重視平面向量四化 提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

戴宏照+周密

平面向量是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，具有廣泛的應(yīng)用，是高考的必考考點(diǎn). 而且近年的相關(guān)試題越來越靈活，凸顯對(duì)學(xué)生能力的考查，有部分學(xué)生感覺難以下手，或者不得要領(lǐng)，無果而終.為此，我們認(rèn)為在平面向量的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)中，應(yīng)重視平面向量“四化”，即圖形化、坐標(biāo)化、數(shù)量化、函數(shù)化，加強(qiáng)針對(duì)性訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的目的性、深刻性、廣闊性、靈活性和批判性，提升思維品質(zhì)和解決問題的能力.

一、平面向量圖形化

平面向量具有代數(shù)和幾何的雙重屬性，解決向量問題要充分利用圖形的直觀性，用好基底、向量加減運(yùn)算的三角形法則和平行四邊形法則，數(shù)量積運(yùn)算的垂直或圓的幾何意義或性質(zhì)來構(gòu)造相應(yīng)的幾何圖形.平面向量圖形化體現(xiàn)的是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

例1 ?已知點(diǎn)O是△ABC的外接圓圓心，且AB=3，AC=4，若存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得=x+y，且x+2y=1，記∠BAC=θ，則cosθ= ? ? ? ? ? .

思維展示：=x+y，且x+2y=1，聯(lián)想到P，A，B三點(diǎn)共線的充要條件是=λ+μ，其中λ+μ=1.如圖1，取AC中點(diǎn)D，上式變?yōu)?x+2y外心O在中線BD上？圯BA=BCcosθ=.

例2 ?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b，a=b=1，a·b=0，點(diǎn)Q滿足=（a+b），曲線C={=acosθ+bsinθ，0≤θ≤2π}，區(qū)域Ω={0

A. 1

C. r≤1

思維展示：由a，b是垂直的單位向量，可考慮設(shè)a=（1，0），b=（0，1），透過向量的形式認(rèn)識(shí)其本質(zhì)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），曲線C就是單位圓，區(qū)域Ω就是半徑從r到R（含邊界）的圓環(huán)（如圖2），從圖中容易看出滿足1

例3 ?已知點(diǎn)P是△ABC的中線AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線交邊AB，AC或其延長線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若AE∶AB=m，AF∶AC=n.求證：+是定值.

思維展示：如圖3，這是點(diǎn)P分線段EF的一個(gè)分點(diǎn)問題，對(duì)向量算兩次、列方程得到m，n的關(guān)系.設(shè)基底向量=a，=b，由AE∶AB=m，AF∶AC==m=ma，=n=nb，P，D分別是線段BC，AD的中點(diǎn)==（+）=a+b;E，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線=λ=λ（-）=-λma+λnb=+=（1-λ）ma+λnba+b=（1-λ）ma+λnb（1-λ）m=，λn=+=4（定值）.

拓展引申：若=，即點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，則+=2;若=，即P是重心，則+=3;進(jìn)而可得：若=k（k是常數(shù)），則+=;進(jìn)一步，若=t，=k（t，k是常數(shù)），則=（1-t）+t=k=（1-t）k+tk，而=+=（1-λ）m+λn圯（1-λ）m=（1-t）k，λn=tk+=（定值）.[1]

以上三個(gè)例題都借助圖形來解決向量問題，都體現(xiàn)了思維的目的性，例1側(cè)重于思維的靈活性，例2側(cè)重于思維的深刻性，例3拓展引申側(cè)重于思維的批判性和廣闊性.

二、平面向量坐標(biāo)化

坐標(biāo)法是把幾何問題代數(shù)化的直接方法，平面向量坐標(biāo)化是建立坐標(biāo)系通過坐標(biāo)運(yùn)算來解決向量問題的方法，它是解決向量問題最重要的方法和最有效的方法之一.平面向量坐標(biāo)化把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題、把生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，體現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想.

例4 ?在平面上，⊥，==，=+.若<，則的取值范圍是

思維展示：先考慮以O(shè)還是以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系？考慮到⊥，建立如圖4坐標(biāo)系，設(shè)B1（a，0），B2（0，b），O（x，y），則P（a，b），根據(jù)已知條件用所設(shè)坐標(biāo)來表示向量的模：2=（x-a）2+y2=2，2=x2+（y-b）2=2，2=（x-a）2+（y-b）2<，利用不等式的性質(zhì)和放縮法得到x2+y2=4-[（x-a）2+（y-b）2]

例5 ?已知向量a，b，c均為單位向量，且a·b=0，（a+c）·（b+c）≤0，則a+b-c的取值范圍是

思維展示：是圖形化還是坐標(biāo)化值得推敲和比較由于（a+c）·（b+c）≤0表示的是圓面的復(fù)雜性考慮坐標(biāo)化更容易入手.建立坐標(biāo)系如圖5，設(shè)a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），則c==1，c表示以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在單位圓上的向量，（a+c）·（b+c）≤0，得（x+）2+（y+）2≤是一個(gè)圓面P，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的向量c的終點(diǎn)在單位圓位于圓面P內(nèi)的劣弧上.記=a+b=（1，1），=c，a+b-c=c-（a+b）=-=圯≤≤圯≤≤1+.

以上兩例利用坐標(biāo)系方法的選擇體現(xiàn)了思維的靈活性和批判性，而解題過程中知識(shí)的相互聯(lián)系體現(xiàn)了思維的廣闊性，從中也可以看出思維品質(zhì)的幾個(gè)特性是相互聯(lián)系的，相互滲透的，坐標(biāo)化與圖形化不是孤立的，而是統(tǒng)一的.

三、平面向量數(shù)量化

平面向量數(shù)量化就是利用平面向量數(shù)量積把向量問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)量問題. 平面向量數(shù)量化除解決向量的模、夾角、垂直等問題外，還能解決向量中的最值或參數(shù)范圍、向量的終點(diǎn)區(qū)域等問題.向量數(shù)量化的方式主要有數(shù)量積的定義、平方、投影、坐標(biāo)法或點(diǎn)乘一個(gè)向量構(gòu)造向量的數(shù)量積等.它使生疏的問題熟悉化，體現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想.

例6 ?平面向量a，b，e滿足e=1，a·e=1，b·e=2，a-b=2，則a·b的最小值為

思維展示：是選擇圖形化、坐標(biāo)化還是數(shù)量化？要求a·b的最小值，可考慮對(duì)a-b=2兩端平方，得a2-2a·b+b2=4 ①，a≠b，要消去a2+b2，考慮利用向量不等式a·b≤ab，于是由e=1，a·e=1，b·e=2，得（a+b）·e=3 ，而a+b≥（a+b）·e=3，兩端平方得a2+2a·b+b2≥9 ?②，把②式減①式得4a·b≥5，即（a·b）min=，當(dāng)且僅當(dāng)a+b與e同向時(shí)取等號(hào).

例7 ?如圖6，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn). 若=x+y，則x+4y的取值范圍是

思維展示：本題可用坐標(biāo)法，也可用平行四邊形法則極限位置分析，還可把已知的向量等式兩邊同時(shí)點(diǎn)乘一個(gè)向量構(gòu)造數(shù)量積.設(shè)∠COA=α，則∠BOC=60°-α，α∈[0，■]，扇形的半徑為1，■=x■+y■？圯■·■=x■■+y■·■，■·■=x■·■+y■■

圯x+y=cosα，x+y=cos（60°-α）圯≤x+y≤1，≤x+y≤1，又x+4y=-（x+y）+（x+y）？圯1≤x+4y≤4. 有結(jié)果并不是解題結(jié)束，由于cosα和cos（60°-α）不能同時(shí)取到最大值或最小值，因此，有必要檢驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)C與A重合時(shí)最小，C與B重合時(shí)最大.

在涉及圓弧或三角形的“四心”的向量問題中，可通過點(diǎn)乘一個(gè)已知向量使向量問題數(shù)量化，通常是圓弧點(diǎn)乘一條已知半徑的方向向量，垂心點(diǎn)乘和它垂直的對(duì)邊的方向向量，外心點(diǎn)乘其中的一個(gè)已知邊的方向向量，重心可先線性運(yùn)算用基底表示.這種轉(zhuǎn)化方法可作為數(shù)量化的一個(gè)技巧.向量模的問題平方是通法，而投影則能把模與夾角兩種變化轉(zhuǎn)化成投影的變化，解決與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)或變量較多時(shí)的向量問題，能有意想不到的效果.這些都是思維的靈活性與廣闊性的表現(xiàn).

四、平面向量函數(shù)化

向量的作用在很大程度上表現(xiàn)為其作為解決問題的工具，以向量為背景的很多問題實(shí)質(zhì)是函數(shù)問題，如參數(shù)的范圍或最值，這些問題應(yīng)該回到函數(shù)方法來解決.平面向量函數(shù)化體現(xiàn)的是函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.

例8 ?如圖7（1），在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，A=90°，=m，=n，m，n>0，且+=，M是BC的中點(diǎn)，對(duì)任意的λ∈R，λ+的最小值記為f（m），則對(duì)任意的m>0，f（m）的最大值為

思維展示：這個(gè)問題感覺有些難度，若以，為基底轉(zhuǎn)化為λ，m的函數(shù)，計(jì)算量很大，于是看能否從向量的幾何意義入手來轉(zhuǎn)化，盡量減少復(fù)雜的計(jì)算.設(shè)θ=<，>，則λ+2=λ2+2λ·+=（λ+）2-

+=（λ2+）2+

sin2θ？圯f 2（m）≥sin2θ？圯f（m）=sinθ，其幾何意義是點(diǎn)M到直線QP的距離.因此，建立坐標(biāo)系如圖7（2），P（0，），Q（，0），M（，2），直線QP的方程：（6m-4）x+（3m+3）y-12m=0？圯f（m）=

==？圯f（m）max

=f（）=.

在解題過程中，緊緊抓住函數(shù)思想，求λ+QM的最小值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求f（m）的最大值轉(zhuǎn)化為比較復(fù)雜的分式函數(shù).解題方法的選擇具有靈活性和批判性，知識(shí)的轉(zhuǎn)化具有廣闊性，透過現(xiàn)象看本質(zhì)是思維的深刻性.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不只為解題，在解題過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和方法，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高用數(shù)學(xué)思想分析和解決問題的能力才是最重要的.

參考文獻(xiàn)：

[1] 戴宏照.利用向量“算兩次”求解分點(diǎn)問題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2013（7）：21.endprint