水力學模型及其數(shù)值求解

孫廣才

(渭南師范學院數(shù)理學院，陜西渭南714099)

水力學模型一般由一組微分方程組成，其絕大多數(shù)是非線性的.水力學問題的主要研究方法有觀測實驗、理論分析和數(shù)值模擬等幾種方法.

計算水力學是以水力學基本方程為基礎建立數(shù)學模型的方法來研究自然界和水利工程中的水流現(xiàn)象，以及伴隨著水體流動所發(fā)生的熱輸運、物質輸運等問題.通過對水流數(shù)學模型的分析與求解，研究其規(guī)律，以便準確地預測和控制水流及其輸運現(xiàn)象.這在國家的水利建設、環(huán)境保護、工程管理、防止洪水災害等國民經濟的許多領域，都有著重要的作用和意義.

1 水力學的基本方程

1.1 守恒定律［1］

(1)質量守恒(連續(xù)方程)

其中:v為水流的瞬時速度場，ρ為密度.

寫成張量形式為:

其中:xj(j=1，2，3)對應于坐標x，y和z;vj為水流的瞬時速度xj方向的分量，對應于u，v和w.

流體密度ρ近似為常數(shù)，即?ρ/?t=0，這時稱為不可壓粘性流動.此時(1)簡化為:

其中:xj(j=1，2，3)對應于坐標x，y和z;uj對應于u，v和w;為時間變化率為位移變化率;

(2)動量守恒 (Navier－Stokes方程)

水流動量守恒的微分方程，即Navier－Stokes方程.其張量形式為:p為動水壓強;γ為運動粘滯系數(shù);fi表示單位質量力.

(3)輸運物質守恒和熱量守恒

設v為水流的瞬時速度場，c為水流挾帶的污染物質或懸移質的濃度，則c的守恒可表示為:

由Jc=－Γcgradc(Γc為擴散系數(shù))得，方程張量形式為:

將濃度c換成溫度T，則得到熱量守恒方程:

其中:JT=－ΓTgradT(Fourier熱傳導定律).

1.2 二維淺水方程［1］

描述流體運動的最基本的方程是所謂的連續(xù)性方程和運動方程.其中主要的是Navier－Stokes方程，也叫做N－S方程.根據不同的研究對象和條件，這些方程又有各種不同的變形，這里僅舉一例.

水流運動的二維淺水方程如下:

其中:h為水深;u、v分別為笛卡兒坐標下x、y方向沿水深的平均速度;g是重力加速度;n是曼寧糙率系數(shù);k是紊動擴散系數(shù);f是地轉參數(shù)，f=2wsinψ，w是地球的自轉速度，ψ是緯度.

(7)式中，第一個方程是連續(xù)性方程，后兩個為運動方程.

2 水力學應用問題的研究方法

水力學中各種復雜流動現(xiàn)象的主要研究方法有:觀測實驗、理論分析和數(shù)值模擬等幾種方法［1］.

原型觀測是認識自然現(xiàn)象的基礎和來源，其觀測結果最直觀、真實，不存在模型縮尺問題，能夠提供實驗研究、數(shù)值模擬和最后驗證所需的參數(shù)及數(shù)據.實驗研究是根據相似理論進行物理模擬試驗，用特定測量技術觀測流動參數(shù)，分析、處理實驗數(shù)據.其相似準則可從各物理量的理論表達式中導出，實驗結果可為數(shù)值模擬提供需要的計算參數(shù).常用的實驗有:水池實驗、水洞實驗等.觀測實驗法的優(yōu)點是物理現(xiàn)象和測試結果最直觀、真實，可靠，發(fā)現(xiàn)理論和檢驗理論都需要依靠觀測實驗的方法.其缺點是實驗室實驗需要實驗設備，且設備要求高，設計制造周期長;運行費用高;真實模擬物理問題困難，不是所有環(huán)境都能滿足實驗;觀測實驗不可重復，不可控制;只能得到有限實驗數(shù)據且測量存在困難等.

理論分析所揭示的是普遍規(guī)律，具有普遍適用性.其中的關鍵點在于提出理論模型，運用數(shù)學方法求出理論結果.它的優(yōu)點是能夠準確描述和反映流體運動的現(xiàn)象和規(guī)律.首先，如果能夠通過精確求解描述水流及其輸運現(xiàn)象的微分方程，得到流場中各物理量的表達式，以及全流場的準確信息，這無疑與物理模擬或數(shù)值模擬所得到的局部近似值是不可比擬的，要更為全面和深刻.再者，要證明對特定水力現(xiàn)象的數(shù)值模擬是準確的，需要用理論分析方法對數(shù)學模型的正確性和適用性加以證明.最后，還需要用理論分析工具對數(shù)值模擬的結果進行整理和分析.理論分析的缺點是因為數(shù)學上的困難，許多實際流動問題難以精確求解，而且其求解過程繁瑣，分析范圍有限.只有特定條件下的極少數(shù)問題，通過簡化其運動方程和邊界條件，可獲得解析解.目前，理論分析法對絕大多數(shù)的水力學實際問題是無能為力的.

數(shù)值模擬也叫作數(shù)學模型試驗，是指對流體力學的運動方程作簡化并進行數(shù)值離散，建立數(shù)值模型，編制程序進行數(shù)值計算，獲得定量描述流體運動的數(shù)值解，將計算結果與實驗結果作比較.

一般來說，對流體運動的非線性偏微分方程，在無法獲得理論精確解的情況下，只能通過數(shù)值計算來求解.這種通過數(shù)值計算獲得流動區(qū)域中離散點的數(shù)值解的方法，通常稱為流體力學數(shù)值解法.隨著高速電子計算機的發(fā)展，數(shù)值計算方法已經顯示出其巨大的優(yōu)勢.計算水力學是以流體力學的基本方程(N－S方程)為理論依據，采用離散化的數(shù)值方法對流體力學問題進行數(shù)值模擬和分析.常用的離散方法有:有限差分法、有限元法、有限體積法等.

數(shù)值方法的優(yōu)點是所有試驗條件都以數(shù)字形式給出，不受試驗場地和試驗儀器的影響;能計算理論分析方法無法求解的數(shù)學方程，模擬多種因素在復雜條件下的物理過程;比實驗方法省時省錢，計算結果可反復使用，具有高效、經濟、簡便的特點.數(shù)值方法的缺點是受數(shù)學模型正確性和計算機性能的限制;數(shù)值模擬的可靠性和精度取決于數(shù)學方程的離散方法、誤差和計算方法;它無法模擬數(shù)學方程尚不能描述的物理現(xiàn)象，難以處理小尺度紊動、拐點和奇點等局部現(xiàn)象;模擬過程不夠直觀、逼真.

3 水力學數(shù)值模擬常用方法及比較

3.1 水力學數(shù)值模擬常用方法

(1)有限差分法［2］.數(shù)值計算中最常用且經典的方法就是有限差分法.它的基本思想是按時間步長和空間步長對定解區(qū)域進行網格劃分;將連續(xù)的求解區(qū)域用有限個網格節(jié)點代替，用差商替換導數(shù)，把微分方程離散化為差分方程組，即代數(shù)方程組;求解該差分方程組，得到原問題在離散點上的近似解，作為微分方程定解問題的數(shù)值近似解.

(2)有限元法［3］.有限元方法在水力學數(shù)值計算中有著廣泛的應用，其求解問題的基本思路和步驟為:建立與實際流體控制方程初邊值問題等價的積分方程;根據實際問題的物理特點對求解區(qū)域進行單元剖分;根據單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，確定單元基函數(shù);離散微分方程，通過計算獲得含有待定系數(shù)的單元有限元方程;把局部單元總體合成，形成總體有限元方程;求解有限元方程，獲得各節(jié)點的函數(shù)值.不同的權函數(shù)和不同的插值函數(shù)形式，構成了不同的有限元方法.

(3)有限體積法［3］.有限體積法的基本思路為:根據實際問題的物理特點對計算區(qū)域進行體積劃分，將其劃分成若干控制體積，每個節(jié)點代表一個控制體積;將實際流體控制方程對每一控制體積積分，可得到一組離散方程.其中的未知數(shù)是網格節(jié)點上的因變量的數(shù)值.

(4)有限分析法［4］.有限分析法是由美國華裔科學家陳景仁教授在1980年提出的.其原理是在局部單元上線性化微分方程和插值近似邊界的條件下，求局部單元上的解析解，從而構成整體的線性代數(shù)方程組.有限分析法將解析法與數(shù)值法相結合，是計算流體力學的一個進步.

3.2 分析

有限差分法的優(yōu)點是數(shù)學概念明確，表達簡單，直接將微分問題轉化為代數(shù)問題;在解的唯一性、收斂性、穩(wěn)定性、誤差估計等方面的數(shù)學基礎比較完善，可以根據不同的離散方法得到不同的精度;計算程序簡單.主要缺點是離散方程的守恒性難以保證;對復雜流體區(qū)域的適應性較差，可采用貼體坐標系進行變換，但計算比較復雜.

有限元法適合于橢圓型問題的求解，能夠較好地模擬具有復雜區(qū)域和物理條件的流場.其主要優(yōu)點有:邊界適應性強，計算精度高;可任意局部加密;易于實現(xiàn)程序的標準化，通用性強.在函數(shù)分析、優(yōu)化理論等基礎上建立的現(xiàn)代有限元形式下，如果選取特定的權函數(shù)，有限元法可以退化為有限差分、有限體積等方法.有限元在固體力學中獲得了巨大的成功，但在流體力學中容易產生穩(wěn)定性和收斂性方面的問題，從而制約了有限元法在計算流體力學領域的廣泛應用.

有限體積法屬于采用局部近似的離散方法，適用于流體計算，可用于不規(guī)則網格.它的主要優(yōu)點是:基本思路易于理解;離散方程系數(shù)的物理意義清晰、明確;離散方程對任一控制體積和整個計算區(qū)域守恒，穩(wěn)定性良好;計算方法成熟，易于編程.其缺點是:計算精度較低.

有限分析法計算精度高，具有自動迎風特性，能準確地模擬對流項，收斂較快，計算穩(wěn)定性好.其缺點是單元系數(shù)復雜，含有無窮級數(shù)，給實際計算和理論分析都帶來了一些困難.

3.3 比較

下面對上述水力學數(shù)值模擬中的幾種方法進行比較分析.由于水力學數(shù)值模擬最常用的方法是有限體積法和有限差分法.所以主要對這兩種方法加以比較:(1)有限體積法的截差是不確定的，有限差分法的截差是直觀的、確定的;(2)有限體積法是對每個控制體積進行積分推導出來的，有限差分法則是直接根據微分方程推導出來，這是二者最本質的區(qū)別;(3)積分時的精度和處理導數(shù)的精度共同決定了有限體積法的精度.一般來說，由于積分的精度限制，有限體積法的精度總體是二階的.而有限差分法的精度要復雜得多，一般來說可以比有限體積法的精度更高一些;(4)有限體積法對于守恒型方程的離散方程保持守恒性，有限差分法則不一定有守恒性;(5)在適應不規(guī)則區(qū)域及邊界的計算方面，有限體積法比有限差分法有明顯的優(yōu)勢;(6)有限體積法和有限差分法在有些情況下導出的形式相同，但概念不同.

有限體積法和有限元法相比，具有守恒性、物理概念明確的優(yōu)勢;其劣勢在于計算精度比有限元法要差.

有限元方法與有限差分法相比，優(yōu)勢在于能更好地適應不規(guī)則區(qū)域的計算.而在求解效率和收斂速度方面，有限差分法具有優(yōu)勢.

4 結語

20世紀后半葉以來，電子計算機的出現(xiàn)和數(shù)值計算方法的發(fā)展，為數(shù)值求解水流數(shù)學模型帶來了活力.目前，隨著高速計算機的發(fā)展，計算水力學正處于快速發(fā)展階段，新的結果層出不窮.但理論還不夠成熟，方法和工具還受到各方面的限制.從數(shù)學的觀點看，水流(特別是紊流)模型的非線性特征，包含著許多數(shù)學上極富挑戰(zhàn)性的理論問題.就計算方法而言，更需要不斷地探索和創(chuàng)新，建立新的模型和算法，以滿足解決實際問題之需要.因此，該領域的研究有著廣闊的發(fā)展空間和廣泛的應用前景.

［1］魏文禮.計算水力學理論、方法及應用［M］.西安:陜西科學技術出版社，2010.

［2］李榮華.偏微分方程數(shù)值解法［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［3］劉儒勛，舒其望.計算流體力學的若干新方法［M］.北京:科學出版社，2003.

［4］槐文信，趙明登，童漢毅.河道及近海水流的數(shù)值模擬［M］.北京:科學出版社，2005.