōu)解.GA對(duì)設(shè)計(jì)變量特殊編碼，其尋優(yōu)搜索由適應(yīng)度值為引導(dǎo)，對(duì)不可微以至不連續(xù)的函數(shù)優(yōu)化，GA能以較大概率求得全局解;具有較強(qiáng)的魯棒性、全局收斂性、隱含并行性及廣泛的適應(yīng)性;并且能處理不同類型的優(yōu)化變量（離散的、連續(xù)的和混合型的）;直接搜索法不需要任何輔助信息，對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)也沒(méi)有任何要求.由于上述優(yōu)點(diǎn)，GA在眾多學(xué)者的努力下已經(jīng)發(fā)展成為一種自組織、自適應(yīng)啟發(fā)式概率性搜索優(yōu)化技術(shù)，能有效地求解屬于NPC（不可計(jì)算的）類型的組合優(yōu)化問(wèn)題及非線性多模型、多目標(biāo)的函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，從而得到了多學(xué)科的廣泛重視.GA開(kāi)始滲透到自適應(yīng)行為、人工智能、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[19]、機(jī)器人、運(yùn)籌學(xué)等學(xué)科[20-21]，并逐漸擴(kuò)展到工程技術(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、管理科學(xué)和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域[22].基于上述優(yōu)點(diǎn)，本文采用GA來(lái)實(shí)現(xiàn)基于Info-Gap的結(jié)構(gòu)抗震性能穩(wěn)健性優(yōu)化的計(jì)算.

2.1 Info-Gap結(jié)構(gòu)抗震性能穩(wěn)健性設(shè)計(jì)步驟

基于Info-Gap結(jié)構(gòu)抗震性能穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的GA算法主要步驟如下.

1） 開(kāi)始外優(yōu)化：設(shè)置GA算法參數(shù)，確定臨界性能rc，在可行空間內(nèi)初始化設(shè)計(jì)變量q;

2） 開(kāi)始內(nèi)優(yōu)化：初始化不確定變量u;

3） 以設(shè)計(jì)變量q和不確定性變量u進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，求解性能函數(shù)R（q， u）;

4） 更新不確定性變量u;

5） 返回3），直至達(dá)到內(nèi)優(yōu)化最大迭代代數(shù);

6） 輸出當(dāng)前滿足臨界性能條件的最不利性能R（q， u）及相應(yīng)的不確定變量u;

7） 更新設(shè)計(jì)變量q;

8） 返回2），直至達(dá)到外優(yōu)化最大迭代代數(shù);

9） 輸出當(dāng)前穩(wěn)健性函數(shù)及相應(yīng)最優(yōu)設(shè)計(jì)變量.

結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)過(guò)程中，嵌套內(nèi)優(yōu)化和外優(yōu)化分別需要計(jì)算性能函數(shù)R（q， u）與不確定性水平αi的極值，極值的求解通過(guò)GA來(lái)實(shí)現(xiàn).在本文中定義不確定性水平u為抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜中的水平地震影響系數(shù)最大值αmax和場(chǎng)地特征周期Tg.定義內(nèi)優(yōu)化性能函數(shù)為結(jié)構(gòu)的最大層間位移角θi，max（q， u）.

2.2 抗震性能優(yōu)化設(shè)計(jì)中性能函數(shù)的求解

本文采用基于文獻(xiàn)[23]中μ-ξy-T關(guān)系的延性需求譜法而開(kāi)發(fā)求解鋼框架地震性能指標(biāo)的程序，求解結(jié)構(gòu)性能點(diǎn)的位移和層間位移角，求解步驟如下.

1） 求解結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性：周期T以及振型Φ，其中振型以頂點(diǎn)幅值為1進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.

2） 對(duì)第一階模態(tài)，建立結(jié)構(gòu)的pushover曲線.將pushover曲線等效為二折線型，并求得等效單自由度（ESDOF）的周期Te與屈服位移Δy.

3） 根據(jù)彈性加速度與位移之間關(guān)系求解等效單自由度體系的需求位移Sde并與Δy相對(duì)比：①若Sde< Δy則說(shuō)明單自由度體系尚處于彈性狀態(tài)，即Sde就是等效單自由度體系的最大響應(yīng)位移Δu;②若Sde>Δy則說(shuō)明單自由度體系在該水準(zhǔn)下已處于彈塑性狀態(tài)，利用文獻(xiàn)[23]中μ-ξy-T關(guān)系求解延性系數(shù)μ，進(jìn)而求解單自由度體系最大響應(yīng)位移Δu.

4） 利用Δu=φTMφφTMΔu求解結(jié)構(gòu)頂部最大位移，再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化振型Φ求解各樓層最大位移Δi，max，計(jì)算樓層最大位移角θi，max.

通過(guò)上述介紹，基于Info-Gap理論的結(jié)構(gòu)抗震性能穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖2所示.

3算例分析

3.1模型及算法描述

本文算例為一個(gè)6層3跨鋼框架結(jié)構(gòu)的抗震穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì).設(shè)計(jì)資料如下：跨度7.5 m，首層層高4.5 m，其余層高3.9 m，抗震設(shè)防烈度7度，場(chǎng)地類別一組三類場(chǎng)地.在本文優(yōu)化中首先對(duì)梁柱進(jìn)行編組，柱子分組為C1～C12，梁分組為B1～B6，單榀框架模型如圖3所示.

采用本文算法在滿足最大層間位移角小于2.0%前提下，實(shí)現(xiàn)鋼框架總質(zhì)量最小并且抵抗的地震影響系數(shù)最大.本文優(yōu)化部分采用MATLAB嵌套DRAIN編程進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗震性能優(yōu)化設(shè)計(jì)，在設(shè)計(jì)中將3D3S的H型鋼庫(kù)截面尺寸定義為設(shè)計(jì)變量并對(duì)其進(jìn)行編碼以便在優(yōu)化設(shè)計(jì)中調(diào)用.GA算法參數(shù)選取如下：群體規(guī)模pop=50;最大迭代進(jìn)化代數(shù)gen=150;因?yàn)樗阉骺臻g是離散變量，所以采用正整數(shù)編碼，模擬二進(jìn)制編碼;選擇方法采用輪盤賭法;交叉方法采用多點(diǎn)交叉，交叉概率pc=50%;變異方法采用非均勻變異，變異概率pm=10%.約束采用限定搜索空間與罰函數(shù)相結(jié)合的方法，首先限定解搜索空間為柱選用寬翼緣H型鋼，梁選用窄翼緣H型鋼.分析程序的參數(shù)如下：以位移控制，每次位移增加push step=2.5 cm;材料參數(shù)：屈服后的強(qiáng)度比SHR=0.03;屈服強(qiáng)度Fy=398 MPa;考慮P-Δ效應(yīng).

3.2考慮αmax不確定的穩(wěn)健性抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)

將αmax作為不確定變量，性能函數(shù)R（X，u）為結(jié)構(gòu)層間最大位移角θi，max.將水平地震影響系數(shù)最大值αmax對(duì)于名義值max 所增大的百分比定義為模型的穩(wěn)健性，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

Πα，max =αmax ：αmax -max max ≤α，α≥0.（6）

對(duì)應(yīng)地將式（6）中α定義為穩(wěn)健性指標(biāo)，框架總質(zhì)量隨αmax穩(wěn)健性指標(biāo)變化，如圖4所示.

將圖4對(duì)應(yīng)①～⑥不同穩(wěn)健性指標(biāo)的反映頂點(diǎn)位移角和側(cè)向力關(guān)系的pushover曲線列于圖5（a）～5（f） 中，并將對(duì)應(yīng)的框架整體特性列于表1中（其中T為結(jié)構(gòu)的自振周期，M為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，θi，max為pushover分析中結(jié)構(gòu)最大層間位移值）.

由表1可知，反映αmax穩(wěn)健性指標(biāo)越高所需要鋼材質(zhì)量越大，穩(wěn)健性指標(biāo)為30%時(shí)，需要的鋼材質(zhì)量要增加17.68%，穩(wěn)健性指標(biāo)為80%時(shí)，需要增加的鋼材質(zhì)量為40.05%;結(jié)構(gòu)自振周期隨αmax穩(wěn)健性的增高而減小，這也說(shuō)明隨著αmax的增大可通過(guò)增大結(jié)構(gòu)的剛度抵抗地震作用.

3.3考慮Tg不確定的穩(wěn)健性抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)

將Tg作為不確定變量，性能函數(shù)定義與3.2節(jié)中相同.將Tg對(duì)于名義值g波動(dòng)幅度值（百分比）定義為穩(wěn)健性指標(biāo)α，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

Πα，g=Tg：Tg-gg≤α，α≥0. （7）

框架總質(zhì)量隨Tg穩(wěn)健性指標(biāo)變化，如圖6所示.

將圖6中對(duì)應(yīng)①～⑥不同穩(wěn)性指標(biāo)的反映頂點(diǎn)位移角和側(cè)向力關(guān)系的pushover曲線列于圖7（a）～7（f） 中，并將對(duì)應(yīng)的框架整體特性列于表2中（其中T為結(jié)構(gòu)的自振周期，M為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，θi，max為pushover分析中結(jié)構(gòu)最大層間位移值）.

由表2可知，場(chǎng)地周期不確定性的穩(wěn)健性指標(biāo)越大，需要的結(jié)構(gòu)質(zhì)量越大，說(shuō)明要抵抗場(chǎng)地周期不確定需要更大的結(jié)構(gòu)質(zhì)量，如穩(wěn)健性指標(biāo)為40%時(shí)，需要增大6.29%的結(jié)構(gòu)質(zhì)量，而當(dāng)穩(wěn)健性指標(biāo)為80%時(shí)，則需要增大12.49%的結(jié)構(gòu)質(zhì)量.

3.4兩種不確定性穩(wěn)健性優(yōu)化對(duì)比分析

圖8為兩種穩(wěn)健性優(yōu)化結(jié)果對(duì)比圖.由圖8可知，同等地震作用條件下穩(wěn)健性指標(biāo)為0時(shí)，兩點(diǎn)基本重合，隨穩(wěn)健性指標(biāo)的增大兩條曲線逐漸分離開(kāi)來(lái)，其中地震影響系數(shù)的穩(wěn)健性指標(biāo)增大引起優(yōu)化質(zhì)量增加得更快;從圖8中還可以看出，地震影響系數(shù)不確定對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量的影響相對(duì)于場(chǎng)地周期不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量的影響要大得多.

4結(jié)論

本文將Info-Gap 決策理論引入基于性能的結(jié)構(gòu)抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)中，建立了基于Info-Gap 決策的結(jié)構(gòu)穩(wěn)健設(shè)計(jì)優(yōu)化模型，采用GA實(shí)現(xiàn)該模型的嵌套優(yōu)化問(wèn)題.分別就考慮水平地震影響系數(shù)最大值αmax和場(chǎng)地周期Tg不確定性進(jìn)行了鋼框架穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)分析，通過(guò)對(duì)6層3跨框架分析表明：反映水平地震影響系數(shù)最大值αmax和場(chǎng)地周期Tg不確定性的穩(wěn)健性指標(biāo)越大所需要的鋼材質(zhì)量越大.結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)師和業(yè)主可根據(jù)自己的要求選擇合適的構(gòu)件組合，付出的代價(jià)就是要通過(guò)增加結(jié)構(gòu)的質(zhì)量抵抗αmax不確定和Tg不確定性.通過(guò)兩種穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的對(duì)比可以看出，αmax不確定對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量的影響相對(duì)于Tg不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量的影響要大得多.

參考文獻(xiàn)

[1]GB 50011—2010建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范[S]. 北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2010：33-35.

GB 50011—2010Code for seismic design of building[S]. Beijing： China Architecture & Building Press， 2010：33-35. （In Chinese）

[2]BEN-HAIM Y， ELISHAKOFF I. Convex models of uncertainty in applied mechanics [M]. Amsterdam： Elsevier， 1990：325-330.

[3]BEN-HAIM ?Y. Convex models of uncertainty： applications and implications[J]. Erkenntnis， 1994， 41（2）： 139-156.

[4]MOENS D， VANDEPITTE D. A survey of non-probabilistic uncertainty treatment in finite element analysis[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2005， 194（12）： 1527-1555.

[5]TAKEWAKI I， BEN-HAIM ?Y. Info-Gap robust design with load and model uncertainties[J]. Journal of Sound and Vibration， 2005， 288（3）： 551-570.

[6]ELISHAKOFF I， ELISSEEFF P， GLEGG S A. Nonprobabilistic， convex-theoretic modeling of scatter in material properties[J]. AIAA Journal， 1994， 32（4）： 843-849.

[7]BEN-HAIM Y. A non-probabilistic concept of reliability[J]. Structural Safety， 1994， 14（4）：227-245.

[8]亢戰(zhàn)，羅陽(yáng)軍. 基于凸模型的結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)， 2006， 38（6）： 807-815.

KANG Zhan， LUO Yang-jun. On structural optimization for non-probabilistic reliability based on convex models [J]. Acta Mechanica Sinica：Chinese Edition， 2006， 38（6）： 807-815. （In Chinese）

[9]羅陽(yáng)軍，亢戰(zhàn). 超橢球模型下結(jié)構(gòu)非概率可靠性指標(biāo)的迭代算法[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)， 2009， 25（6）： 747-752.

LUO Yang-jun， KANG Zhan. An iteration approach for structural non-probabilistic reliability analysis based on hyper-ellipsoidal models[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2009，25（6）：747-752. （In Chinese）

[10]蘇永華， 常偉濤， 趙明華. 深部巷道圍巖穩(wěn)定的區(qū)間非概率指標(biāo)分析[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版， 2007， 34（7）： 17-21.

SU Yong-hua， CHANG Wei-tao， ZHAO Ming-hua. Non-probabilistic index analysis method of the stability of deep rock around roadway based on interval variable[J]. Journal of Hunan University：Natural Sciences， 2007， 34（7）： 17-21. （In Chinese）

[11]BEN-HAIM ?Y. Info-Gap decision theory： decisions under severe uncertainty[M]. 2nd ed. London： Academic Press， 2006： 260.

[12]PIERCE S G， WORDEN K， MANSON G. A novel information-Gap technique to assess reliability of neural network-based damage detection[J]. Journal of Sound and Vibration， 2006， 293（1）： 96-111.

[13]MOILANMEN A， WINTE B A. Uncertainty analysis favours selection of spatially aggregated reserve networks[J]. Biological Conservation， 2006， 129（3）： 427-434.

[14]DUNCAN S J， BRAS B， PAREDIS C J. An approach to robust decision making under severe uncertainty in life cycle design[J]. International Journal of Sustainable Design， 2008， 1（1）： 45-59.

[15]BEN-HAIM ?Y. Value-at-risk with info-Gap uncertainty[J]. Journal of Risk Finance， 2005， 6（5）： 388-403.

[16]BEN-HAIM ?Y. Uncertainty， probability and information-Gaps[J]. Reliability Engineering & System Safety， 2004， 85（1）： 249-266.

[17]RAO S S， BERKE L. Analysis of uncertain structural systems using interval analysis[J]. AIAA Journal， 1997， 35（4）： 727-735.

[18]DAVIS L. Handbook of genetic algorithms[M].New York：Van Nostrand Reinhold， 1991： 325-330.

[19]劉思思，趙明華，楊明輝， 等. 基于自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與遺傳算法的邊坡穩(wěn)定性分析方法[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版， 2008， 35 （12）： 7-12.

LIU Si-si， ZHAO Ming-hua， YANG Ming-hui，et al. Slope stability analysis method based on self-organizing neural network and genetic algorithm[J]. Journal of Hunan University：Natural Sciences， 2008， 35（12）： 7-12. （In Chinese）

[20]LEITE J P， TOPPING B H. Improved genetic operators for structural engineering optimization[J]. Advances in Engineering Software， 1998， 29（7）： 529-562.

[21]AABEK O， DION C M， YEDDER A B H. Evolutionary algorithms for the optimal laser control of molecular orientation[J]. Journal of Physics B： Atomic， Molecular and Optical Physics， 2003， 36（23）： 4667.

[22]BRAMLTTE M F， CUSIC R. A comparative evaluation of search methods applied to parametric design of aircraft[C]//Proceedings of 3th International Conference on Genetic Algorithms. Burlington，Massachusetts： Morgan Kaufmann Publishers Inc，1989： 213-218.

[23]呂西林，周定松. 考慮場(chǎng)地類別與設(shè)計(jì)分組的延性需求譜和彈塑性位移反應(yīng)譜[J]. 地震工程與工程振動(dòng)， 2004， 24（1）： 39-48.

LV Xi-lin， ZHOU Ding-song. Ductility demand spectra and inelastic displacement spectra considering soil conditions and design characteristic periods[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration， 2004， 24（1）： 39-48. （In Chinese）