函數(shù)的確界及其應(yīng)用

趙正波

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西渭南714099)

多元函數(shù)的極值問題是多元微分學(xué)的重要應(yīng)用［1－2］.極值的最終目的是解決最值問題，它是數(shù)學(xué)分析的重要應(yīng)用之一.關(guān)于最值的討論一直很多，其中主要原因是在應(yīng)用問題中常常遇到的定義域不是有界閉集［3－7］.在一般的數(shù)學(xué)分析教材中，只定義了多元函數(shù)在聚點處的極限和累次極限的概念［1］，對于點趨于無窮的函數(shù)極限并未定義，馮守平在未定義下對這個概念的應(yīng)用做了一些嘗試，它是不同于自變量趨于無窮的極限［6］.把各個自變量看成是彼此獨立，未考慮多元函數(shù)的定義域，這種局限影響了多元函數(shù)極限的應(yīng)用.事實上，點趨于無窮的極限是和實際問題有聯(lián)系的，特別是用在多元函數(shù)在定義域無界時的最值討論中.

1 多元函數(shù)的極限

我們把函數(shù)值域的確界稱為函數(shù)的確界.多元函數(shù)在聚點處的極限在數(shù)學(xué)分析教材上已經(jīng)有了定義，我們參照聚點處的極限的定義這個概念引入點趨于無窮時的極限.下面介紹多元函數(shù)的極限概念和點趨于無窮時的極限的相關(guān)概念.

定義1［1］已知E是n維歐氏空間Rn空間的點集，函數(shù)y=f(P)在E上有定義，P0是E的聚點，A是實數(shù)，若

則稱函數(shù)f在E上當(dāng)P→P0時以A為極限，記為

定義2 已知E是n維歐氏空間Rn空間的點集，函數(shù)y=f(P)在E上有定義，E是無界集，A是實數(shù)，若

2 多元函數(shù)的最大(小)值

在數(shù)學(xué)分析教材中，對于有界閉集上的多元連續(xù)函數(shù)的最大(小)值是通過把不可導(dǎo)點、穩(wěn)定點和邊界點的值進(jìn)行比較求出最大(小)值的［1－2］.這是因為有界閉集的邊界點都屬于該有界閉集，最值要么在內(nèi)點，該點就是極值點，因而是不可導(dǎo)點或穩(wěn)定點;要么不在內(nèi)點，該點就是邊界點，因而只要比較這幾類點上函數(shù)的值，最大的就是最大值，最小的就是最小值.實際應(yīng)用問題中定義域常常不是有界閉集，通常的做法就是由實際問題最大(小)值的存在性把唯一極值點作為最大(小)值點［1］.唯一穩(wěn)定點不一定是最值點［6］.我們可以通過引入多元函數(shù)點趨于無窮時的極限概念，對這個問題進(jìn)行回答.

在定義域不是有界閉集時，我們借助確界的概念說明原理，不妨設(shè)M是多元函數(shù)y=f(P)，P∈D值域的上確界(也可以為+∞).如果M是某點P0處的函數(shù)值，則是最大值點;若M不是定義域上的函數(shù)值，則無最大值，此時M不是某點函數(shù)值，因而是不在定義域邊界點的極限或點趨于無窮大的極限.故此，我們只要把多元函數(shù)在不可導(dǎo)點、穩(wěn)定點、邊界點的極限和點趨于無窮的極限比較，得到函數(shù)值域的上(下)確界，若上(下)確界屬于值域就是最大(小)值，否則無最大(小)值.

對于多元函數(shù)，我們舉常見的幾個應(yīng)用實例，說明方法的有效性.

例1［1］證明:圓的所有外切三角形中，正三角形的面積最小.

證明設(shè)圓的半徑為a，三切點處的半徑兩兩夾角分別為α，β，γ=2π－α－β，則得到三角形的面積為，比較，得到外切面積最小值為，即為正三角形.

3 條件最值

對于條件最值，通常用拉格朗日乘數(shù)法求得條件下的穩(wěn)定點.對于求穩(wěn)定點，我們不再贅述，我們只對在求得穩(wěn)定點下最值的求法進(jìn)行敘述.對于條件下的邊界，常常是不屬于定義域的邊界，如果定義域是無界時，再加上在點趨于無窮的極限，再比較這些數(shù)值中，其中最大者(或最小者)為函數(shù)值的上(下)確界，如果上(下)確界是函數(shù)值，即為函數(shù)的最大(小)值.我們有下面的常見例子.

例2［1］(均值不等式)求函數(shù) f(x1，x2，…，xn)=x1x2…xn在條件 x1+x2+ … +xn=a下的最大值，其中，并證明，且等號當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時成立.

時成立.

例 3［1］求 f(x，y，z)=xyz 在條件下的最小值，并證明不等式，其中 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＞ 0.

例4［1］(水箱設(shè)計問題)要設(shè)計一個容積為V的長方體開口水箱，試問水箱的長寬高各等于多少時，其表面積最小?

解 設(shè)水箱的長寬高分別為x，y，z，則問題變?yōu)樵跅l件xyz=V和x，y，z＞0下函數(shù)S(x，y，z)=2(xz+yz)+xy的最值問題，我們用拉格朗日乘數(shù)法求得穩(wěn)定點，比較，得到最小值，無最大值.

4 結(jié)語

在實際應(yīng)用問題中，多元函數(shù)的定義域常常不是有界閉域，這給最值的判定帶來了困難，多元函數(shù)微分學(xué)給出穩(wěn)定點求法和穩(wěn)定點是否為極值的充分條件，但是唯一極大值點便是最大值，仍然缺乏根據(jù)，給理解帶來了困難［6－7］.應(yīng)用點趨于無窮時的極限，求得確界，只要確界是屬于定義域，就是最值，實際問題中，在邊界不屬于定義域時，或者在無窮遠(yuǎn)處，應(yīng)用中的多元函數(shù)常常在邊界或者點趨于無窮時有相同的極限，這也是可以斷定實際問題最大值存在的原因所在.

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊)［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［2］劉三陽，李廣民.數(shù)學(xué)分析十講［M］.北京:科學(xué)出版社，2011.

［3］劉成龍，余小芬，李小梅.概述多元函數(shù)最值的求解［J］.內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報，2006，21(S1):210－212.

［4］霍夢園，王韻.函數(shù)最值的幾何解法［J］.高師理科學(xué)刊，2011，(5):31－35.

［5］林貞棋.微積分學(xué)在多元函數(shù)最值問題中的應(yīng)用［J］.閩江學(xué)院學(xué)報，2004，25(2):7－10.

［6］馮守平.求多元函數(shù)最值中值得注意的一個問題［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2007，10(2):23－24.

［7］柴俊.關(guān)于二元函數(shù)最值的一個注記［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2003，6(2):26－29.