開發(fā)數學課題學習素材的實踐與思考

楊一麗

現階段我國中學數學教材雖然逐步成熟，但針對學生個性發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展的元素成分還有待于改進和提高.從國際形勢來看，世界上最有影響力的國際學生評價項目——PISA評估的重點不是傳統數學課程中的數學知識和技能，而是更多地關注學生的思維能力和創(chuàng)新精神、洞察力等.現階段承載如此重要任務的課程內容是“綜合與實踐”，“課題學習”是“綜合與實踐”的主要呈現形式.而目前課題學習資源卻很匱乏，所以如何有效開發(fā)并利用好此類資源成為我們必然要解決的一個問題.筆者將結合開發(fā)課題學習素材的實踐與思考談談自己的想法.

一、開發(fā)課題學習素材的原則

（一）專業(yè)性與綜合性相結合

數學知識是一個有機的整體，課題學習的內容應與初中數學的核心內容和思想方法緊密關聯，一定程度上可將原有的專業(yè)知識體系掘深拓寬.《課程標準》指出：學生能夠體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發(fā)現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.因此課題學習的素材除其獨特的專業(yè)性外，還要有一定的綜合性.它可以是各學科之間的綜合，如浙教版教材中“怎樣選擇較優(yōu)方案”、“會徽中的數學”等.

（二）適切性與探究性相結合

在課題學習設計過程中，必須充分考慮學生的年齡特征，相關的知識、能力及活動經驗的狀況，同時內容應具有進行深入學習、探究的可能性.題目中問題的設計應能夠激發(fā)學生深層次的思考，使學生能夠通過科學的自主探究過程逐步解決問題.既要使學生獲得問題解決后的、積極的情感體驗，同時又要注意避免背離數學的本源而追求形式上的“無謂探索”.

（三）現實性與應用性相結合

《課程標準》指出，綜合與實踐內容設置的目的之一在于培養(yǎng)學生綜合運用有關知識分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的應用意識和創(chuàng)新意識.讓學生體會數學與現實世界的聯系，樹立正確的數學觀是課題學習的另一個重要目標.因此，課題學習類素材應該是現實的、富有挑戰(zhàn)性的，同時還應該具有良好的生活內涵.這有利于學生體會數學來源于生活又服務于生活，體現課程的人文精神與德育價值，同時拓寬了學生的學習領域，激發(fā)學生學習數學的興趣.

（四）開放性與發(fā)散性相結合

好的課題學習素材應具有問題解決方式的多樣化和問題結論的開放性的特點.多種問題解決的方法有利于培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性，而開放性的問題，更利于不同學生從中獲得成就感和自信心，這也是深入開展課題學習的重要保證.

二、開發(fā)課題學習素材的方法

（一）從課本內容入手拓展

在教材中編錄或涉及了許多適合課題學習的經典材料，但由于篇幅和課時等限制，教科書中通常是以定理、閱讀材料等形式簡單包裝.如勾股定理、費馬點、楊輝三角等，只要教師多留心，許多內容俯拾皆是.當然最關鍵的還是后續(xù)設計的問題富有思考性，能引發(fā)學生進行有價值的思考，發(fā)展問題意識，培養(yǎng)創(chuàng)新精神.如“探索勾股定理”，我們可以編擬如下的系列問題進行課題學習.

案例1 ? 勾股定理與拼圖

問題1：如圖1是在北京召開的第24屆國際數學家大會（ICM-2002）的會標，其主體圖案的設計思路可追溯到3世紀中國數學家趙爽所使用的弦圖，你能借助這個圖形證明勾股定理嗎？

問題2：利用四個全等的直角三角形，還可以拼出哪些正方形？你能利用它們證明勾股定理嗎（圖2）？

問題3：如圖3是美國總統1876年給出的一種驗證勾股定理的方法，你能利用它驗證勾股定理嗎？這種方法與拼正方形的方法證明定理有什么聯系呢？

問題4：如圖4是我國古代的“青朱出入圖”，你能理解其中的奧妙嗎？

（二）從歷史經典問題入手拓展

數學是一門歷史性和累積性很強的學科.追溯古今，每一個數學經典問題都閃耀著人類思想的光輝，許多數學經典問題都從絕境中突破，折射出不屈不撓的精神和人類的睿智，如七巧板、無理數的發(fā)現、微積分和非歐幾何的創(chuàng)立等.正如英國科學史家丹皮爾（W.C.Dampier）所說的：“再沒有什么故事能比科學思想發(fā)展的故事更有魅力了.”所以加強對這些知識產生、發(fā)展過程的了解并能創(chuàng)設符合學生實際的深度拓展，達到借鑒經典、增強信心、培養(yǎng)能力的學習效果.

案例2 ?七巧板

七巧板起源于我國唐宋時代，古代稱作“燕幾圖”.如圖5，它由五個等腰直角三角形、一個正方形和一個平行四邊形共七部分組成.19世紀初，七巧板流傳到西方，被稱為“東方魔板”，成為中華民族智慧的一個代表.

問題1：如圖5，用邊長為 1的正方形紙板制成一副七巧板，將它拼成小天鵝圖案，其中陰影部分的面積為多少？

問題2：如圖6是一副七巧板，若△BIF的面積為1.

（1） 一只螞蟻從點A沿A-B-F-H-E路線爬行，求螞蟻所走過的總路程;

（2） 兩只螞蟻分別從G，E兩地出發(fā)爬行，若它們在AC上相遇，則如何行走，使得它們走過的總路程最短？

問題3： 如圖7①是由七巧板拼成的雞形圖.

（1） 在圖7①中將七巧板的七塊部件分割出來.

（2） 已知小雞雞尾三角部分面積為2a2（a為有理數），求整個小雞的面積.并求出七塊部件各邊長中最小的無理邊長及最大的內角.

（3） 請用這副七巧板，既不留一絲空白又不互相重疊，拼出至少2種邊數不同的凸多邊形.

（4） 有人在玩七巧板時發(fā)現：“七巧板拼成的多邊形，其邊數不能超過8.”你認為這個結論正確嗎？請說明理由.

借助以上探究，進一步可得有關七巧板的四個結論.

結論1：若16個基本三角形組合成一個凸多邊形，則任一三角形的有理邊會和另一三角形的無理邊重合.endprint

結論2：由16個基本三角形組成的凸多邊形，其每條邊要么全是由基本三角形的有理邊組成，要么全是由基本三角形的無理邊組成.

結論3：由16個基本三角形組成的凸多邊形，其邊數不超過8.

結論4：如果16個基本三角形組成一凸多邊形，則該多邊形可內接于一個矩形，該多邊形的所有有理邊或者無理邊就是該矩形的4條邊.

問題4：1999年，數學家伯納德·魏祖克對七巧板圖形進行了變換，把邊長為1的七巧板在一個方向上放大為倍，另一方向不變，如圖8，將變換后得到的七巧板稱為三角七巧板.

（1）求出三角七巧板七塊部件中最小的內角度數;

（2）找出圖中所有的相似圖形;

（3）求△MHG的面積;

（4）若用這副七巧板，既不留一絲空白又不互相重疊地拼多邊形，邊數最多為幾條？

（三）從實際生活問題入手拓展

數學的不斷發(fā)展，主要通過兩種方式：一是數學形式的演變，二是現實中的問題.有時形式先于問題，有時問題又先于形式.既然數學是這樣發(fā)展的，那么我們很自然地應該順著它的發(fā)展軌跡去認識數學、學習數學、研究數學.現實問題需要人們掌握更多的數學知識，成本、利潤、投入、產出、貸款、效益、股份、市場預測、風險評估等一系列經濟詞匯被頻繁使用，且各類統計圖表正在生活中傳遞著重要信息，數學已經進入人們生活的方方面面.這就需要我們用敏銳的眼光去觀察世界，用數學語言去表達實際問題中的數學關系，建立數學模型.

案例3 ?商品包裝

生活中我們經常能夠見到近似圓柱體、長方體、正方體的包裝容器，如易拉罐、水杯、各種包裝盒等. 在設計這些容器時，除了考慮到美觀、實用外，還有一個很重要的問題：如何設計能夠使這些容器在體積不變時，表面積最小;或表面積不變時，體積最大，以節(jié)省材料.積少成多，這將會對能源、環(huán)保做出巨大貢獻.

問題1：如圖9，假設容器是標準的圓柱，忽略包裝材料的接縫，容積就等于體積，這樣就把問題簡化成一個數學問題：“體積一定的圓柱，底面半徑與高的比為多少時表面積最??？”

問題2：將圓柱形的容器改為沒有上蓋，問題1就變?yōu)?“體積一定的圓柱，底面半徑與高的比為多少時一個底面與側面積和最??？”

問題3：經過市場調查，常見的飲料容器底面比側面厚一些，有的飲料容器底面比側面的材料硬一些，所以底面的單位造價會比側面貴，為了方便研究，可以將以上的幾種情況都轉化為：“體積（容積）一定的圓柱形容器，底面的單位造價是側面單位造價的k倍，半徑與高的比為多少時表面總造價最??？”

問題4：用一張長80cm，寬50cm的長方形鐵皮做一只無蓋長方體鐵盒（焊接處的厚度和損耗不計），問這只鐵皮盒盡可能大的體積是多大？

（1）學生們提出了如下方案.

①為了不浪費鐵皮，將在長方形鐵皮四周剪下的四個全等的小正方形剪成小長條，焊接到長方體的上口，增加了長方體的高度，經計算可以增加體積4000cm3，這時體積可達22000cm3.

②如圖10，將4個小正方形，兩兩分別焊接到上、下面中間，這時V=30×40×20=24000（cm3）.

③可以設要做的長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則ab+2bc+2ac=4000.

∵4000=ab+2bc+2ab≥3，

∴V=abc≤=24343.2（cm3）.

此時ab=2ac=2bc，即a=b=2c.代入ab+2ac+2bc=4000，得a=b=，c=.

這是一種理想化的模型，它是以上幾種情形中最大的，此時長方體的底面是正方形.

（2）反思提煉.

請你分析上述出現的結果的合理性.

① 第3種情況雖然體積最大，但焊接環(huán)節(jié)太多，質量無法得到保證.

② 第2個方法更適合，既節(jié)約了成本，又使體積盡可能大.

這是一個開放性的問題，我們可以滲透實際元素，從不同角度來理解與分析，從而對問題有了更高的認識.

總之，選定的課題學習素材應該在學生認知領域內，適合學生進行數學化的活動，使得活動真正地體現數學思想和方法，從而真正地成為研究問題的載體. 在確定素材后，科學地設計問題，激活學生的思維，及時引導學生在探究過程中學會發(fā)現問題、提出問題、分析問題、解決問題，以提高其思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性.除此以外，在評價方面應多采用賞識性語言，以發(fā)揮評價的激勵性作用，促進學生的健康成長.endprint