快速自開合屏蔽罩系統(tǒng)建模與結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化*

王學偉，張文生，劉 衍

(中國科學院自動化研究所精密感知與控制研究中心 北京， 100190)

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快速自開合屏蔽罩系統(tǒng)建模與結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化*

王學偉，張文生，劉 衍

(中國科學院自動化研究所精密感知與控制研究中心 北京， 100190)

針對屏蔽罩快速開合過程中其支撐臂易產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)彈性形變這一問題，基于分布參數(shù)法建立了能夠描述屏蔽罩支撐臂扭轉(zhuǎn)彈性形變特性的支撐臂動力學模型，并結(jié)合驅(qū)動與傳動機構(gòu)的集中參數(shù)描述方法，建立了屏蔽罩系統(tǒng)集中-分布參數(shù)模型。在此集中-分布參數(shù)模型基礎(chǔ)上，采用多目標非線性約束優(yōu)化算法對屏蔽罩系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化。實驗結(jié)果表明，屏蔽罩支撐臂扭轉(zhuǎn)共振頻率提高了60%，抑制了屏蔽罩系統(tǒng)的機械共振，減小了屏蔽罩基體振動，使目標執(zhí)行器位置偏移量減小至8 μm。

屏蔽罩； 支撐臂； 集中-分布模型； 結(jié)構(gòu)參數(shù)； 優(yōu)化

引 言

快速自開合屏蔽罩作為目標執(zhí)行器的自動化保護裝置，應(yīng)用于航空、航天等領(lǐng)域[1]。當目標執(zhí)行器定位后，屏蔽罩快速打開，以實現(xiàn)目標執(zhí)行器與屏蔽罩外部儀器高精密(誤差≤10 μm)對接[2]。在屏蔽罩快速開合過程中，其支撐臂將產(chǎn)生彈性振動，該振動不僅影響目標執(zhí)行器的定位時間與精度，而且限制了屏蔽罩伺服系統(tǒng)的帶寬[3-4]。因此，對屏蔽罩支撐臂產(chǎn)生的彈性振動特性進行研究，對實現(xiàn)目標執(zhí)行器的快速和高精度定位具有十分重要的工程意義。精準的屏蔽罩系統(tǒng)動力學模型對振動特性分析起決定性作用[5]，成為振動控制研究的熱點之一。

目前，建立系統(tǒng)動力學模型的有效方法為集中參數(shù)法、分布參數(shù)法和集中-分布參數(shù)法[6-8]。Kim等[9]采用集中參數(shù)法建立了絲杠傳動系統(tǒng)動力學模型。該建模方法采用常微分方程描述系統(tǒng)動力學特性，因為變量與空間位置無關(guān)，所以此法不能對絲杠所引起的彈性扭轉(zhuǎn)振動特性進行分析。Erkorkmaz等[10]利用分布參數(shù)法建立了描述桿件扭轉(zhuǎn)彈性振動特性的模型，并通過桿件兩端安裝的角編碼器獲取其扭轉(zhuǎn)共振頻率和振型。該方法采用偏微分方程描述，很難獲取其解析解。Liu等[11]通過將集中參數(shù)建模法和分布參數(shù)建模法相融合，得到了能夠準確描述電機驅(qū)動橫梁結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)動力學模型(簡稱集中-分布參數(shù)模型)。其中，對于驅(qū)動系統(tǒng)采用集中參數(shù)方法建模，針對橫梁結(jié)構(gòu)的彈性形變特性，采用分布參數(shù)法描述，集中和分布模型通過力傳遞關(guān)系及橫梁邊界條件進行統(tǒng)一，并獲得該模型動力學方程的解析解。此建模方法中兩模型之間的力平衡關(guān)系描述值得借鑒，但并未對橫梁彈性共振特性展開研究。

筆者基于以上研究成果，綜合考慮屏蔽罩快速(角度為100～120°，時間為100～200 ms)開合過程中，支撐臂的扭轉(zhuǎn)彈性形變特性，利用集中-分布參數(shù)建模法建立屏蔽罩系統(tǒng)動力學模型，分析屏蔽罩支撐臂結(jié)構(gòu)參數(shù)對其扭轉(zhuǎn)共振頻率的影響，獲得提高共振頻率、減小目標執(zhí)行器位置偏移的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，并通過實驗對優(yōu)化結(jié)果進行驗證。

1 屏蔽罩系統(tǒng)模型

屏蔽罩系統(tǒng)由伺服電機、蝸輪蝸桿、屏蔽罩、屏蔽罩支撐臂、屏蔽罩基體及其聯(lián)結(jié)軸構(gòu)成，如圖1所示。蝸輪蝸桿將伺服電機輸出軸的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)換為屏蔽罩支撐臂的開合運動，因此，屏蔽罩支撐臂承受著扭轉(zhuǎn)力矩的作用，而其反作用力通過屏蔽罩聯(lián)結(jié)軸傳遞到屏蔽罩基體。

圖1 屏蔽罩系統(tǒng)模型示意圖

1.1 屏蔽罩支撐臂分布參數(shù)模型

將蝸輪蝸桿、屏蔽罩及其基體簡化為剛體，忽略屏蔽罩聯(lián)結(jié)軸質(zhì)量而將其簡化為扭轉(zhuǎn)彈簧。屏蔽罩支撐臂承受的蝸輪扭轉(zhuǎn)力是引起其彈性形變的唯一外部激勵。

屏蔽罩支撐臂采用偏微分方程描述，其扭轉(zhuǎn)彈性動力學模型如圖2所示。其中：Kp，Gp和Pp分別為屏蔽罩支撐臂第2段扭轉(zhuǎn)剛度、剪切模量和扭轉(zhuǎn)極慣性矩；Kr為支撐臂末端聯(lián)結(jié)軸扭轉(zhuǎn)剛度。屏蔽罩支撐臂第1段沿x軸方向任意位置的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力矩為T(x,t)，扭轉(zhuǎn)彈性變形為γ1(x,t)，末端形變記為γ1(L1,t)。

圖2 屏蔽罩彈性動力學模型

(1)

由于振型與振動方式無關(guān)，則該段扭轉(zhuǎn)方向各處彈性形變可表示為

(2)

其中：H1n(t)和Y1n(x)分別表示該段振動方式和振型函數(shù)。

振型函數(shù)僅為位置x的函數(shù)，其正弦波為

(3)

其中：A1n，P1n和φ1n分別為該段扭轉(zhuǎn)共振的幅值、頻率和相位角。

通過三角函數(shù)正交性分離振動和振型函數(shù)，并根據(jù)零初始條件下的杜哈梅積分得該段扭轉(zhuǎn)彈性形變γ1(x,t)的時域解表達式為

(4)

在x=L1處扭轉(zhuǎn)彈性形變γ(L1,t)與外部激勵F0(t)的動力學方程的拉氏變換ΓL1n(s)為

(5)

(6)

靠近蝸輪端，伺服電機的扭轉(zhuǎn)力矩通過蝸輪傳遞到屏蔽罩支撐臂第1段的輸入端，此處內(nèi)應(yīng)力為零；遠離蝸輪軸端，其內(nèi)應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)彈性力保持平衡，則扭轉(zhuǎn)變形與彈簧形變的協(xié)調(diào)關(guān)系為

(7)

由式(7)得共振頻率p1n的表達式為

(8)

(9)

該段共振頻率p2n的表達式為

(10)

(11)

該段共振頻率p3n的表達式為

(12)

其中：各段共振頻率p1n，p2n和p3n均通過數(shù)值解析法求得其值后，即可得到φ1n,φ2n和φ3n的值。

(13)

1.2 屏蔽罩系統(tǒng)集中-分布參數(shù)模型

伺服電機、蝸輪蝸桿采用集中參數(shù)模型方法進行描述，其表達式為

Tm-Tb=J0s2θw(s)+B0sθw(s)

(14)

其中：Tm為電機的力矩；Tb為屏蔽罩聯(lián)結(jié)器的扭轉(zhuǎn)力矩；J0為電機與蝸輪蝸桿的等效轉(zhuǎn)動慣量；B0為電機和蝸輪蝸桿等效轉(zhuǎn)動黏性阻尼系數(shù)。

屏蔽罩支撐臂末端扭轉(zhuǎn)角位移為蝸輪剛體自由旋轉(zhuǎn)角位移與屏蔽罩支撐臂扭轉(zhuǎn)彈性形變所產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角位移的疊加，其表達式為

(15)

依據(jù)式(14)和式(12)得屏蔽罩系統(tǒng)動力學傳遞函數(shù)方框圖，如圖3所示。從伺服電機扭轉(zhuǎn)力矩到屏蔽罩聯(lián)結(jié)軸扭轉(zhuǎn)角位移的傳遞函數(shù)表達式為

圖3 屏蔽罩系統(tǒng)動力學傳遞函數(shù)方框圖

(16)

其中

2 屏蔽罩系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

為削弱機械共振對屏蔽罩系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，改善系統(tǒng)動力學特性，在保證系統(tǒng)指標的基礎(chǔ)上對屏蔽罩支撐臂結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化，以滿足屏蔽罩支撐臂快速開合過程中伺服系統(tǒng)帶寬要求。

圖4所示為屏蔽罩支撐臂質(zhì)量、第2段扭轉(zhuǎn)剛度Kp與1階扭轉(zhuǎn)共振頻率的關(guān)系。由圖可知，增大扭轉(zhuǎn)剛度可提高扭轉(zhuǎn)共振頻率，但存在極值；增大屏蔽罩支撐臂質(zhì)量對扭轉(zhuǎn)共振頻率的影響作用相反。因此，需尋找屏蔽罩支撐臂質(zhì)量和第2段扭轉(zhuǎn)剛度Kp的最優(yōu)值。

圖4 支撐臂質(zhì)量-第2段扭轉(zhuǎn)剛度-共振頻率關(guān)系曲線

圖5所示為屏蔽罩支撐臂質(zhì)量、末端聯(lián)結(jié)軸剛度Kr與1階扭轉(zhuǎn)共振頻率的關(guān)系。1階扭轉(zhuǎn)共振頻率的當前值為85Hz，從圖中得出其極值為150Hz，則末端聯(lián)結(jié)軸剛度Kr影響扭轉(zhuǎn)共振頻率的提高，需優(yōu)化Kr。

圖5 支撐臂質(zhì)量-末端聯(lián)結(jié)軸扭轉(zhuǎn)剛度-共振頻率關(guān)系曲線

屏蔽罩支撐臂第2段和第3段扭轉(zhuǎn)共振頻率的目標函數(shù)F1(x)和F2(x)的表達式如下

(17)

(18)

表1 屏蔽罩參數(shù)的約束條件

通過Matlab優(yōu)化設(shè)計工具箱，采用多目標非線性約束優(yōu)化方法，得支撐臂結(jié)構(gòu)參數(shù)和目標向量的最優(yōu)值，將各最優(yōu)值取整后得表2所示結(jié)果。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

3 模型與優(yōu)化結(jié)果驗證

搭建如圖6(a)所示的屏蔽罩系統(tǒng)實驗平臺，蝸輪軸和屏蔽罩聯(lián)結(jié)軸上各安裝一個編碼器(角分辨率為2 048)，用于測量蝸輪輸入的角度值和聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)角度。將目標執(zhí)行器固定于屏蔽罩基體底座上，激光位移傳感器測量目標執(zhí)行器垂直于屏蔽罩基體方向的位置偏移。圖6(b)所示為該屏蔽罩系統(tǒng)運動控制示意圖，實驗平臺的控制采用編碼器反饋的半閉環(huán)控制方式。由多軸運動控制器(programmable multi-axes controller,簡稱PMAC)控制伺服電機的轉(zhuǎn)動，電機輸出軸通過聯(lián)軸器與蝸輪蝸桿相連接，由蝸輪輸出軸的轉(zhuǎn)動完成屏蔽罩的開合運動。

圖6 屏蔽罩系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)

3.1 模型驗證

通過對式(8)、式(10)和式(12)進行分析，得屏蔽罩支撐臂各段扭轉(zhuǎn)共振頻率和振型與外部激勵無關(guān)，而由支撐臂自身物理特性、幾何特性和聯(lián)結(jié)軸扭轉(zhuǎn)剛度決定，為機械系統(tǒng)固有特性。搭建如圖7所示的屏蔽罩支撐臂靜力學實驗平臺，并通過該平臺對支撐臂進行模態(tài)分析，以驗證分布參數(shù)動力學模型的正確性。

圖7 支撐臂靜力學實驗平臺

圖8所示為屏蔽罩支撐臂扭轉(zhuǎn)正則化振型和共振頻率，表3為依據(jù)式(11)得到共振頻率和相位角的理論值，兩者的扭轉(zhuǎn)共振頻率誤差在5%以內(nèi)，說明其分布參數(shù)動力學模型是正確的。

圖8 支撐臂1-3階扭轉(zhuǎn)正則化振型曲線和頻率值

表3 支撐臂末端共振頻率和相位角

Tab.3 Resonance frequency and phase angle at the end of the supporting arm

參數(shù)第1階第2階第3階扭轉(zhuǎn)共振頻率/Hz85224440相位角/(°)81522

對屏蔽罩伺服系統(tǒng)進行位置環(huán)掃頻，掃頻帶寬為10～1 000 Hz，得其伺服帶寬接近90 Hz。屏蔽罩支撐臂扭轉(zhuǎn)1階共振頻率在85 Hz左右，該共振頻率將影響伺服系統(tǒng)動態(tài)精度，而2階及以上扭轉(zhuǎn)共振均大于200 Hz，因此可不予以考慮，則其分布參數(shù)動力學模型可采用第1階級數(shù)項描述。

3.2 優(yōu)化結(jié)果驗證

為驗證屏蔽罩系統(tǒng)集中-分布參數(shù)模型的正確性，獲取從電機輸入力矩到屏蔽罩支撐臂聯(lián)結(jié)軸輸出角位移的開環(huán)Bode圖，如圖9所示。由圖9得知：仿真與實驗所獲Bode圖的幅頻特性曲線在100 Hz左右存在共振頻率，且振動幅值變換規(guī)律一致；在相頻特性曲線中，與100Hz處均產(chǎn)生了180°的相位移。因此，所建屏蔽罩系統(tǒng)集中-分布參數(shù)模型對其系統(tǒng)描述是正確的。

圖10為屏蔽罩支撐臂結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后，從伺服電機輸入力矩到屏蔽罩聯(lián)結(jié)軸輸出角位移的開環(huán)Bode圖。與圖9對比得出，屏蔽罩支撐臂結(jié)構(gòu)優(yōu)化后，其1階扭轉(zhuǎn)共振頻率由101Hz提高到161Hz，遠離了伺服系統(tǒng)帶寬臨界值。

圖10 結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后的伺服系統(tǒng)頻響仿真與實驗bode圖

當屏蔽罩以200 ms打開角度120°時，在結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化前兩編碼器角度差平均為8°；結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后，以相同時間打開相同角度時，兩編碼器角度差平均為3°。

由激光位移傳感器測得支撐臂結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化前后，目標執(zhí)行器沿垂直于屏蔽罩基體方向的位置偏移，如圖11所示。從圖中得出，目標執(zhí)行器最大位置偏移量減小至8 μm，說明支撐臂結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化

降低了由于支撐臂扭轉(zhuǎn)形變引起的屏蔽罩基體振動，從而使目標執(zhí)行器的位置偏移量減小。

圖11 目標執(zhí)行器的位置偏移

4 結(jié)束語

首先，綜合分析了屏蔽罩快速開合過程中支撐臂的扭轉(zhuǎn)彈性形變特性，并結(jié)合伺服電機與蝸輪蝸桿的集中參數(shù)描述方法，建立了屏蔽罩系統(tǒng)的集中-分布參數(shù)模型；其次，為了提高伺服系統(tǒng)的動態(tài)性能，在屏蔽罩系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上，研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)與支撐臂扭轉(zhuǎn)共振頻率的關(guān)系，采用多目標非線性約束優(yōu)化算法完成了對屏蔽罩支撐臂結(jié)構(gòu)、聯(lián)結(jié)軸剛度的優(yōu)化，提高了支撐臂的扭轉(zhuǎn)共振頻率，抑制了伺服系統(tǒng)的機械共振，使目標執(zhí)行器在垂直于屏蔽罩基體方向的最大位置偏移量減小至8 μm，達到系統(tǒng)設(shè)計指標要求。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.06.000

*國家自然科學基金資助項目(U1135005)；國防基礎(chǔ)研究“十二五”規(guī)劃資助項目(0101050302)

2013-10-22；

2013-12-27

TH6

王學偉，女，1983年3月生，博士研究生。主要研究方向為復雜系統(tǒng)運動控制與精密定位。曾發(fā)表《Position error compensation method of the cantilever’s end based on 2-order dynamic model》(《Journal of Information and Computational Science》2014, Vol.11, No.9)等論文。 E-mail:eve5958@163.com