轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)熱力學(xué)性質(zhì)研究

潘營利

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西渭南714099)

在熱力學(xué)統(tǒng)計物理［1－3］教材中，人們大多研究的是相對于慣性系處于靜止?fàn)顟B(tài)的熱力學(xué)系統(tǒng)，給出了該熱力學(xué)系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系、熱力學(xué)函數(shù)及熱力學(xué)平衡條件，對于相對于慣性系運動的熱力學(xué)系統(tǒng)則沒有討論，對于相對于慣性系做轉(zhuǎn)動的熱力學(xué)系統(tǒng)則從來沒有討論過.王風(fēng)［4］研究了諧振子勢阱中理想費米氣體的化學(xué)勢，李玉山［5］利用數(shù)值方法研究了諧振子勢阱和磁場中的帶電荷玻色氣體;李永平［6］研究了圓柱形離心機(jī)中的理想氣體的熱力學(xué)性質(zhì)，但僅給出了系統(tǒng)的熱力學(xué)函數(shù)，且有些結(jié)果存在問題.本文將以處于半徑為R，高為h的圓柱體中的單原子理想氣體作為熱力學(xué)系統(tǒng)，從經(jīng)典統(tǒng)計出發(fā)，對系統(tǒng)作勻角速轉(zhuǎn)動時的熱力學(xué)問題進(jìn)行詳細(xì)討論，給出了該系統(tǒng)的描述方法、熱力學(xué)函數(shù)及熱平衡條件，從而使人們對轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)有一個簡單的了解.

1 轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)的描述方法

對于轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)，教科書上給出的關(guān)于靜止熱力學(xué)系統(tǒng)的熱力學(xué)函數(shù)和熱力學(xué)關(guān)系將無法使用，那么對于轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)應(yīng)該如何描述呢?我們首先解決這個問題.

對于一個體積為V的轉(zhuǎn)動圓柱體中的單原子理想氣體系統(tǒng)，設(shè)分子總數(shù)為N，溫度為T，要求得系統(tǒng)的熱力學(xué)量，先要求出其轉(zhuǎn)動情況下的配分函數(shù)

其中:i是態(tài)標(biāo).從Z的表達(dá)式可以看出，要計算Z需要知道兩個信息:一是一個粒子的能量是狀態(tài)的什么樣的函數(shù)，另一個是一個粒子可取什么樣的狀態(tài)(可及態(tài)).因為表示對所有可能狀態(tài)求和，這兩個信息取決于宏觀系統(tǒng)的微觀模型(所以統(tǒng)計物理對宏觀熱力學(xué)系統(tǒng)首先要提出一個合理的微觀模型假設(shè))，根據(jù)這個微觀模型，從力學(xué)知識可獲得計算Z所需要的兩個信息.現(xiàn)在對單原子理想氣體提出的微觀模型是:把分子看成一個無內(nèi)部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為m的質(zhì)點，根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，這個具有3個平動自由度的質(zhì)點的能量與狀態(tài)的關(guān)系，若取直角坐標(biāo)系，則有:.其中:p為粒子的動量，up為由于系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動使每個分子所具有的勢能，由文獻(xiàn)［7］知，其值為:

2 轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)的熱力學(xué)函數(shù)

2.1 粒子的配分函數(shù)Z［1］

2.2 轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能

其中:第一項為在沒有轉(zhuǎn)動情況下理想氣體的內(nèi)能，而其余項就是由于轉(zhuǎn)動所產(chǎn)生的附加能量.

下面推導(dǎo)轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)的壓強(qiáng)和粒子數(shù)密度的分布.

如圖1所示，取一薄圓柱殼，半徑由r→r+dr，由于轉(zhuǎn)動時薄圓柱殼內(nèi)的氣體需要向心力，它由薄圓柱殼外表面和內(nèi)表面的壓力差來提供.故有:

其中:n為r處的分子數(shù)密度，dp=mω2nrdr.

圖1 推導(dǎo)轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)壓強(qiáng)用圖

其中:p0=n0kT.

對于n0可用歸一化條件來確定:

可以看到圓柱體在勻速轉(zhuǎn)動的情況下壓強(qiáng)的分布是不均勻的，而且隨著粒子離軸心的垂直距離的變化而變化，離軸心越遠(yuǎn)壓強(qiáng)越大，同樣粒子數(shù)密度也是隨半徑的增大而增大.

氣體的定容熱容量為:

2.3 轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)的熵

3 轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡條件

轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)中的氣體分子即使處于平衡態(tài)時，氣體分子內(nèi)部各處的性質(zhì)也不是完全相同的.因此把氣體分為許多小的部分，把每一小部分作為處于平衡態(tài)的均勻系.設(shè)這一小部分的質(zhì)量為DM，內(nèi)能為DU，熵為DS，體積為DV，所含分子數(shù)為DN，則根據(jù)熱力學(xué)第二定律有

其中:T為溫度，p為壓強(qiáng)，μ為粒子化學(xué)勢，這些都與所考慮的小部分的地點有關(guān).設(shè)φ(x，y，z)為單位質(zhì)量在轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)中的勢能，φDM為所考慮的小部分氣體的勢能，x，y，z是這一小部分的坐標(biāo).這一小部分的總能量DE將是(不計動能)

對氣體分子體所占據(jù)的全部空間求積分，得氣體的總能量E為

那么，在氣體分子達(dá)到平衡態(tài)時，各處的溫度、壓強(qiáng)和化學(xué)勢將滿足什么關(guān)系呢?也就是說，對轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)其平衡條件是什么?為了解決這個問題，我們將運用熱動平衡條件中的最后一個平衡判據(jù)，就是能量判據(jù)［3］，即在總熵和幾何位形不變的情形下，平衡態(tài)的總能量最小.引入拉格朗日待定乘子τ和λ，得

由(9)式得

代入(10)式得

設(shè)m為分子的質(zhì)量，則DM=mDN，而上式化為

由此得到平衡條件為

其中:(11)式是熱平衡條件，指明溫度是到處一樣的，這與沒有轉(zhuǎn)動時的情形相同.(12)式是相平衡條件，這個條件受轉(zhuǎn)動的影響，(12)式也可寫為

(13)式是力學(xué)平衡條件，根據(jù)力學(xué)定律可以證明［3］，(13)式還可寫為

4 結(jié)論

(1)通過計算給出了轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)的各個熱力學(xué)函數(shù)，結(jié)果表明:各個熱力學(xué)函數(shù)均受到轉(zhuǎn)動的影響，轉(zhuǎn)動角速度ω越大，與無轉(zhuǎn)動時的熱力學(xué)函數(shù)的差別越大.

(2)轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)即使處于平衡狀態(tài)，粒子數(shù)密度和壓強(qiáng)的分布也是不均勻的，r越大，粒子數(shù)密度和壓強(qiáng)越大.

(3)對于轉(zhuǎn)動熱力學(xué)系統(tǒng)，其熱平衡條件不受轉(zhuǎn)動的影響，而力學(xué)平衡條件和相平衡條件則受轉(zhuǎn)動的影響，出現(xiàn)修正項.

［1］汪志誠.熱力學(xué)統(tǒng)計物理［M］.第4版.北京:高等教育出版社，2008.

［2］熊吟濤.熱力學(xué)［M］.北京:人民教育出版社，1979.95－111.

［3］王竹溪.熱力學(xué)［M］.第2 版.北京:高等教育出版社，1957.201－203.

［4］王風(fēng).諧振子勢阱中理想費米氣體化學(xué)勢研究［J］.湖北理工學(xué)院學(xué)報，2013，(6):59－62.

［5］李玉山.數(shù)值方法研究諧振子勢阱和磁場中的帶電荷玻色氣體［J］.原子與分子物理學(xué)報，2014，(5):821－825.

［6］李永平.圓柱形離心機(jī)中的理想氣體的熱力學(xué)性質(zhì)［J］.廊坊師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009，(1):55－57.

［7］［蘇］朗道，E.M.栗佛席茲.熱力學(xué)·統(tǒng)計物理［M］.北京:人民教育出版社，1956.92－94.